·        Identificar as características de uma grandeza vetorial.

·        Resolver operações matemáticas envolvendo grandezas vetoriais.

·        Comparar grandezas escalares com grandezas vetoriais.

          Funções trigonométricas aplicadas em um triângulo

          Inicialmente o professor deverá informar aos alunos o conceito de Vetor. Para isso poderá começar com a ilustração de uma grandeza vetorial bem característica de um vetor, o deslocamento.

“Atividade I”

           Sugerimos que faça uma prática muito simples, mas muito útil para o aluno compreender o que é o deslocamento entre dois pontos considerados. Para isso, será preciso apenas de metro para medir ou régua escolar e cerca de 10 metros de barbante ou linha de nylon. Leve os alunos para uma área mais livre na escola, numa quadra de esportes, no pátio, ou em outro local disponível e divida os alunos em dupla. Peça aos alunos que marquem dois pontos, dois pontos A e B a pelo menos 5 metros de distância entre eles. Peça a um aluno que partindo do ponto A, caminhe até o ponto B enquanto o outro caminhe de B até A, passando por lugares diferentes. Peça também desenhe numa folha de caderno os pontos A e B e os uma linha fraca por onde passaram entre os pontos. Em seguida um aluno deverá ficar no ponto A segurando uma ponta do barbante enquanto o outro deverá ficar no ponto B segurando o barbante mantendo-o esticado. Se possível, treine dois ou mais alunos antes, para servir de monitores, auxiliando a supervisão nos procedimentos das duplas.

        Explique para os alunos que o barbante esticado corresponde ao deslocamento entre A e B, e é exatamente um segmento de reta. A Figura 01 é o esquema exemplificando o que foi realizado no experimento.

          Depois, na sala de aulas, o professor deverá expor para a turma o seguinte exemplo. Suponha que um avião partindo de Brasília, após decolar e atingir certa altitude voe 400 km em linha reta. Peça aos alunos que desenhe numa folha o deslocamento correspondente ao trajeto do avião.

          Provavelmente terão dificuldade em desenhar o segmento de reta ou terão várias respostas. O professor deverá observar as respostas e compará-las ou deixar dúvidas quanto à direção do deslocamento.

          Em seguida deverá fornecer mais informação sobre o deslocamento dizendo que o avião voou na direção Norte-Sul. Peça novamente que trace o deslocamento correspondente.

          Mesmo assim terão dúvidas porque não poderão afirmar se foi para o Norte ou para o Sul, se não argumentarem essa dúvida, o professor deverá reforçar que Norte-Sul é a direção, mas o avião poderá ter se dirigido para o Norte ou para o Sul, ou seja, o sentido do deslocamento não ficou definido.

          A partir daí o professor deverá complementar a informação dizendo que o avião deslocou 400 km na direção Norte-Sul, seguindo para o Sul. Nesse caso não terão dificuldades em interpretar o trajeto e traçar o deslocamento correspondente, como na Figura 02.

          O professor então deverá informar para a turma que o deslocamento é uma grandeza vetorial e que vetor é um artifício matemático, cuja representação geométrica, é um segmento de reta orientado, como foi representado o deslocamento do avião. Os pontos nas extremidades do vetor são denominados de: origem do vetor corresponde ao início do vetor, e extremidade do vetor é o ponto onde termina o vetor. A seta na extremidade fornece o sentido do vetor. Um vetor, só se torna bem caracterizado, sem dúvida de interpretação, quando é informado seu valor (módulo ou intensidade do vetor) inclusive a unidade, sua direção, direção Norte-Sul no exemplo do avião, e o seu sentido, sentido para o Sul, neste caso.

          Exemplo de grandeza vetorial e grandeza escalar: se ouvirmos a informação em um dado momento que a temperatura numa região é 25^oC, essa informação do valor seguido da unidade é suficiente para termos idéia da temperatura na região, porém se ouvirmos a notícia que um automóvel está a 80 km/h na ponte Rio - Niterói, não é suficiente para entendermos como ele move. Ele poderá estar movendo no sentido indo para o Rio ou para Niterói. A temperatura é uma grandeza escalar, fica bem determinado por um valor acompanhado da respectiva unidade, já a velocidade é uma grandeza vetorial, além do valor seguido da respectiva unidade, necessita ainda informar qual a direção e qual o sentido.  

        Além disso, um outro detalhe muito importante é a particularidade como resolvemos operações com grandezas vetoriais, como na próxima atividade.

“Atividade II”

          No próximo passo o professor deverá marcar três pontos fixos, pontos A, B e C, de tal modo que estes pontos não sejam colineares. Em seguida, pedir a um aluno que saindo do ponto A, caminhe até o ponto C, passando pelo ponto B. Peça também que mantendo o barbante esticado fixe-o nesses pontos. Depois peça a um grupo de alunos que com uma trena ou metro, meçam o comprimento do barbante entre A e B, e entre B e C. Peça também para o grupo fixar um pedaço do barbante mantendo-o esticado entre o ponto A e o ponto C, e medir o comprimento desse barbante, deslocamento AC.

          A Figura 03 esquematiza esse procedimento. Pergunte aos alunos:qual o módulo, valor, do deslocamento quando o colega caminhou de A até B? E de B até C? Qual o deslocamento do aluno em toda caminhada de A até C? A soma dos valores AB + BC = AC?

          É muito fácil verificar que o deslocamento total de A até C, AC, é diferente da soma dos valores de A até B, AB, mais o deslocamento de B até C, BC, além disso, pode ser comprovado pelos valores obtidos das medidas efetuadas que AC  ≠ AB + BC.

          Após fazer esta checagem com os alunos o professor deverá então argumentar que além da necessidade de fornecer módulo, direção e sentido para que as grandezas vetoriais se tornem definidas, essas grandezas ainda possuem uma maneira particular de operação, como na soma dos deslocamentos, Veja na Figura 04.

“Atividade III”

          O professor deverá então mostrar para os alunos que o deslocamento pode ser tratado como um vetor, e neste caso, o deslocamento AB pode ser denominado de vetor a, deslocamento BC como vetor b e o deslocamento total, resultante AC, igual ao vetor c, cuja representação gráfica de cada vetor é a letra correspondente com uma setinha acima dela como pode ser verificado na Figura 04. Deverá medir o ângulo (alfa), no triângulo ABC, ilustrado no esquema desta figura. Depois com os valores medidos de AB = a e BC = b, forneça o valor do co-seno do ângulo alfa e peça aos alunos para calcular o comprimento do deslocamento resultante AC = c, usando a lei dos co-senos, Figura 04.

          Por exemplo, suponha que as medidas encontradas tenham sido; a = 8 m; b = 6 m e alfa = 37^o; como os três lados formam um triângulo, aplicando a lei dos co-senos para um triângulo, vão encontrar que:

• c² = 8² + 6² - 2.8.6.0,8
• c² = 64 + 36 - 76,8
• c² = 23,2
• c = 4,8 m

          O professor deverá argumentar com os alunos que o ângulo formado entre os vetores a e b não é o ângulo alfa e sim o ângulo suplementar do ângulo alfa, (180 – alfa), conforme está ilustrado na Figura 05, abaixo.

        Ao final peça aos alunos que dê 3 exemplos de grandezas vetoriais e 3 exemplos de grandezas escalares, justificando porque são escalares ou vetoriais.

          O professor poderá acessar o seguinte conteúdo que é um experimento sobre soma de dois vetores, cujo material é muito simples, fácil de conseguir, cuja montagem não apresenta dificuldade para o aluno e, se realizado com os devidos cuidados, terá um resultado satisfatório, igual ou muito próximo do valor calculado matematicamente. Este conteúdo se encontra disponível no Portal do Professor, com o título e endereço abaixo:

Experimento 12 - Introdução ao estudo de grandezas vetoriais

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=22564

          O professor também poderá acessar a sugestão de aula publicada no Portal do professor com o seguinte título e endereço:

Vetores – conceito e operações

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=22275

           Peça aos alunos para resolverem em local e horário extra classe, em equipes de no máximo 4 membros, o seguinte problema sobre soma de deslocamento. 

          Uma pessoa fazendo caminhada sai de um ponto S, caminha os primeiros 400 m na direção norte sul seguindo para o Sul até atingir um ponto M. Depois caminha mais 300 m na direção leste oeste sentido para o leste chegando no ponto F. Resolva:

1.      Faça um esquema mostrando todo o percurso.

2.      Se ela conseguir um caminho em linha reta até o ponto inicial S, quantos metros ela andará para completar o percurso, de F até S?

3.      Qual a distância percorrida em toda caminhada?

4.      Se ao chegar ao ponto F retornasse pelo mesmo caminhão, passando por M, quantos metros a pessoa teria caminhado?