A determinar o número de ouro;

A verificar sua presença na natureza;

A verificar a sua utilização na arte e na arquitetura;

A verificar uma curiosa relação com a série de Fibonacci.

Equação quadrática.

O número de ouro, também conhecido como seção áurea ou proporção divina é uma constante irracional representada pela letra grega phi (a que está no cabeçalho) e vale aproximadamente 1,61803. É um número que frequentemente aparece na natureza, em conchas, árvores, no corpo humano e nas flores. Os artistas renascentistas usaram esse número como a representação da beleza divina. Arquitetos e escritores também relacionaram suas obras com o número de ouro. O que essa aula propõe é determinar o número de ouro, relacioná-lo com a série de Fibonacci e investigar a sua presença na natureza, nas formas geométricas e na arte.

As atividades dessa aula foram planejadas para serem feitas no laboratório de informática e é necessário que o mesmo tenha conexão com a internet, software de planilha eletrônica e software de apresentação eletrônica, preferivelmente o Microsoft PowerPoint.

Esta atividade tem o objetivo de mostrar ao aluno a posição rara do número de ouro num intervalo [0,1]. É uma atividade de introdução onde o professor pode trabalhar revisando razões e proporções, e fazer a verificação da razão áurea com os valores encontrados pelo software. É muito importante que o professor mostre para os alunos que, apesar da posição de C ser única, esta razão é encontrada frequentemente na natureza, e é por esse motivo que artistas e arquitetos elegeram o número de ouro como uma representação da beleza divina.

Endereço da atividade: (http://kids.sapo.pt/scratch/projects/guilhermeeh/1954) 

Ainda como atividade de investigação vamos propor a determinação matemática do número de ouro:

Coloque o problema para os alunos. Considere um segmento de reta dividido em dois segmentos menores "a" e "b" (conforme a figura). Nas condições assinaladas determine phi.

Neste momento é importante o professor observar o desenvolvimento algébrico do problema por cada aluno. No fim da atividade o professor pode fazer a demonstração como segue na sugestão:

Vamos agora abordar o velho problema dos coelhos de Leonardo de Pisa, também conhecido como Fibonacci.

Faça o seguinte questionamento: Considerando as condições abaixo, quantos pares de coelhos teremos em seis meses?

Condições:

1. No primeiro mês temos um coelho e uma coelha, filhotes recém nascidos;
2. Um coelho atinge a maturidade sexual ao fim de um mês;
3. O período de gestação de um coelho dura um mês;
4. Ao atingirem a maturidade sexual, a fêmea irá dar à luz todos os meses a um casal de coelhos;
5. Nenhum coelho morrerá nesse período.

Deixe que os alunos cheguem as suas conclusões e mostre em seguida o quadro:

Questione os alunos quanto ao quadro acima. Deixe que eles percebam a lógica da série. Pergunte: Quantos casais de coelhos teriam no 7º. mês?

Após esta discussão, sugiro uma atividade interessante num software de planilha eletrônica. Peça para os alunos construírem a série de Fibonacci numa planilha eletrônica até o vigésimo termo, por exemplo. Em seguida peça para que eles criem uma fórmula que divida um termo pelo seu antecessor (veja na figura). Faça-os repararem que quanto maior forem os índices dos termos, mais perto a razão estará do número de ouro.

Agora faça uma breve introdução, relatando a presença do número de ouro na natureza, na arquitetura e na arte. Peça para que eles comentem a charge:

As próximas atividades são de investigação do número de ouro nas situações já citadas. Na prática o aluno usará um software de apresentação eletrônica como o Microsoft PowerPoint, por exemplo, colocará a figura a ser investigada no slide mestre da apresentação e com retângulos áureos irá investigar a possível presença do número de ouro. Para isso o professor deverá preparar a aula com antecedência. Escolher as imagens, preparar os arquivos e criar o retângulo áureo de referência. Um exemplo pronto está disponível para download em (http://materialguilherme.webnode.com.br/news/o-numero-de-ouro-na-monalisa/). A seguir veremos o passo a passo da preparação de um arquivo para a atividade:

1) Abra o Microsoft PowerPoint 2007;

2) Clique na guia Exibição e em seguida em Slide Mestre.

3) No slide mestre insira a figura a ser investigada. Para isso clique na guia inserir/imagem. Escolha a imagem já pré selecionada. Para o exemplo usei a Monalisa de Da Vinci retirada de (http://www.pessoal.utfpr.edu.br/mansano/arquivos/monalisa.jpg). 

4) Para voltar ao modo normal clique na guia Exibição/Normal.

5) O próximo passo é a construção de um retângulo áureo e pode feito pelos próprios alunos (fica como sugestão). Crie um quadrado de lado 10 cm.

6) Em seguida crie um triângulo retângulo de altura 10 cm e base 5cm alinhada pela direita com o quadrado como na figura.

7) Na próxima etapa crie uma cópia do triângulo desenhado no passo anterior e gire-o de forma que a hipotenusa fique paralela a base do quadrado. Posicione o triângulo como na figura.

8) Desenhe um retângulo como na figura abaixo. Este retângulo é áureo. Discuta este método de construção com seus alunos.

9) Apague os triângulos, agrupe o retângulo e o quadrado, tire o preenchimento e escolha uma cor e uma espessura para as arestas. Agora precisamos fixar as proporções do retângulo pois os alunos terão que alterar frequentemente as dimensões do retângulo. Para isso, selecione o retângulo, clique na guia Formatar, painel Tamanho e marque a opção Fixar taxa de proporção. Pronto, o retângulo pode ser redimensionado sem perder a proporção divina.

A atividade consiste na busca pela seção áurea na imagem de fundo. Os alunos devem ampliar, reduzir e movimentar os retângulos áureos para tentar encontrar pontos em comum com as imagens de fundo. Quando pontos coincidentes são encontrados, podemos dizer que ali está o número de ouro. Veja nos exemplos abaixo alguns resultados encontrados pelos alunos:

Outras sugestões:

As possibilidades são diversas.

Esta última atividade é bastante divertida. A máscara foi criada utilizando como referência o número de ouro. A ideia é inserir fotos dos próprios alunos para verificar a presença do número de ouro. Se considerarmos o pensamento dos artistas renascentistas, a pessoa que se enquadrar melhor na máscara será a mais bela.

A máscara pode ser obtida em: (http://materialguilherme.webnode.com.br/news/mascara-de-ouro/) 

Fica como sugestão para aprofundamento a exibição dos vídeos seguintes:

(http://www.youtube.com/watch?v=SUSyRUkFKHY) 

(http://www.dailymotion.com/video/x9jcgh_holy-mysteries-the-golden-ratio-1-6_shortfilms#from=embed) (em inglês)

As atividades propostas nessa aula são bastante lúdicas e é sucesso garantido entre os alunos. Explore a motivação que o tema traz para abordar a matemática presente na vida.

Aulas sobre o tema no Portal do Professor:

(http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=13785) 

(http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1115) 

A avaliação pode ser feita no momento que os alunos irão buscar métodos algébricos para encontrar o número de ouro. Outro momento interessante para se avaliar é quando os alunos estão elaborando estratégias na procura da seção áurea em uma imagem.