• A relação entrer as funções senoidais e cossenoidais com o movimento harmônico simples.
• A relação entre o movimento de um pêndulo simples e o gráfico da função harmônica e como reconhecer seu período, frequência e amplitude.
• Sobre a necessidade de que haja uma fonte de perturbação (que pode ser um sistema em movimento harmônico simples) para que uma onda mecânica exista e se propague.

100 minutos

• Movimentos periódicos (oscilações de um corpo preso a uma mola, oscilações de um pêndulo, vibrações de um instrumento musical de corda).
• Funções senoidais e cossenoidais.
• Conceitos de amplitude, período e frequência para um movimento oscilatório e como frequência e comprimento de onda se relacionam com a velocidade de propagação de uma onda.

Com essa aula, deverá ficar claro para os estudantes o que é um movimento harmônico simples, porque funções senoidais e cossenoidais descrevem esse tipo de movimento e qual a relação entre movimentos periódicos e ondas mecânicas.

A aula deverá ser realizada no laboratório de Física. Além dos materiais necessários para as atividades, incluindo vários suportes fixados no teto para montagem de pêndulos, o laboratório deverá possuir recursos multimídia (projetor multimídia e computador conectado à internet). A turma deverá ser dividida em equipes de, no máximo, 5 estudantes.

De início, o professor deverá esclarecer para os estudantes que um movimento harmônico simples, MHS, é um tipo especial de movimento periódico que ocorre quando a força que age sobre o corpo em questão (no caso do pêndulo, a massa pendurada no fio) é proporcional ao deslocamento da partícula em relação à posição de equilíbrio e é dirigida sempre para essa posição. Essa força é chamada de força restauradora. O movimento de um pêndulo simples só é considerado um MHS para pequenos ângulos iniciais do fio com a vertical. Essa condição garante que a força que age na massa tenha as características exigidas para um MHS.

 

Atividade 1. Medição da amplitude, do período e da frequência de um pêndulo simples

Essa atividade tem por objetivo ensinar ao estudante medir a amplitude, o período das oscilações e a frequência de um pêndulo simples e constatar que o período depende apenas do comprimento do fio.

 

Estratégias e recursos

- Aula experimental

Material

- 1 pedaço de cordão de 1,0 m de comprimento e uma massa aferida de 50 g;

- 1 pedaço de cordão de 1,0 m de comprimento e uma massa de 100 g;

- 1 pedaço de cordão de 1,0 m de comprimento e uma massa de 150 g;

- 1 pedaço de cordão de 0,5 m de comprimento e uma massa de 100 g;

- 1 pedaço de cordão de 1,5 m de comprimento e uma massa de 100 g;

- 1 cronômetro para cada equipe;

Observação: Cada conjunto formado por pedaço de cordão e massa aferida é para uma equipe de estudantes. Pensamos numa turma de 25 estudantes. Os valores diferentes são necessários para que, após a socialização dos resultados de medidas realizadas pelas equipes, os estudantes possam chegar a determinadas conclusões a respeito das oscilações do pêndulo simples.

 

Figura 1.  Pêndulo simples de comprimento L, fazendo um ângulo com a vertical. As forças que atuam na massa m estão destacadas. Imagem obtida no endereço: http://www.coladaweb.com/fisica/pendulo_arquivos/image002.jpg

 

Procedimento

- Cada equipe deve montar um pêndulo, pendurando uma das extremidades do cordão num suporte preso ao teto e fixando uma massa aferida à outra extremidade (ver figura 1).

- Os estudantes de cada equipe devem medir a amplitude, o período e a frequência do pêndulo, sempre posicionando a massa do pêndulo de modo a obter pequenos ângulos do fio em relação à vertical (ângulos de, no máximo, 20⁰). Para as medidas do período e da frequência, o professor deve solicitar que os estudantes obtenham um valor médio, considerando umas 10 oscilações do pêndulo.

Tendo por base os experimentos realizados, os estudantes deverão socializar os valores das grandezas medidas para cada pêndulo. Em seguida, eles deverão responder às seguintes questões propostas:

Questões:

a)      Por quê posicionar o pêndulo com ângulos de, no máximo, 20⁰?

Resposta esperada: Para pequenos ângulos teremos pequenas oscilações do pêndulo simples, que podem ser descritas como um movimento harmônico simples.

b)     O valores medidos para os períodos dos pêndulos de 1,0 m de comprimento apresentaram valores distintos (dentro da margem de erro do experimento) pelo fato de possuírem massas diferentes?

Resposta esperada: Não. Os valores medidos para o período foram iguais para os pêndulos com o mesmo comprimento, independentemente do valor da massa acoplada a eles.

c)      O valores medidos para os períodos dos pêndulos de massas iguais apresentaram valores distintos (dentro da margem de erro do experimento) pelo fato de possuírem comprimentos diferentes?

Resposta esperada: Sim. Os valores medidos para o período foram diferentes para diferentes comprimentos do fio, independentemente do fato de possuírem a mesma massa.

 

Atividade 2 :  Movimento de um pêndulo simples em função do tempo

O  objetivo é fazer o estudante perceber a relação entre o movimento do pêndulo simples com a descrição matemática feita em termos das funções harmônicas senoidais.

 

Materiais e recursos necessários

- computador conectado à internet;

- um pêndulo, especialmente montado para essa demonstração, de comprimento igual a 1,0 m, por exemplo, e com um dispositivo na extremidade do fio que deixa cair areia fina. Esse dispositivo pode ser montado com um paliteiro plástico (usado em restaurante), preenchido com açúcar cristal, farinha ou areia fina, de granulação tal que permita um escoamento lento e constante, enquanto o pêndulo oscila.

 

Observação: esse material é para uma equipe de estudantes. Pensamos numa turma de 25 estudantes.

 

Figura 2. pêndulo montado com um cordão preso a uma argola fixada no fundo de um paliteiro. O paliteiro é preenchido com areia fina, açúcar cristal ou farinha e derrama o conteúdo num escoamento lento e constante. (Foto produzida pelo autor)

 

Procedimento:

Inicialmente, o professor deverá explicar aos estudantes que o pêndulo simples, executando movimento harmônico simples ou pequenas oscilações, movimenta-se sobre um arco de circunferência de comprimento S_total = 2R x ângulo inicial do pêndulo. Num certo instante do movimento do pêndulo, o comprimento do arco que vai da posição onde ele se encontra até o ponto de equilíbrio (ponto mais baixo da trajetória) é chamado de elongação, representada pela letra S. A elongação inicial é S­₀ = R x ângulo inicial do pêndulo. O modelo matemático que explica como essa elongação varia no tempo prevê soluções senoidais, do tipo

 

S = S₀ cos(2 x 3,14 x t / T) - função cossenoidal, em que T é o período do pêndulo, ou ainda

S = S₀ sen((2 x 3,14 x t / T) + (3,14/2)) - função senoidal.

 

O professor deve explorar uma das expressões, talvez a segunda, mostrando alguns resultados interessantes, obtidos para certos valores do tempo t e coerentes com o movimento do pêndulo. Por exemplo:

- fazendo t=0, temos S = S₀, pois sen(3,14/2) = 1.

- fazendo t=T/4, temos S = 0, pois sen(3,14) = 0 (nesse instante, o pêndulo passa pelo ponto mais baixo da trajetória, pela primeira vez. Num ciclo completo do seu movimento, ele passa por ele duas vezes)

- fazendo t= T/2, temos S = -S₀, pois sen(3 x 3,14/2) = -1.

 

Figura 3. Uma senoide representando o deslocamento em função do tempo para um movimento periódico. Retirada de: http://matematicaemusica.pbworks.com/f/Figura15.jpg

 

- Para que os estudantes visualizem a função senoidal, eles deverão colocar o pêndulo em movimento oscilatório, deixando derramar seu conteúdo. Nesse caso, eles poderão segurar a extremidade livre do cordão com uma das mãos, que servirá de suporte. Em seguida, moverão o pêndulo, ou a base onde ele derrama seu conteúdo, em linha reta e com velocidade constante. Se a movimentação for executada com perfeição, o rastro deixado pelo material derramado pelo pêndulo terá forma senoidal.

Figura 4. Padrão obtido com o movimento, em linha reta e velocidade constante, do pêndulo oscilante derramando seu conteúdo sobre uma superfície plana (açúcar cristal). (Foto produzida pelo autor)

 

Figura 5. Padrão obtido com o movimento, em linha reta e velocidade constante, do pêndulo oscilante derramando seu conteúdo sobre uma superfície plana (farinha). (Foto produzida pelo autor)

 

- O professor pedirá aos estudantes que acessem o seguinte endereço eletrônico:

http://www.cepa.if.usp.br/walterfendt/phbr/pendulum_br.htm

nele, os estudantes de cada equipe poderão simular o movimento do pêndulo escolhendo o comprimento, a massa e o ângulo inicial. Eles poderão observar o gráfico da elongação, da velocidade, e outros, em função do tempo.

 

Após realizar a atividade, os estudantes deverão responder às seguintes questões:

 

1) Que função matemática descreve a variação da elongação do pêndulo com o tempo?

Resposta esperada: pode ser uma função senoidal ou cossenoidal.

 

2) O fato do pêndulo se mover derramando seu conteúdo (perdendo massa) afeta seu período?

Resposta esperada: Não. O período não depende do valor da massa, mas apenas do comprimento do fio.

Observação: se as respostas forem de acordo com a resposta esperada, o professor pode comentar que a consideração de que o período não é afetado pela perda de massa está vinculada a outra, que é a da massa ser puntual. No caso do experimento realizado, a perda de massa altera a posição do centro de massa do objeto colocado na extremidade do fio (que não é puntual), alterando, mesmo que pouco, o comprimento do pêndulo. Portanto, uma alteração do comprimento do pêndulo, causada pela perda de massa, não levaria a uma pequena variação do período? Essa questão pode ser usada para provocar uma discussão entre os estudantes.  

 

Atividade 3 : Dependência do período do pêndulo com a gravidade e relação do MHS com o movimento ondulatório

 

O objetivo é fazer o aluno perceber o que acontece com o período do pêndulo quando o valor da aceleração da gravidade se modifica.

 

Recursos necessários

- computadores conectados à internet (um para cada equipe).

 

Procedimento:

- O professor pedirá aos alunos que acessem o seguinte endereço:

http://phet.colorado.edu/sims/pendulum-lab/pendulum-lab_en.html

 

como as informações na página não estão em português, o professor deverá auxiliar os estudantes traduzindo algumas palavras para o português, mas são muito poucas coisas escritas.

- Os estudantes deverão explorar os recursos do simulador colocando o pêndulo para oscilar e alterando o valor de g. Eles poderão comparar o movimento do pêndulo com o g da Terra, da Lua, de Júpiter e até para g=0.

 

Após realizar a atividade, os estudantes deverão responder às seguintes questões:

 

1) O que acontece com o período do pêndulo quando o valor de g aumenta?

Resposta esperada: O período diminui.

 

2) O que aconteceria com o movimento do pêndulo se, de repente, a gravidade ficasse nula?

Resposta esperada: O pêndulo passaria a descrever um movimento circular uniforme.

 

Finalmente, o professor explicará a relação entre o movimento do pêndulo e uma onda mecânica. A função matemática é a mesma para as duas situações, mas uma onda mecânica é uma perturbação que se propaga em um meio material e requer uma fonte de perturbação, o meio para se propagar e algum mecanismo físico pelo qual as partículas do meio possam influenciar umas às outras. É o caso da onda se propagando numa corda, ou na superfície de lago. A onda mecânica viaja numa velocidade que é igual ao produto da sua frequência pelo seu comprimento de onda.

 

Figura 6. Onda propagando-se na água. O comprimento de onda é igual à distância entre as cristas. Figura retirada de:

http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/vibracoes-e-ondas/imagens/vibracoes-e-ondas3.gif

 

Figura 7. Comprimento de onda de uma onda se propagando numa corda. Figura retirada de: http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/vibracoes-e-ondas/imagens/vibracoes-e-ondas5.gif

 

Um sistema oscilante, como o pêndulo, pode produzir uma onda que se propaga num determinado meio. Uma maneira simples de percebermos isso é prendermos dois pêndulos de mesmo comprimento a um fio esticado. Se movimentamos um deles, uma onda se propagará pelo fio esticado e fará o outro pêndulo oscilar. velocidade de propagação da onda é igual ao produto do comprimento de onda pela frequencia.

 

Figura 8. Dois pêndulos de mesmo comprimento presos a um fio esticado. A oscilação de um deles faz o outro também oscilar. (Figura produzida pelo autor)

• Para saber mais sobre o movimento harmônico simples e o pêndulo, acessar:

http://webfis.zoo.ibilce.unesp.br/cdf/index.php?option=com_k2&view=item&id=71:movimento-harm%C3%B4nico-simples-mhs&Itemid=59

 

• Para saber sobre a história do pêndulo e também algumas de suas aplicações, acesse:

http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2001/pendulo/PenduloSimples_HTML.htm#Determinando%20a%20acelera%C3%A7%C3%A3o%20da%20gravidade

Após estudar esta aula sobre o pêndulo simples, o movimento harmônico simples e sua relação com as ondas mecânicas, o estudante deverá ser capaz de:

• Relacionar as funções senoidais e cossenoidais com o movimento harmônico simples.
• Entender porque é necessário colocar o pêndulo simples para oscilar com pequenos ângulos do fio em relação à vertical.
• Entender que o período do pêndulo simples não depende da massa acoplada a ele, mas do comprimento do fio.
• Entender a semelhança entre o movimento harmônico simples e um onda mecânica.