• Determinar a lei de formação de uma função a partir dos dados fornecidos por uma dada situação-problema;
• Analisar gráficos de funções quadráticas;
• Utilizar o conceito de ponto máximo de uma função quadrática para analisar uma situação – problema.

-Conhecimentos de funções afins: definição, lei de formação e representação gráfica;

-Noções iniciais sobre função quadrática: definição, lei de formação, representação gráfica, vértice da parábola, imagem da função quadrática e cálculo de máximos e mínimos.

-Definição de retângulo;

- Noções básicas de perímetro e área.

AMBIENTE 1 : SALA DE AULA

ATIVIDADE 1

DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE:

O professor deverá propor a seguinte situação-problema, escrevendo-a no quadro: O diretor de uma escola deseja cercar a quadra de esportes (que tem forma retangular) e o espaço em volta dela com tela de alambrado, como mostra a figura abaixo.

Fonte:Imagem do Autor

Com 200 metros de tela, quais devem ser as dimensões do terreno para que a área cercada seja a maior possível?

Esta atividade deverá ser desenvolvida em grupos de no máximo 3 alunos objetivando a troca de informações entre todos os integrantes do grupo.

MOMENTO DO ALUNO:

Este é o momento em que os alunos buscarão resolver a situação-problema. Eles poderão ter dificuldades em representar as medidas do campo baseadas nos dados do problema, isto é, representar a situação algebricamente. Desse modo, o professor poderá relembrar com os alunos o conceito de perímetro, para isso ele pode utilizar as medidas do comprimento e largura da sala de aula, e em seguida questioná-los como o cálculo do perímetro pode auxiliar na determinação das medidas da quadra?

DISCUSSÃO:

Os alunos deverão expor para o restante da turma as suas soluções. Após ou durante essa exposição, recomenda-se que o professor discuta com a turma quais as dificuldades encontradas para a formação das soluções obtidas.  

SISTEMATIZAÇÃO:

Com o objetivo de formalizar os aspectos ressaltados no momento anterior (discussão), recomenda-se que o professor construa com os alunos a solução do problema proposto identificando as contribuições de cada grupo nesse processo. Segue abaixo uma sugestão para essa sistematização, convém ressaltar que o professor pode adequar a sucessão das etapas aqui sugeridas de acordo com a maneira utilizada pelos alunos para organizar suas soluções.

Seja x o comprimento, y a largura e p o perímetro do terreno que será cercado.

Temos:

Perímetro = 2x+2y
200 = 2x+2y
x+y = 100
y = 100-x

Assim as medidas do terreno serão: x e 100 - x. Denominando o terreno de retângulo ABCD, como mostra a figura abaixo:

Fonte:Imagem do autor

Temos, a área (A) dada por:

 A = xy = x(100-x) = 100x - x²
Como a função é do 2º grau, a área máxima e as medidas serão encontradas da seguinte maneira:
 x_v = -b/2a = -100/-2 = 50

 y_v = -Δ/4a = -(10000 – 4.(-1).0) / 4. (-1) = 2500

 Assim, x = 50, y = 100-x = 100-50 = 50

O retângulo que terá a maior área será o de lados 50m e 50m e área máxima igual a 2500 m². 

AMBIENTE 2: LABORATÓRIO DE INFORMÁTICA

ATIVIDADE 2

PREPARAÇÃO DO AMBIENTE:

Os recursos utilizados nesta atividade serão pincel, data-show (alternativa: quadro branco), caderno, lápis ou caneta, computadores com o software “Winplot” disponível no Banco Internacional de Objetos Educacionais: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/2214

Winplot 

Fonte: Imagem do autor

ORIENTAÇÕES QUANTO AO USO DO SOFTWARE:

Ao abrir o programa, clique no menu Janela e selecione a opção 2 - dim ou clique F1 para ter acesso aos comandos que serão utilizados nessa aula, como mostra a figura acima.

Seguem abaixo algumas orientações quanto ao uso dos recursos necessários para a realização desta atividade:

-Ao clicar no menu equação e selecionar a opção explícita ou teclar F1, aparecerá a janela abaixo.

Fonte:Imagem do autor

No primeiro campo, denominado f(x), digitam-se as expressões que definem uma função de x.

Obs.: Este aplicativo não reconhece a representação usual para o quadrado de um número, assim, é preciso representá-lo de outra forma, por exemplo: x² digita-se x^2.

Além deste, outros campos poderão ser preenchidos:

• x mín. e x max.: Digitar os valores mínimo e máximo de x e marcar a opção “travar intervalo” para determinar o domínio da função.
• Espessura da linha: Digite valores para aumentar ou diminuir a espessura da curva y=f(x).
• Botão Cor: Escolher uma cor para o gráfico.

Obs.: As teclas Page Up e Page Down também poderão ser utilizadas.  Elas aumentam e diminuem, respectivamente, a imagem do gráfico.  

DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE:

Inicialmente, os alunos se organizarão em duplas. E em seguida, com o objetivo de desenvolver a habilidade de construção e análise de gráficos em um aplicativo educacional, o professor deverá propor a seguinte atividade a ser realizada utilizando o software Winplot:

1) Trace o gráfico das funções apresentadas abaixo:

a) f(x) = -x²+2x+1;

b) f(x) = x²+2x+1;

c) f(x) = -x²;

d) f(x)=x²-6x+9

Obs.: O aplicativo fará a distinção entre os gráficos a partir de cores diferenciadas, já que os mesmos serão construídos em um único plano.

2) A partir dos gráficos construídos e dos conhecimentos sobre função quadrática, em para cada função determinar:

a) Concavidade;

b) Zeros da função;

c) Ponto onde o gráfico toca o eixo OY.

Obs.: As respostas do item 2 deverão ser escritas no caderno.

MOMENTO DO ALUNO

Neste momento, os alunos buscarão realizar a atividade proposta.

DISCUSSÃO:

O professor deverá solicitar aos alunos que apresentem os gráficos do item 1 utilizando o software Winplot e o data-show (alternativa: quadro branco) e no quadro branco as soluções obtidas no item 2. O professor deverá estimular uma discussão sobre as principais dificuldades encontradas na realização dessa atividade.

SISTEMATIZAÇÃO:

Neste momento deverá ocorrer a sistematização do conteúdo explorado nessa atividade, para isso o professor deverá propor aos alunos os seguintes questionamentos a serem respondidos a partir da análise dos gráficos já construídos por eles: Qual a diferença, em relação a coeficientes, entre uma função que apresenta como gráfico uma parábola voltada para cima e uma função cujo gráfico é uma parábola voltada para baixo? Analisando os gráficos como podemos identificar o conjunto imagem das funções trabalhadas? E quais são as funções que possuem ponto máximo? E quais delas possuem ponto mínimo?

AMBIENTE 3:LABORATÓRIO DE INFORMÁTICA

ATIVIDADE 3:

DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE:

Ainda com a organização da turma em duplas, o professor deverá explicar aos alunos que eles irão utilizar o Winplot para analisar o problema proposto na Atividade 1. Inicialmente eles deverão representar a função área, A = 100x - x², no software.

Observação: Ao construir o gráfico dessa função os alunos terão que fazer uso da tecla Page down para diminuir a imagem do gráfico, e assim ser visualizado adequadamente.

Após a construção do gráfico, os alunos deverão responder as seguintes perguntas: Qual é o coeficiente do termo de maior grau dessa função? A concavidade neste gráfico é voltada para cima ou para baixo? Qual é o valor do y_v dessa função? O gráfico apresenta um ponto máximo ou um ponto mínimo?

MOMENTO DO ALUNO:

Neste momento, os alunos buscarão realizar a atividade proposta utilizando o software Winplot.

DISCUSSÃO:         

Os alunos irão expor as soluções obtidas na realização da atividade. Em seguida, o professor deverá estimular um debate sobre a resolução da atividade 1 e as informações obtidas nesta atividade, a partir do seguinte questionamento: Qual é a relação entre o ponto de máximo observado no gráfico da função área e o sinal do coeficiente do termo de maior  grau da lei de formação dessa função? Essa relação é válida para outras funções com as mesmas características da função área no que diz respeito ao ponto de máximo e mínimo e o sinal do coeficiente do termo de maior grau?

SISTEMATIZAÇÃO:

Com o intuito de possibilitar uma visualização geométrica do que significa a área máxima que deve ser cercada na atividade 1, o professor deverá perguntar aos alunos, e os mesmos deverão responder a partir da visualização do gráfico da função área, o que significa a ordenada do vértice na situação – problema proposta na atividade 1? E a abscissa desse vértice?

http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php- Nesta página, encontra-se um resumo sobre a construção e a análise de gráficos de uma função quadrática.

Recomenda-se que o  professor  averigúe se os alunos conseguiram compreender os conceitos trabalhados em cada atividade. Na atividade 1, sugere-se ao professor verificar se os alunos conseguiram construir a lei de formação da função que representa a área do terreno que deve ser cercada. Além disso, poderá ser verificado se o aluno compreendeu algebricamente a relação entre o valor máximo da função e a área máxima do terreno. Na atividade 2, o docente poderá averiguar se os alunos conseguiram identificar no gráfico as características solicitadas na atividade proposta. Na atividade 3, o professor poderá identificar se os alunos conseguiram visualizar a solução da situação problema proposta na atividade 1de forma geométrica, ou seja, se os alunos conseguiram identificar a relação entre a solução do problema e o gráfico correspondente.