Manipular gráficos utilizando o Software Nippe Descartes para:

Analisar as situações nas quais duas grandezas variam numa relação funcional;

Apreender o conceito de variável;

Explorar os conceitos de domínio e imagem;

Analisar os coeficientes de funções polinomiais;

Trabalhar a diferença entre funções crescentes e decrescentes;

Identificar a raiz;

Estudar o sinal da função;

2 aulas de 50 minutos

Plano cartesiano

Função Linear

        

Professor, para realizar essa aula, encaminhe primeiramente os alunos ao laboratório de Informática, e peça que eles se acomodem em, no máximo, três alunos por computador.              

Como uma estratégia para despertar o interesse da turma sobre os conceitos e aplicações de função afim no cotidiano, acesse o link http://www.youtube.com/watch?v=S5wylGWDuMY e exiba, utilizando o Data Show, o vídeo com a reportagem: Tarifas de celular, exibida em  05/07/2010.   

    

Figura 1: Reportagem – Tarifas de celular

Fonte: http://i4.ytimg.com/vi/S5wylGWDuMY/default.jpg

Após a exibição do vídeo, pergunte para a turma se alguém fica atento às tarifas ou apenas às funcionalidades do celular conforme a reportagem.

       

Atividade 1:Discussão do tema

  

De forma a dinamizar o seu trabalho e evitar o tempo de aula perdido com registros a serem feitos pelos alunos em seus cadernos, acesse previamente o link http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/FAfimAluno.pdf. Tire cópias do arquivo e distribua um exemplar para cada aluno. 

Este arquivo contém todo o material necessário ao desenvolvimento da aula. Apresente aos alunos, utilizando o Data Show, as reportagens que apresentam os problemas vividos pelos cidadãos brasileiros ao utilizarem a telefonia celular ou ainda ao terem que escolher uma operadora em função das tarifas cobradas.      

Figura 2: Imagem da autora

Promova uma discussão analisando o vídeo e as reportagens com a turma. Nosso objetivo é que eles problematizem a situação e elaborem a questão: “Como escolher um plano em função das tarifas cobradas?”

Professor, informe que esta resposta será dada ao longo das atividades.

      A turma continuará dividida em no máximo três alunos e cada trio ocupará uma máquina do laboratório. O encaminhamento das questões será feito através das projeções no data show.   Nas atividades 2 e 3 é muito importante para a aquisição do conhecimento que ocorra o momento de investigação de cada atividade.

      Nesta aula você poderá utilizar outra ferramenta para facilitar o entendimento da sua turma, trata-se do software Nippe Descartes, cujas atividades propostas promovem a interação com o objeto de estudo.

Nota: As informações sobre este software estão nos Recursos Complementares.

Atividade 2: Explorando e construindo o conceito de função afim

      Utilize esta atividade para construir com os alunos a definição de função afim, a influência dos coeficientes a e b no gráfico correspondente.

      Peça que eles acessem o link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/FAfim1.html  e iniciem a atividade.   

Figura 3: Conceito de função afim - Imagem da autora

Nesta atividade:

1. A segunda coordenada que forma o par (x,y) é g(x), temos (x,y) = (x, g(x)), logo g(x)=y.
2. Para facilitar a representação da função os valores de y ficaram divididos por 10. Logo, ao fazer a análise gráfica lembre-os de multiplicar os resultados obtidos por 10.
3. Mencione que o gráfico gerado com esta atividade representa a função afim f(x)=ax+b, onde x é a variável independente, e y correspondente a variável dependente.
4. Execute cálculo da tangente mais de uma vez, utilizando para tal, triângulos diferentes. A turma deve perceber que a tangente do ângulo formado é o coeficiente a da função afim. Apresente a nomenclatura deste coeficiente chamando-o de coeficiente angular.  
5. Destaque que o valor da ordenada é o coeficiente b da lei de formação que recebe o nome de coeficiente linear.

     Permita que eles manipulem, façam descobertas e respondam aos questionamentos por um tempo aproximado de 15 minutos. Verifique então as soluções dadas pelos alunos.  

 

a)f(x)=30+0,50x

b) f(0)=30+0,50.0;     

    f(20)=30+0,50.20; f(20)=40;    

    f(60)=30+0,50.60; f(60)=60.   

c)

Figura 4: Tabela Minutos x Valor pago - Resposta - Imagem da autora

d)

• Primeiro par: (0, 30);
• Segundo par: (20,30);
• Terceiro par: (60,60).

e) A figura formada será uma semi-reta inclinada.

f) A figura formada é uma reta.

g) O domínio e a imagem desta função são formados pelo conjunto dos números reais.

Definindo o conceito de função: Professor, apresente o arquivo com uma definição para o conceito de função:     

      Podemos considerar f(x) uma função pois, “se uma variável y é relacionada à variável x, de modo que, sempre um valor é dado a x, existe uma regra segundo a qual um único valor de y é determinado, então y é dito uma função da variável independente x” [SIER, 1992, p.46];

Atividade 3: Explorando e construindo outros conceitos da função afim

Utilize a atividade abaixo para construir com a turma os conceitos de zero da função, estudo do sinal e intervalos de crescimento e decrescimento. Solicite que a turma acesse o link abaixo para iniciar a atividade:

http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/FAfim2.html

Figura 5: Características da função afim - Imagem da autora

Nesta atividade:

1. A turma deve perceber que ao encontrar o eixo x a ordenada zera, ou seja, a função se iguala a zero. Este é o motivo pelo qual chamaremos esta abscissa é chamada de zero a função. 
2. Cada aluno escolherá seus valores de entrada.
3. Ressalte que está ocorrendo o estudo do sinal da função. Ao trabalhar este item sugerimos que sejam tomados valores crescentes das abscissas para facilitar o estudo do comportamento da função.
4. Análise dos dados obtidos nas letras anteriores, pois assim a turma perceberá que quando a for positivo e tomarmos valores x₁ e x₂, tal que x₁< x₂, teremos que f(x₁)<f(x₂), isto é, a função será crescente, e quando x₁< x₂ e f(x₁)>f(x₂), a função será decrescente.  
5. Pergunte a sua turma o que acontece quando b=0. Ao manipular esta atividade estes perceberão que eles gerarão uma função linear, então os alunos poderão concluir que a função linear é um caso particular da função afim.                  
6. Pergunte a sua turma o que acontece quando a=0. Ao manipular esta atividade estes perceberão que eles gerarão uma função constante, então os alunos poderão concluir que a função constante também é um caso particular da função afim.    

     Permita que eles manipulem, façam descobertas e respondam aos questionamentos por um tempo aproximado de 15 minutos.Verifique então as respostas dadas pela turma.    

a) a=0,5 e b =3

b) O valor da ordenada é zero quando x é -6.

c) Para valores de x à direita de -6, a função é positiva.     

    Para valores de x à esquerda de -6, a função é negativa.

d) a= - 0,5 e b= 3.

e) A função zera quando x=6.     

Para valores de x à direita de 6, a função é negativa.     

Para valores de x à esquerda de 6, a função é positiva.  

f) a>0 ,função crescente;     

   a<0, função decrescente.            

  

Atividade 4:

1. Informe-os de que esta atividade tem como objetivos solidificar o conteúdo trabalhado.

Figura 6: Imagem da autora   

A resolução das questões encontra-se no link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/FAfimProfessor.pdf. Permita que os alunos façam descobertas e respondam aos questionamentos por um tempo aproximado de 15 minutos. Peça então que eles relatem o encaminhamento de suas resoluções e desenvolva no quadro de giz, com a participação da turma, as soluções encontradas. 

2. Descubra a lei de formação de cada uma das funções representadas no link colocando o número de cada uma na caixa da cor correspondente.

        http://demonstrations.wolfram.com/LinearFunctionGame/         

        Nesta atividade existem as funções afins. Lembre sua turma que agora eles estão aptos a lidar com este tipo de função. Para esta etapa da aula reserve em torno de 10 minutos.

Informe a turma que a TV Câmara foi criada em 20 de janeiro de 1998, para transmitir as discussões e votações do Plenário e das comissões, dando maior transparência à rede de elaboração das leis que regem o dia-a-dia da sociedade. Sendo uma tv pública, tem obrigações com a cidadania e a valorização do país, com a difusão de valores éticos, morais, sociais, artísticos e culturais do Brasil. Temas como a democracia, a defesa do consumidor, a proteção ao meio ambiente e o respeito aos direitos do cidadão são mais que um slogan; constituem o compromisso da TV Câmara, como um canal público de qualidade, em oferecer alternativa de boa programação para o brasileiro de todas as regiões e todas as idades.  

Professor, acesse o link http://www.camara.gov.br/internet/tvcamara/?lnk=CAMARA-LIGADA-DEBATE-A-MELHOR-FORMA-DE-LIDAR-COM-O-DINHEIRO-BL-1&selecao=MAT&materia=101035&programa=70&velocidade=100K  

que fala sobre qual a melhor forma de lidar com o seu dinheiro.

Figura 7: Reportagem - Educação Financeira - Imagem da autora

O recurso educacional abaixo dá acesso a uma reportagem também produzido pela TV Câmara sobre o planejamento financeiro dos jovens brasileiros.

Planejamento [Câmara ligada] 

 

Nome	Tipo
Planejamento [Câmara ligada]	Vídeo

Para visualizar as atividades o professor deve:

1.   Baixar o software Java disponível em: http://www.java.com/pt_BR/download/ 

2. Baixar o arquivo contendo as atividades.

Referência Bibliográfica:

[SIER, 1992] Sierpinska, A.. On understanding the notion of function, em: Dubinsky E. S.  e Harel G. (ed), The concept of function aspects of epistemology and pedagogy, MAA Notes, p.25 – 58, Londres, 1992.

Site consultado: http://demonstrations.wolfram.com/   

Veja também as seguintes aulas que complementam este assunto:

• A Geometria na Construção do Conceito de Função Linear ·      
• Procurando uma Estratégia para não Sair no Prejuízo: Estudo de Inequações do 1º grau
• Função Quadrática e suas Aplicações
• A Função Quadrática no Cotidiano
• Inequações do Segundo Grau e suas Aplicações Práticas

Consulte também: 

Investigando a Função Afim e seus coeficientes na Planilha Eletrônica 

Aplicação de atividades que abordem o tema para a fixação dos conteúdos apresentados.

Tal avaliação deve ser feita ao observar as dúvidas dos alunos durante a realização das atividades sugeridas acima onde o professor terá a oportunidade de verificar o nível de entendimento ao circular pelos grupos durante o exercício 1 e também verificar se o processo de construção de gráficos foi apreendido do exercício 2.