§  Reconhecer diferentes conhecimentos matemáticos encontrados na cartografia.

§  Resolver problemas matemáticos que envolvem escala.

Conhecimentos de matemática básica.

Leitura e interpretação de mapas.

Obs. Para essa aula, seria interessante contar com a presença do professor de Geografia,
contribuindo com os conhecimentos específicos da área. 

Atividade 1

• Momento 1

Professor, organize os alunos em grupos (3 a 4 alunos por grupo) e, em sala de aula, projete a imagem a seguir.

Figura 1 - Fonte: Atividades e Jogos com Escalas. Coleção Investigação Matemática. Editora Scipione.
(Clique sobre a imagem para vê-la ampliada).

Proponha então, a seguinte reflexão: O navio precisa seguir pelo canal e entrar na baia evitando os rochedos e o banco de areia. O comandante precisa calcular quanto deve navegar em dada direção antes de desviar. Na carta naútica tem uma escala marcada, onde 1 centímetro equivale a 1/8 de milha marítima.

As duas primeiras instruções do comandante são: Norte por 3/4 de milha e Leste por 3/4 de milha. Qual será a terceira instrução correta?

Professor, distribua uma cópia do mapa a cada grupo e permita que os alunos façam os cálculos. Lembre-os da escala apresentada.

A) Norte por 1/2 milha.

B) Noroeste por 3/4 de milha.

C) Nordeste por 1/2 de milha. (Resposta correta)

D) Nordeste por 1 milha.

• Momento 2

Após a resolução, proponha aos grupos de alunos que em uma cartolina (ou papel kraft) elaborem um mapa identificando as imediações da escola. O mapa deve abranger mais ou menos uns 5 quarteirões em todas as direções da escola (se for possível). Solicite que os alunos sejam bem rigorosos na elaboração do mapa e dos detalhes. Na sequência devem escrever uma orientação para que uma pessoa "perdida" em determinado ponto do mapa chegue até a escola.

Obs. Se julgar necessário, o professor pode sair com os alunos para fazer observação do terreno, anotando pontos comerciais importantes, postos de gasolina, igrejas, e outros locais que sejam referência. 

Ao final, proponha que os grupos apresentem seus mapas e a orientação que descreveram. Durante a explanação dos grupos, possibilite que os mapas sejam fixados em locais que todos possam observá-los. Nas apresentações chame a atenção dos grupos apontando similaridades entre os mapas elaborados, escala, legenda, tipos de projeção e a orientação no espaço, elementos matemáticos indispensáveis para a cartografia, tema abordado nesta aula.

Sugestão de encaminhamento...

• Momento 3

Professor faça uma busca no Google Maps (disponível em http://maps.google.com.br, acesso em 10 de novembro de 2010), procurando pela região da escola. Projete aos alunos o mapa que descreve essa região, apresente a visualização do mapa na versão das ruas e do satélite, comparando com os mapas desenvolvidos pelos alunos.

Em sala de aula, projete aos alunos o recurso O que é cartografia?, disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/5173, acesso em 9 de novembro de 2010. A animação ajudará a contribuir para o entendimento do tema, mostrando como são traçadas as linhas imaginárias do sistema de coordenadas geográficas para localização de qualquer ponto na superfície do globo terrestre. 

O que é Cartografia 

Figura 2. Fonte:  http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/5173,  acesso em 9 de novembro de 2010. 

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Fonte: Projeções Cartográficas. Disponível em:
http://mathematikos.psico.ufrgs.br/disciplinas/ufrgs/mat010392k2/ens22k2/xyz/projecao.htm,
acesso em 09 de novembro de 2010.

Para essa explicação, o professor pode trazer à sala de aula, um globo terrestre para auxiliar na sua apresentação. A Terra é uma esfera ligeiramente distorcida, sua projeção no globo apresenta posições e tamanhos corretos para os continentes e países, uns em relação aos outros.  Para ajudar na localização de posições na Terra, linhas passam pelos pólos norte e sul, chamadas de meridianos ou linhas de longitude. As linhas traçadas de leste para oeste são paralelas, ou linhas de latitude.

Para mapear (projetar) a Terra em uma superfície plana é necessário tomá-la no seu formato original (o geóide) e transformá-la de forma a adaptar-se ao plano do papel (ou do meio que estiver sendo usado para a visualização, como um monitor de vídeo de computador), isso é diferente de vermos uma mapa conforme apresentado na figura 1. As projeções são usadas para construir as quadrículas que servem para encontrar os pontos a representar. Nesse tipo de transformação a superfície acaba sempre sendo desfigurada ou alterada: o cartógrafo acaba tendo que escolher entre conservar os ângulos, manter proporcionais as superfícies ou tentar equilibrar as perdas.

De acordo com a superfície desenvolvível, as projeções podem ser classificadas em:

- Projeções planas ou azimutais: Num plano tangente ou secante à esfera. A construção se organiza em volta de um ponto central chamado "centro de projeção". Os azimutes são exatos e a escala é constante para todas as direções que passam por esse centro; todo grande círculo que passa por esse centro é representado por uma reta. Como é centrada no pólo é dita uma projeção polar.

Figura 3 - Fonte: http://static.infoescola.com/wp-content/uploads/2010/02/proje%C3%A7%C3%A3o-plana-azimutal-550x239.jpg 

Os paralelos são circulos concêntricos e os meridianos retos irradiam-se do polo. O plano de projeção é um plano tangente a esfera terrestre.

- Projeções cilíndricas: Podem ser consideradas como um aperfeiçoamento analítico dos mapas planos em coordenadas retangulares dos gregos. Projeta-se a esfera terrestre em um plano cilíndrico que a envolve.

Figura 4 - Fonte: http://www.professores.uff.br/cristiane/Estudodirigido/Cartografia/Figura%2012.JPG 

Os paralelos e meridianos são retos, paralelos e perpendiculares entre si. O plano de projeção é um cilindro envolvendo a esfera terrestre.

- Projeções cônicas: Também conhecidas desde a Antiguidade (Grécia) foram aperfeiçoadas e se impuseram a partir do séc. XVIII. A superfície terrestre é projetada em um cone que a envolve.

Figura 5 - Fonte: http://static.infoescola.com/wp-content/uploads/2010/03/projecao-c%C3%B4nica.jpg 

Os paralelos são circulos concêntricos e os meridianos retos convergem para o pólo. O plano de projeção é um cone envolvendo a esfera.

- Projeção de Mercator: Foi o cartógrafo Gerard Mercator quem, em 1569, concebeu a quadrícula que leva o seu nome. A projeção de Mercator inscreve-se num retângulo, com meridianos e paralelos retilínieos e ortogonais. O Equador é representado na escala na verdadeira grandeza e o exagero da extensão das paralelas em latitude é compensado por um exagero proporcional das distâncias meridianas, segundo uma função chamada "variável de Mercator" ou "das latitudes crescentes":

delta Y= gama/cos(gama).

A projeção é semelhante, mas a escala é variável segundo a latitude, as regiões polares acima de 75^o não podem ser representadas. Nesse nível, o exagero dos comprimentos em relação ao Equador já é de 4 vezes, o que representa uma dilatação das superfícies de 16 vezes. Por outro lado, as formas geométricas são respeitadas e sobretudo as loxodormias, isto é, as rotas a seguir com compasso, são retas. A projeção de Mercator é usada para mapas marítimos e de regiões intertropicais, onde as deformações são mínimas.

Figura 6 - Fonte: http://static.infoescola.com/wp-content/uploads/2009/08/1-3d335349bc.jpg 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Atividade 2

No laboratório de informática, com os alunos ainda reunidos em grupo, propor o recurso Projeções Cartográficas, disponível em: http://www.uff.br/mapprojections/mp_br.html, acesso em 10 de novembro de 2010. Permita que a princípio os grupos movimentem aleatoriamente o recurso para se familiarizar e, só então proponha a atividade.

Esse recurso permite visualizar as projeções cartográficas, demarcar posições apresentando latitude e longitude, além de calcular distâncias, conhecer detalhes sobre diferentes lugares, e observar os anéis no globo terrestre.

Figura 7 - Fonte: http://www.uff.br/mapprojections/mp_br.html  

Atividade 3

Professor, explique aos alunos que, para que projeções (ou mapeamentos) ocorram, nos utilizamos de uma relação matemática existente entre as dimensões reais e aquelas da representação da realidade contidas em um mapa ou globo. A essa relação matemática, chamamos escala cartográfica. As escalas são registradas em forma de fração, onde o numerador indica o valor do plano e o denominador o valor real daquela área representada.

Por exemplo: Se em um mapa a escala indicada é de 1 : 450.000, isso quer dizer que cada medida no desenho do mapa é 450.000 vezes menor que a realidade, sendo assim, 1 cm no mapa será equivalente, no mapa, a 450.000 cm = 4.500 m = 4,5 km.

Figura 8 - Fonte: http://www.matematicamuitofacil.com/Imagem/escala/escala06.jpg 

Com base na orientação, proponha aos alunos os seguintes problemas:

a) Qual é escala da planta de um terreno no qual um comprimento de 48 metros foi representado no papel por um segmento de 2,4 dm ?

Resolução:

2,4 dm      24 cm         1
-------- = ---------- = ------ = 1: 200
48 m       4800 cm      200

b) Um protótipo foi desenhado na escala 1:100. Qual será o comprimento desse protótipo se o modelo em tamanho real tem um comprimento igual a 4,00 m ?

Resolução:

   1          x                                         4
------ = ------   ->    100x = 4 ->    x = ---- =  0,4 m = 4 cm
 100        4                                        100

c) Calcular a distância em um mapa de escala 1: 300 000 entre dois pontos situados a 15 km de distância um do outro.

Resolução:

15 km = 1500000 cm

1500000
----------- = 5 cm
 300000

Escala. Disponível em: http://www.matematicamuitofacil.com/escalas.html, acesso em 10 de novembro de 2010. 

Projeções Cartográficas. Disponível em: http://mathematikos.psico.ufrgs.br/disciplinas/ufrgs/mat010392k2/ens22k2/xyz/projecao.htm, acesso em 10 de novembro de 2010.  

Cartografia. Disponível em: http://www.suapesquisa.com/geografia/cartografia.htm, acesso em 10 de novembro de 2010

Latitude e Longitude: Representando Pontos na Superfície da Terra. Disponível em: http://www.professores.uff.br/hjbortol/arquivo/2006.1/applets/earth_br.html, acesso em 10 de novembro de 2010. 

Cartografia. Disponível em: http://www.professores.uff.br/cristiane/Estudodirigido/Cartografia.htm, acesso em 10 de novembro de 2010. 

Sistema de Posicionamento Global. Disponível em: http://www.fisica.ufc.br/solange/GPS.html, acesso em 10 de novembro de 2010.  

Matemática na Prática: GPS. Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1480, acesso em 10 de novembro de 2010.   

Atividades Introdutórias às Geometrias Não-Euclidianas: o exemplo da Geometria do Táxi. Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/materiais/0000011892.pdf, acesso em 10 de novembro de 2010.  

A avaliação deverá ser diagnóstica, processual e continua, ou seja, realizada ao longo de todas as aulas.

Critérios a serem observados:

- Na problematização inicial. Apresentou comentários relevantes? Contribuiu?

- Durante a explicação do professor. O aluno foi participativo?

- Na atividade no laboratório de informática. Participou? Raciocínio adequado?

- Na resolução de problemas. Resolveu? Demonstrou conhecimento?