§  Listar o número de possibilidades da ocorrência de um acontecimento sem descrever todas as possibilidades.

§ Resolver problemas de análise combinatória utilizando o princípio multiplicativo.

Conhecimentos de matemática básica.

Professor, com os alunos em sala de aula, projetar a imagem abaixo, questionando:

Sabem o que a imagem significa?

O que ocorre com os alimentos?

Porque estão distribuídos dentro de uma pirâmide ?

Obs. Nesse momento seria importante que o professor de Biologia participasse da discussão para apresentar os conceitos referentes ao conteúdo, sua importância, além de apresentar outros modelos de pirâmide alimentar e suas diferentes combinações.

Fonte: http://www.diabetes.org.br/images/stories/piramide2.jpg 

Professor, permita que os alunos se manifestem apresentando seus conhecimentos. Após breve discussão apresente:

Para garantir um cardápio balanceado que contemple os nutrientes que são necessários a uma dieta diária saudável, no início da década de 90, a FDA (Food and Drug Administration - órgão do governo dos EUA que controla a produção e comercialização de remédios e alimentos), preconizou o consumo das seguintes porções diárias de alimentos que compõem a Pirâmide Alimentar.

Professor, ainda com os alunos em sala de aula, descreva a tabela a seguir no quadro de giz (ou projete com o multimídia), apresentando a seguinte problematização:

• - Vamos supor que, em um restaurante nos deparamos com certa variedade de alimentos possíveis de se compor uma refeição. Os alimentos oferecidos neste restaurante, agrupados segundo a Pirâmide Alimentar, são:

Tabela 1 - Fonte: Baseada na atividade proposta no vídeo disponível em:
http://www.diaadia.pr.gov.br/condigital/modules/debaser/singlefile.php?id=9, acesso em 12 de outubro de 2010. 
Clique sobre a tabela para vê-la em tamanho maior.

• A nutricionista do restaurante nos orientou que desta tabela, podemos escolher para uma refeição saudável: 3 alimentos do grupo dos vegetais, 2 alimentos do grupo do arroz e massas, 1 alimento do grupo das carnes, aves, peixes e ovos e 1 alimento do grupo das frutas.
  

De quantas maneiras podem compor essa refeição?

Professor permita que os alunos façam suas combinações de alimentos. Anote no quadro as diferentes possibilidades.

Após anotar as várias proposições, explique aos alunos que podemos combinar um prato e escolher:

1 – Arroz, nhoque, alface, tomate, acelga, peixe e abacaxi

2 – Arroz, alface, acelga, nhoque, tomate, peixe e abacaxi.

As duas combinações possuem os mesmos elementos, porém combinados de maneiras diferentes. Esse conceito representa uma Combinação Simples, ou seja, um agrupamento realizado, no qual a ordem de escolha dos elementos não faz diferença para a composição deste. Porém se fizermos uma combinação, onde a ordem de escolha faça diferença para a composição (como por exemplo um número de telefone ou número de endereço), temos outro tipo de agrupamento chamado Arranjo.

A Combinação Simples integra, junto com outros tipos de agrupamentos, uma parte da Matemática que tem por objetivo determinar o número de possibilidades de ocorrência de um determinado acontecimento sem, necessariamente, descrever todas as possibilidades: a Análise Combinatória.

Com a Análise Combinarória, é possível determinar o número de possibilidades para se compor combinações sem precisar pensar em todas!   

Atividade 1 - Software educacional

Após a explicação, para melhor entendimento da Análise Combinatória, reunir os alunos em grupo (3 a 4 alunos) no laboratório de informática e, propor o software educacional Combinatória, disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/4784, acesso em 11 de outubro de 2010.  Neste software basta o usuário inserir os números respectivos ao arranjo, à combinação e à permutação, que ele calcula o resultado final.

Combinatória 

Fonte: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/4784  

Após os alunos fixarem os conceitos de Análise Combinatória por meio da utilização do software, explique que muitas resoluções podem ser feitas apenas pensando nas possibilidades. Porém, em alguns casos o número de possibilidades é muito grande para se contar e por isso a importância de se conhecer esse conteúdo matemático.

Atividade 2 - Resolução de Problemas

De volta a sala de aula, ainda com os alunos reunidos em grupo, apresentar as seguintes problemáticas.

Obs. Professor, pode ser que os alunos encontrem diferentes maneiras de resolver o problema.
Valorize cada iniciativa, porém apresente a resolução formal da combinatória para que entendam que
nem sempre conseguirmos verificar todas as possibilidades apenas por tentativa.

a) Determinar o número de possibilidades diferentes que temos para escolher 3 alimentos, dentre um total de 6, do grupo dos vegetais.

Resolução:   

Para fazer tal escolha, calculamos o número de agrupamentos de 3 alimentos diferentes que podemos obter a partir deste total de 6, ou seja, o número de combinações simples a partir de um grupo de 6 elementos, tomados 3 a 3.

Usando a fórmula da combinação temos:

                n!
C _n,p  =-----------
             p! (n-p)! 

Na qual n representa o número de elementos do conjunto a partir do qual realizaremos os agrupamentos, neste caso n = 6, e, p representa o número de alimentos que irão compor os agrupamentos, neste caso p = 3.

               6!           6!
C _6,3  = --------- = ----  = 20.
           3! (6-3)!    3! 3!

Portanto, temos 20 maneiras diferentes segundo as quais podemos escolher 3 alimentos do grupo dos vegetais.

b) Como saber o número de maneiras diferentes que temos para escolher 2 alimentos do grupo arroz e massas, dentre um total de 5?

Resolução:   

Considerando n = 5 e p =2, temos:

              5!            5!
C _5,2 = --------- = ------  = 10.
          2! (5-2)!      2! 3!

Logo, temos 10 maneiras diferentes segundo as quais podemos escolher 2 alimentos do grupo do arroz e massas.

c) E para escolhermos 1 alimento do grupo das carnes, aves, peixes e ovos, quantas possibilidades diferentes temos?

Resolução:

Substituíndo n = 4 e p =1 na fórmula, temos: 

              4!            4!
C _4,1 =--------- = ------ = 4.
          1! (4-1)!   1! 3!

Temos então 4 maneiras diferentes segundo as quais podemos escolher 1 alimento do grupo do grupo das carnes, aves, peixes e ovos.

Atividade 3 - Catarse

Para finalizar, em sala de aula, apresentar aos grupos de alunos o vídeo Quatro Mil Possibilidades, disponível em: http://www.diaadia.pr.gov.br/condigital/modules/debaser/singlefile.php?id=9, acesso em 11 de outubro de 2010. Professor após assistirem o vídeo, discuta com os alunos quais aproximações fizeram com o contexto dessa aula. Solicite então,  que produzam um texto descrevendo os conceitos matemáticos que apreenderam nessa aula.

Em parceria com o professor de Biologia, propor aos mesmos grupos de alunos que apresentem uma proposta de dieta saudável, a ser encaminhada como possibilidade de lanche na cantina da escola ou ainda que analisem o cardápio da escola verificando se atende o que está previsto como dieta saudável na pirâmide alimentar.

Aula baseada no conteúdo do vídeo Quatro Mil Possibilidades, disponível em: http://www.diaadia.pr.gov.br/condigital/modules/debaser/singlefile.php?id=9, acesso em 11 de outubro de 2010.

- Piramide Alimentar, disponível em: http://educacao.uol.com.br/planos-aula/fundamental/ciencias-piramide-alimentar-nova-proposta.jhtm,   acesso em 11 de outubro de 2010.

- A Matemática da Saúde. Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1394, acesso em 11 de outubro de 2010. 

- Dando vida aos conteúdos matemáticos. Disponível em: http://www.sbemrn.com.br/site/II%20erem/oficina/doc/oficina6.pdf, acesso em 11 de outubro de 2010. 

- Probabilidade: Eventos Equiprováveis. Disponível em: http://www.uff.br/cdme/prob-bonecos/prob-bonecos-html/prob-bonecos-start.html, acesso em 11 de outubro de 2010. 

A avaliação deverá ser diagnóstica, processual e continua, ou seja, realizada ao longo de todas as aulas.

Critérios a serem observados:

- Desenvolvimento e realização durante o questionamento inicial. O aluno foi argumentativo?

- Na atividade de combinações. Participou? Raciocínio adequado?

- Análise geral na participação no desenvolvimento do contexto da aula. Foi pertinente?

- Na produção textual. Produziu? Demonstrou coerência? Contribuiu no grupo?