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Um Sistema de Coordenadas Não Ortogonal

 

17/02/2011

Autor e Coautor(es)
VICTOR CESAR PAIXAO SANTOS
imagem do usuário

RIO DE JANEIRO - RJ Universidade Federal do Rio de Janeiro

Rita Maria Cardoso Meirelles, Fernando Celso Villar Marinho, Jackson Lopes da Cunha,

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Médio Matemática Tecnologia para a matemática
Ensino Médio Matemática Álgebra
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula
  • sistema de coordenadas com eixos não ortogonais;
  • semelhanças e diferenças entre eixos ortogonais e não ortogonais.
Duração das atividades
Enviado para não prejudicar a Validadora.
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Reta Numerada;

Sistema de coordenadas cartesianas (eixos ortogonais).

Estratégias e recursos da aula

 

A idéia de localizar posições utilizando-se números, vem de longe e é usada em muitas situações da nossa vida.
 
  • Quando vamos ao teatro e temos um bilhete marcado G-7, sabemos que devemos nos dirigir à fileira (linha) G, cadeira (coluna) número 7. 
  • Também quando localizamos uma cidade no mapa usamos a linha do Equador (horizontal) e o meridiano de Greenwich (vertical) para informar onde está esta cidade. 
  • "Retas paralelas" ao Equador determinam a latitude de um ponto qualquer, isto é a distância, dada em graus, deste ponto ao Equador. Como o Equador divide a Terra em duas metades, pontos, no mapa, localizados acima dele têm latitude Norte e pontos localizados abaixo, latitude Sul. Da mesma maneira, "retas paralelas" ao meridiano de Greenwich determinam a longitude de um ponto ou sua distância em relação a este meridiano. Pontos localizados a sua esquerda têm longitude Oeste e pontos localizados a sua direita, longitude Leste.

Nesta aula vamos estudar diferentes formas de estabelecer os eixos de referência para o sistema de localização.

 

Atividade 1

René Descartes e o Sistema de Coordenadas Ortogonais

 

Em 1619, o filósofo e matemático francês René Descartes (1596-1650) percebeu que a idéia de determinar posições utilizando retas, escolhidas como referência, poderia ser aplicado à matemática. Para isso usou retas numeradas.
 
Nas aulas
 
vimos que em uma reta numerada cada ponto corresponde a um número e cada número corresponde a um ponto, definindo-se desta maneira, um sistema de coordenadas na reta. 
 
Como o plano tem duas dimensões, para localizar pontos no plano, precisamos de dois números, ao invés de um. Descartes resolveu este problema usando duas retas numeradas, perpendiculares, cortando-se na origem.
 

 

Sistema de Coordenadas Cartesianas,

Fonte: http://agavelar.ccems.pt/matematica/Exercicios7/coordenadas/exercicio2/coordenadas10.gif

 
 
 Usualmente, uma dessas retas é horizontal, com a direção positiva para a direita. Esta reta será chamada eixo x ou eixo das abscissas. A outra reta, vertical com a direção positiva para cima, é chamada eixo y , ou eixo das ordenadas.

 

1º) Essa atividade deve ser utilizada para relembrar a localização no plano a partir de coordenadas cartesianas.

2º) Apresente aos alunos as informações dadas no início desta atividade.

3º) Com auxílio de um data-show, exiba a imagem abaixo:

Sistema de Coordenadas Cartesianas.

Sistema de Coordenadas Cartesianas

Fonte: http://agavelar.ccems.pt/matematica/Exercicios7/coordenadas/exercicio2/coordenadas10.gif

 

4º) Escolha, alternadamente, um aluno para responder cada uma das seguintes questões:

1) Diga quais são as coordenadas do ponto:

A

B

C

D

E

F

G

H

2) Qual a medida do lado do quadrado ABCD?

3) Qual a medida da área quadrado EFGH?

 

 

1) A(-2,-2)

B(2,-2)

C(2,2)

D(-2,2)

E(-4,0)

F(0,-4)

G(4,0)

H(0,4)

2) 4.

3) 32. Obs: Note que há diferentes formas de encontrar este valor, por exemplo, montando dois quadrados de lado 4.

 

5º) Professor, caso perceba que os alunos tiveram dificuldades nesta atividade NÃO avance para a próxima. Procure outros exercícios para reforçar este conceito. As próximas atividades só devem ser feitas se os alunos dominarem a primeira. Como sugestão de atividades indicamos o site abaixo

Atividade Extra Sistema Cartesiano

Fonte: http://agavelar.ccems.pt/matematica/Exercicios7/coordenadas/exercicio2/coordenadas10.htm

 

Atividade 2

 

Coordenadas Polares

 

A representação de pontos do plano por meio de coordenadas pode ser realizado de uma forma diferente. Vejamos: um ponto qualquer do plano, como já vimos na atividade anterior, terá sua posição perfeitamente determinada por meio de um par ordenado de números reais que representam as medidas de suas distâncias aos eixos orientados, um deles vertical e o outro horizontal.
 
Tal sistema não é novo a quem está habituado a localizar uma cidade no mapa. O eixo " vertical " , nesse caso, é o meridiano que passa por Greenwich, e o "horizontal" é o Equador ; as coordenadas, então, serão constituídas pelo par de números que definem a latitude e a longitude do lugar. O jogo conhecido como "Batalha Naval" é um outro exemplo de uso de um sistema de coordenadas.
 
Na antiguidade, os egípcios já utilizavam tal sistema de referência nos seus projetos e construções de templos e pirâmides. Os agrimensores romanos, para seus cálculos, dividiam os campos por meio de linhas retas paralelas entre si, perpendiculares a uma linha de referência que denominavam " linae ordinatae " ( linha ordenada ).
 
No século XVII, surgem os primeiros ensaios sistemáticos sobre Geometria Analítica. Seus autores foram Pierre Fermat e René Descartes. Fermat, retomando a idéia dos construtores egípcios, localiza pontos no plano usando como referência um par de retas perpendiculares entre si. Este sistema, apesar de ter sido introduzido por Fermat, recebeu o nome de "Sistema Cartesiano " em homenagem a Descartes, que assinava o seu nome em latim: Cartesius.
 
Existem muitos outros sistemas de coordenadas, além do cartesiano, cada um deles criado para atender um determinado propósito. Um desses outros sistemas, muito utilizado, é o sistema polar ou sistema de coordenadas polares . 

 

 

 

A figura acima mostra a relação entre o sistema de coordenadas cartesiano e o sistema de coordenadas polares.

No sistema de coordenadas polares as duas informações utilizadas para identificar a posição do ponto no plano são: a distância a origem (r) e o ângulo de inclinação formado pelo eixo polar e o segmento de reta formado pela origem e o ponto P.

1º) Leve os alunos para um laboratório de informática.

2º) Indique o site a seguir para que eles possam manipular livremente um ponto no plano e as respectivas coordenadas polares.

http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/coordenadapolar.html

Coordenadas Polares

Imagem do autor.

Logo importante

Note que o número casas de decimais, para a medida do ângulo e para a distância da origem ao ponto,  pode ser ampliado. Questione aos alunos se o mesmo ocorre no sistema de coordenadas cartesiano.

3º)  Convide os alunos a acessarem a página do projeto WebMat - UFF 

WebMat UFF

http://www.uff.br/webmat/index.html

 

4º) Explique que as regiões em movimento estão relacionadas a partir de uma mudança de coordenas T. Na esquerda as informações são dadas em coordenadas cartesianas e na direita em coordenadas polares.

 

 

Atividade 3

 

1º) Organize os alunos em grupos.  

2º) Previamente, providencie cópias da folha de atividades disponível no link abaixo e distribua uma para cada grupo.  

http://www.projetofundao.ufrj.br//matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/CoordenadasPolares.pdf

 

 

Atividade 03

Imagem editada pelo autor

3º) Este trabalho é de aprofundamento do conteúdo estudado. Proponha como uma atividade extra. Dê pontos extras para os alunos dos grupos que se empenharem em resolver os problemas. Reserve um tempo de aula para corrigir este trabalho a partir das resoluções dos alunos.

Recursos Complementares
Avaliação

Esta atividade é de aprofundamento e este conteúdo não deve ser cobrado de todos os alunos. Por isso, sugerimos que sejam usados somente os exercícios 3 e 4 da folha de exercícios da atividade 3 para avaliação. Sempre como um bônus para os alunos.

 

Folha de exercícios disponível em http://www.projetofundao.ufrj.br//matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/CoordenadasPolares.pdf.

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