Construir e compreender as razões trigonométricas com os instrumentos de desenho geométrico

Manuseio dos instrumentos de desenho geométrico

As razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente de um ângulo) compõem um tema da trigonometria fundamental de extrema importância. O que proponho nesta aula é a construção desses conceitos com o auxílio do desenho geométrico, e uma discussão do tema.

Vamos construir primeiramente o seno. Como sabemos:

Vamos construir, com ferramentas de desenho geométrico, o seno de 35°, por exemplo.

• Folha de papel A4;
• Régua milimetrada (25 cm);
• Transferidor de ângulos;
• Lápis, caneta e borracha.

O procedimento abaixo pode ser reproduzido, individualmente, com os alunos em sala de aula. Acompanhe:

1) Desenhe uma linha horizontal (entre 7 e 12 cm, aproximadamente);

2) Marque na extremidade esquerda o vértice onde construiremos o ângulo â;

3) Com o auxílio de um transferidor de ângulos, marque 35° e trace o segmento;

4) Marque o segundo vértice do triângulo;

5) Novamente com a ajuda de um transferidor, marque agora 90° e trace o segmento;

Discuta com os alunos outras formas de desenhar um ângulo reto. Podemos usar os esquadros ou um compasso.

6) Com o triângulo retângulo desenhado, use uma régua para medir o cateto oposto ao ângulo â;

7) Meça também a hipotenusa do triângulo;

8) Calcule a razão entre o cateto oposto ao ângulo â e a hipotenusa do triângulo e compare o resultado obtido com o valor do seno de 35° numa tabela trigonométrica ou numa calculadora científica.

Faça um fórum para discutir tópicos relevantes. Lance questionamentos como:

• Se cada aluno construiu um triângulo com dimensões diferentes, como os resultados dos senos ficaram bem próximos?
• Como isso pode estar relacionado com a semelhança de triângulos?
• Que critério de semelhança de triângulos justifica esse fato?
• Como isso pode ser usado no dia a dia para resolver problemas de cálculo de distâncias inacessíveis?
• Por que o resultado obtido não é exatamente igual ao da tabela trigonométrica?
• Como poderíamos fazer esta construção com resultados mais precisos?
• Com os instrumentos que usamos, o que nos oferecerá maior precisão? Um triângulo com dimensões pequenas ou um grande triângulo?
• Será que existe um meio algébrico de se obter o seno de um ângulo?
• Este fórum é de extrema importância, pois faz com que o aluno reflita e compreenda o significado do seno de um ângulo qualquer.

Agora vamos ao cosseno. Sabemos que:

Usando o mesmo triângulo retângulo construído na atividade anterior, meça agora o cateto adjacente ao ângulo â e a hipotenusa do triângulo:

Faça a razão entre o cateto adjacente ao ângulo â e a hipotenusa do triângulo. O valor obtido neste caso é, aproximadamente, 0,82.

Os questionamentos feitos na atividade anterior podem ser revistos.

E vamos finalmente à tangente. Sabemos que:

Usando ainda o mesmo triângulo retângulo construído na primeira atividade, meça os catetos do triângulo:

Faça a razão entre o cateto oposto ao ângulo â e o cateto adjacente ao ângulo â. O valor obtido neste caso é, aproximadamente, 0,7.

Repasse alguns questionamentos feitos na atividade anterior, e dê ênfase em problemas de alturas inacessíveis. Mostre porque a tangente é importante em problemas desse tipo (a altura inacessível equivale ao cateto oposto ao ângulo do observador mais a sua altura e a distância entre o observador e o objeto em questão corresponde ao outro cateto). Veja:

Esta atividade pode ser feita em grupos de 5 alunos. Usando as construções acima, peça para cada grupo criar a sua própria tabela trigonométrica de 5 em 5 graus (de zero a 90°). Com as tabelas prontas faça uma comparação com uma tabela trigonométrica completa. Neste momento é importante o aluno perceber a importância de um desenho bem feito para uma boa precisão em seus cálculos.

Esta aula do Portal do Professor de "Distâncias Inacessíveis" pode enriquecer a aula: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=22970

A avaliação pode ser feita durante as atividades. O professor poderá avaliar, também, a precisão do aluno na atividade, pois esta precisão estará relacionada com a qualidade do desenho produzido.