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Onde Está a Matemática na Engenharia Civil?

 

19/12/2010

Autor e Coautor(es)
GUILHERME ERWIN HARTUNG
imagem do usuário

PETROPOLIS - RJ CE EMBAIXADOR JOSE BONIFACIO

Rita Meirelles

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Fundamental Final Matemática Espaço e forma
Ensino Médio Matemática Geometria
Ensino Fundamental Final Matemática Grandezas e medidas
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula

Perceberá a importância da matemática numa obra de engenharia civil.

Duração das atividades
2 aulas de 50 minutos
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Operações básicas e noções de geometria

Estratégias e recursos da aula

A matemática e, em especial, a geometria, são poderosas ferramentas na construção civil. Não estou falando apenas dos complexos cálculos presentes nos projetos de alta engenharia. A matemática está presente na vida profissional de pedreiros, carpinteiros e demais profissões relacionadas com a execução de uma obra. O que irei propor nesta aula são atividades onde os alunos poderão perceber a importância da matemática nesta temática.

Vou dividir as atividades em três etapas:

Problemas relacionados com:

  1. O terreno da construção;
  2. A alvenaria, pisos e escadas;
  3. E o telhado da construção.

Vamos primeiro analisar atividades relacionadas ao terreno. Existem diversos fatores que influenciam na escolha do local mais adequado da construção. Um deles é a inclinação do terreno. Normalmente as pessoas preferem áreas mais planas, ou seja, com inclinações menores. Através das curvas de nível de uma planta topográfica é possível determinar o relevo do terreno.

Retirada de (http://geographicae.files.wordpress.com/2007/06/topo7.gif)  

Para se construir maquetes a planta topográfica também é utilizada:

Retirada de (http://www.santino.tv/work/1992/contour2.jpg)  

Este tipo de maquete pode render um excelente trabalho interdisciplinar com o professor de geografia. Imagine um trabalho onde, com o mapa topográfico de Petrópolis, os alunos construam com camadas de papelão, a representação do relevo em escala. Agora observe a planta hipotética abaixo. Observe que as curvas têm alturas equidistantes e que, entre os pontos B e C (de 5 a 10 m de altura do lado esquerdo), é onde o terreno se encontra mais plano. Observe também que entre os pontos J e K, o terreno é muito íngreme. Conclua que, numa área da planta, quanto mais afastadas as curvas, mais plano será o terreno.

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Após a compreensão da leitura dessas plantas o professor pode aplicar diversas atividades. Por exemplo: Disponibilize uma cópia para cada aluno com as atividades abaixo. Peça para os alunos relacionarem a primeira coluna com a segunda:

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O professor deve orientar os alunos, mostrando como cada correspondência pode ser feita. Já nessa outra, peça para os alunos marcarem na planta a área mais plana e o ponto mais alto. Peça também para que eles desenhem o perfil do terreno no corte indicado (linha vermelha)

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Os alunos devem encontrar algo parecido com isso:

Imagem do autor

É muito comum usar retângulos para demarcar a base da construção no terreno. O primeiro questionamento que o professor pode fazer a turma é: Como vocês fariam para marcar, com uma linha de nylon, um grande retângulo perfeito num terreno? É comum alunos fazerem sugestões bem interessantes. Explore-as e argumente a viabilidade das sugestões.

Um método muito usado por pedreiros é o das diagonais. O pedreiro marca com estacas um esboço do retângulo respeitando as medidas dos lados.

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Alguns ajudantes medem as diagonais e reposicionam as estacas. Até que as diagonais tenham medidas iguais:

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Ressalte para os alunos que essa congruência das diagonais é uma característica do retângulo.

Simule esse experimento no piso da sala de aula usando barbante e giz.

Petrópolis é uma cidade da região serrana com um relevo bastante oscilante. É muito comum observarmos casas construídas em terrenos íngremes. Uma das recomendações de segurança feita pelos engenheiros é quanto à profundidade das colunas das “sapatas” (os pés da casa). Se as sapatas tiverem profundidades diferentes, a sapata mais alta não poderá interferir na sapata mais baixa. A região de maior pressão da sapata mais alta (A) está representada (em cinza) na figura abaixo. Repare que a linha vermelha (a 45° do vetor peso) não passa pela sapata mais baixa (B), logo a norma de segurança foi cumprida.

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Com base no desenho acima, proponha o seguinte problema para os alunos:

Se a largura da casa mede 6 m e sapata mais alta está a 2 m da base da construção, até que profundidade a sapata mais baixa poderá avançar (em relação à base da casa)?

Os alunos podem encontrar diversas maneiras de solucionar este problema. Mostre essa simples solução:

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A sapata mais baixa pode ter profundidade de 8 m no máximo.

Durante a construção de uma casa, constantemente os profissionais envolvidos precisam fazer cálculos de áreas para orçar materiais. Um exemplo simples é o cálculo da alvenaria. Quantos tijolos precisarei para concluir a minha obra? Sugiro uma atividade em grupos. Os alunos deverão responder a pergunta acima considerando o desenho abaixo:

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Dados:

  • Dimensões da porta: 2,20 x 0,80 m;
  • Dimensões da janela: 2,00 x 1,50 m;
  • Dimensões dos tijolos:

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  • Acrescentar 10% do total calculado;
  • Arredondar sempre para “cima”.

Monitore cada grupo e interaja nas estratégias adotadas pelos alunos. Os grupos devem encontrar algo em torno de 1013 tijolos. Explique ainda o porquê das diferenças nos resultados encontrados.

Outra atividade, bastante interessante, mostra a aplicação da matemática no cotidiano do pedreiro. Quando um pedreiro precisa construir uma parede, perpendicular a outra parede, ele usa o seguinte método:          

  • Ele marca (com dois pregos) uma distância de 60 cm na parede já construída;          
  • Com duas linhas, uma de 80 cm e outra de 1m (cada uma presa num prego), ele determina o ponto de encontro entre as extremidades;
  • Por fim ele traça uma linha entre o este ponto de encontro com o primeiro prego.

Veja na figura:

Imagem do autor

Antes de expor este método, lance o desafio para os grupos:

Como poderíamos construir uma nova parede perpendicular a uma parede já construída?

Discuta as estratégias manifestadas.

Após a demonstração do método acima, faça os seguintes questionamentos aos grupos:

Como podemos garantir, com este método, que a nova parede será perpendicular a outra?

Que outros valores inteiros o pedreiro poderia usar?  

Por que o pedreiro não usa valores menores, 30, 40 e 50 cm, por exemplo?

A colocação de pisos gera outros problemas matemáticos. Proponha o seguinte problema.

Considere o desenho abaixo e calcule:

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  1. A área do piso de cerâmica (acrescentar 10% do total);
  2. A área de grama (acrescentar 10% do total);
  3. O custo de materiais (grama e cerâmica), considerando R$ 5,00 o m2 da grama e R$ 15,00 o m2 da cerâmica.

Os alunos devem encontrar como respostas:

  1. 39,6 m2;
  2. 41,65 m2;
  3. R$ 802,25

Discuta com os alunos o motivo de se acrescentar 10% nos cálculos. Para finalizar vamos abordar um problema na construção de escadas. Consideremos A como o afastamento horizontal e H como a altura. Para um degrau teremos:

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Vamos, primeiramente, a um problema simples (ainda em grupos). Um carpinteiro construirá uma escada de madeira. Considere uma altura a vencer de 3 m, e degraus de 15 cm de altura e 28 cm de afastamento.

  1. Quantos degraus serão necessários?
  2. Qual será o afastamento horizontal total?
  3. Qual será o ângulo de inclinação (em relação ao solo) da escada?

Os alunos deverão encontrar o seguinte resultado:

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Agora vamos aumentar a complexidade, e usar a ferramenta Solver do Microsoft Excel. No laboratório de informática, peça para os alunos criarem a planilha abaixo:

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Com a planilha pronta vamos analisar o problema: Com uma escada, queremos “vencer” 3 m de altura. Vamos imaginar que o engenheiro exigiu que a altura dos degraus ficasse entre 15 e 20 cm e o afastamento de cada degrau entre 20 e 30 cm. Por conta de uma porta, o afastamento total não deve ultrapassar 4,32 m. Quais seriam as alturas e afastamentos ideais dentro dessas condições? Poderia existir mais de uma opção? Quantos degraus a escada teria? Deixe que os alunos modifiquem a planilha em busca de valores ideais. Depois, com ajuda da macro Solver, vamos resolver o problema. Veja:

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A célula destino é a I9, que deve atingir o valor 432 cm, variando as células E9 e F9, com as restrições listadas. A última restrição é J9 = 0. J9 armazena o resto da divisão da altura total a ser vencida pela altura do degrau. O resultado desta divisão nos dará o número de degraus. Como queremos um número inteiro, o resto desta divisão deverá ser zero. Explore esta estratégia com os alunos.

Veja que a macro Solver pode encontrar mais de uma solução:

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Discuta com os alunos as vantagens e desvantagens de cada solução. Ainda podemos usar a macro Solver para determinar as dimensões dos degraus tendo um afastamento total mínimo. Para isso basta marcar a opção Min na macro Solver.

Veja:

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Repare que com uma altura de 15 cm, e um afastamento de 20 cm em cada degrau, conseguimos um afastamento total de apenas 3,60 m.

Outra discussão que o professor pode propor é quanto à estrutura de andaimes construídos por pedreiros. Discuta com os alunos qual dos andaimes abaixo apresenta maior estabilidade.

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Relacione as formas usadas nesses andaimes com as propriedades de rigidez que o triângulo apresenta. Esta propriedade pode ser testada com réguas articuladas. Veja:

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Mostre a importância dessa propriedade dos triângulos nas estruturas das construções:

Disponível em (http://www.lem.ep.usp.br/pef2309/antigo/2002.1/2002pontes/Pontes%20-%20Estradas%20de%20Ferro.htm

Vamos agora analisar problemas na construção de telhados.

Antes de propor as atividades vamos conhecer um pouco mais sobre os telhados. As partes planas do telhado, por onde a água desliza, são conhecidas como águas do telhado. Um telhado pode ter:

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Ou mais.

Algumas madeiras importantes na estrutura de um telhado:

  • Frechal: Madeira horizontal, mais baixa, que serve de apoio para caibros e espigões;
  • Pontalete: Madeira vertical que serve de apoio para as terças e cumeeira;
  • Terça: Madeira horizontal, intermediária entre o frechal e a cumeeira, que serve de apoio para caibros e espigões;
  • Cumeeira: Madeira horizontal que fica no cume do telhado; 
  • Espigão: Madeira inclinada que fica apoiada nas terças e nos vértices do frechal.
  • Caibros: Madeira inclinada que fica apoiada nas terças e no frechal. Servem de apoios as ripas;
  • Ripas: Madeira horizontal que serve para fixação das telhas.   

Exiba o vídeo abaixo para que todos compreendam melhor essa nomenclatura usada na estrutura dos telhados:

Disponível em: (http://www.youtube.com/watch?v=KZaSTHikg08

Beiral é outro termo muito usado. Beiral é a distância horizontal entre a parede externa e a extremidade do caibro. Veja:

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É muito comum, profissionais do ramo da construção civil, indicar a inclinação de um telhado em porcentagem.

Por exemplo, um engenheiro fala para o carpinteiro:

_Vamos construir um telhado com inclinação de 30%.

Isto quer dizer que, a cada 100 cm de afastamento horizontal o telhado “subirá” 30 cm.

Com essas informações já podemos propor nossa última atividade. Reúna os alunos em grupos. Informe-os sobre as informações e nomenclaturas citadas acima. Os alunos terão que fazer uma estimativa da quantidade de madeira que será necessária para construir um telhado de duas águas.

Veja as orientações do engenheiro:

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Os alunos podem ser orientados a criar uma vista superior do telhado.

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É importante o aluno perceber quais madeiras estão em verdadeira grandeza (alinhadas com o plano horizontal) e quais necessitarão de cálculos trigonométricos para serem determinadas.

Por exemplo:

Para o cálculo do comprimento de um caibro:

Se a inclinação do telhado está a 57%, quer dizer que a cada 100 cm de afastamento horizontal o telhado “subirá” 57 cm.

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Logo A é o arco tangente de 0,57 , ou seja, aproximadamente 30°. Observe a figura:

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O tamanho de um caibro (x) é de aproximadamente 5,77 m

O mesmo questionamento pode ser feito para o cálculo dos pontaletes. Veja:

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Repare que o comprimento do pontalete maior é o dobro do menor. Faça uma argumentação sobre este fato tendo como base o teorema de Tales ou por semelhança de triângulos. O resultado final pode ser visto na tabela:

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Estas são apenas algumas ideias que relacionam uma obra de construção civil com a matemática da educação básica. Explore outros fatos. Converse com pedreiros, carpinteiros, engenheiros e arquitetos. Sem dúvida a matemática é de grande relevância para esses profissionais.

Recursos Complementares

Para saber mais de coberturas (telhados): (http://www.youtube.com/watch?v=OYimxbInnow&feature=related

Avaliação

Em todas as três atividades, a avaliação é relevante. O professor poderá observar a postura dos alunos diante dos problemas encontrados em cada etapa. O problema do telhado é mais desafiador e é um bom momento para avaliar os alunos.

Opinião de quem acessou

Quatro estrelas 13 classificações

  • Cinco estrelas 10/13 - 76.92%
  • Quatro estrelas 3/13 - 23.08%
  • Três estrelas 0/13 - 0%
  • Duas estrelas 0/13 - 0%
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Opiniões

  • Dircelene Silveira, CEEBJA CERA Estadual de Educação Básica para Jovens e Adultos. , Paraná - disse:
    profdircelene@hotmail.com

    08/11/2015

    Cinco estrelas

    Adorei a atividade. Vou fazer com os alunos. Parabéns.


  • Tamires, Manoel Pereira Lins , Pernambuco - disse:
    tamyalves2015@hotmail.com

    18/09/2015

    Cinco estrelas

    Excelente contéudo! =D


  • Milton José Diel, Colégio Estadual Guatupe , Paraná - disse:
    milton.diel@hotmail.com

    29/05/2015

    Cinco estrelas

    Como Professor de Matemática e como Engenheiro Civil, fui Tutor Especifico do Profuncionario Agente I, durante dois anos, achei a criatividade da atividade ótima, pois de trata de conteudo Interdisciplinar, que motiva os alunos envolve o cotidiano do mesmo. Obrigado Professor Milton José Diel


  • ALBIMAR GONÇALVES DE MELLO, Escola Estadual Berilo Wanderley , Rio Grande do Norte - disse:
    agmello@ccet.ufrn.br

    23/04/2015

    Cinco estrelas

    Meus Parabéns pela clareza da explicação e pela escolha do conteúdo abordado - Geometria. Sou Prof. de Matemática na Rede Pública Estadual de Ensino no Rio Grande do Norte, na Escola Estadual Berilo Wanderley, e dizer que tenho feito um esforço enorme para contestualizar minhas aulas de matemátia. Esse modelo é um bom exemplo para que nós professores possamos seguir. Mande +++ exemplos


  • Milton José Diel, Colégio Estadual Guatupe , Paraná - disse:
    milton.diel@hotmail.com

    06/03/2015

    Cinco estrelas

    Como Professor de Matemática, achei excelente a atividade proposta, pois envolve o cotidiano do nosso aluno e mostra a aplicação prática do mesmo.


  • ADAUTO DE JESUS PEREIRA, Prefeitura Muncipal de Botucatu , São Paulo - disse:
    adauto.pereira@educatu.com.br

    22/02/2015

    Cinco estrelas

    Muito boa: teórica e prática. Parabéns! Continue socializando o conhecimento. Todos ganhamos e, pricipalmente, os nossos alunos. Abraços.


  • EMANUEL ADEILTON , Escola Municipal Francisco de Oliveira Melo , Rio Grande do Norte - disse:
    emanueladceilton@hotmail.com

    23/09/2014

    Cinco estrelas

    parabéns pelo exelente trabalho gostei muito, vou aproveitala e também utilizala com reforço para um projeto da escola. valeu boa sorte


  • Thiago Henrique, Escola Estadual Maria Carmelita do Carmo , Amapá - disse:
    thiago.flores63@gmail.com

    10/05/2013

    Cinco estrelas

    É muito legal essa aula,já estou a um tempo pensando em fazer engenharia cívil, e com essa aula estou motivado a fazer essa área da engenharia que é da área cívil. Muito boa a aula mesmo . Parabéns .


  • Aline Vitorina, nenhuma , Minas Gerais - disse:
    AlineVitorina@hotmail.com

    18/01/2012

    Quatro estrelas

    Acheiii mega bacana pois estou pensando em fazer engenharia civill ....sensacional


  • Márcio Rênis Barbosa da Silva, CETI - MARCANTONIO VILACA II , Amazonas - disse:
    marciorenis@hotmail.com

    28/09/2011

    Quatro estrelas

    Esta aula serve muito bem como estímulo para a garotada estudar Engenharia, que é um mercado de trabalho que precisa bastante de profissionais no país.


  • Guilherme, Guilherme , Pernambuco - disse:
    gu.if@hotmail.com

    10/08/2011

    Cinco estrelas

    Muito bom vo usar em um trabalho da escola vlw awe


  • marco, IFAM , Amazonas - disse:
    marcofut@hotmail.com

    28/04/2011

    Quatro estrelas

    concordo com o Ricardo, simples e basicamente uteis.


  • RICARDO VIEGAS, umc , São Paulo - disse:
    falcon350km@gmail.com

    26/12/2010

    Cinco estrelas

    Gostei muito, explicações simples, mas, muito uteis.


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