• Compreender a definição de radiano e relacionar o valor do ângulo com o raio e o arco correspondente.
• Compreender a relação entre velocidade linear com a velocidade angular, em um mesmo movimento.
• Avaliar as relações entre velocidades de pontos fixos em rodas acopladas.

         Geometria Básica, Medidas de Ângulos e de Comprimento.

Sugerimos que inicialmente o professor faça uma experiência que é muito simples, pode ser realizada em pouco tempo e com excelente potencial de aprendizagem. O material que o professor deverá utilizar consiste de uma roda qualquer, que poderá ser um aro de bicicleta, barbante e uma régua escolar ou fita métrica.

Atividade I

         O professor deverá dividir a turma em grupos de 4 ou 5 alunos para que todos participem da prática. Se não dispuser de material para todos, distribua pelo menos um pedaço de barbante para cada grupo e use a criatividade repassando as rodas disponíveis de um grupo para outro.

          A Figura 01 ilustra o procedimento que deverá ser seguido. Envolva a roda com um barbante contornando-a até completar uma volta; corte o barbante exatamente no ponto que completou uma volta, veja esquema, de modo que seu comprimento seja exatamente igual ao comprimento do aro da roda (perímetro da circunferência externa da roda). Estique o barbante e meça seu comprimento, P, no esquema da figura equivalente ao comprimento da circunferência da roda. Depois meça o diâmetro da roda como no esquema à direita na figura, diâmetro da circunferência externa da roda; se a régua for menor que o diâmetro use com pedaço de barbante esticado e com ela meça o comprimento marcado no barbante, diâmetro da roda equivalente a 2R na Figura 01, R é o raio da circunferência externa da roda.

          Com os dados medidos, divida o perímetro da circunferência "p" pelo diâmetro "2R". Esse é o valor corresponde ao ângulo completo de uma circunferência expresso em radianos e equivale a um número famoso (Pi), cujo valor é aproximadamente 3,14, veja na figura. Provavelmente o valor encontrado não será o valor exato, o professor então deverá explicar que já era de se esperar uma vez que toda medida é passível de erro, porém se as medidas forem efetuadas cuidadosamente e com os devidos critérios o valor encontrado deverá ser próximo do valor considerado correto.

Atividade II

           O professor deverá explicar para os alunos o conceito de duas grandezas básicas no Movimento Circular, velocidade linear e velocidade angular.

           A velocidade linear média (v_m) ou velocidade escalar média é definida como sendo o quociente entre a distância percorrida, comprimento do arco, AB = s, no esquema da Figura 02, dividido pelo intervalo de tempo gasto, (t - t_o), para percorrer tal percurso; v_m = s/(t - t_o), em que t é o instante final e t_o é o instante inicial do movimento. O valor da velocidade linear ou escalar de um móvel em movimento circular é igual ao módulo da velocidade tangencial. Em qualquer ponto de uma curva, a velocidade do móvel tem direção tangente à curva, por isso denominada de velocidade tangencial, esta é uma grandeza vetorial.

          A velocidade angular média, (w_m), é definida pelo quociente entre o ângulo central, “â”, na figura, correspondente ao arco descrito pelo móvel e o intervalo de tempo decorrido no percurso, w_m = â/(t- t_o).

          Se o movimento for uniforme, comum em alguns casos do cotidiano, o valor da velocidade linear média e o valor da velocidade angular média, têm o mesmo valor em qualquer instante, sendo tratadas unicamente por velocidade linear (v) e velocidade angular (w).

          Novamente observe a Figura 02, considere um ponto material se movendo ao longo da circunferência de raio R. Em certo intervalo de tempo (t – t_o) o ponto passa pelos pontos A e em seguida pelo ponto B, conforme ilustrado no esquema da figura. Proponha o seguinte exercício para a turma:

          Suponha que o comprimento do arco AB = s, seja 90 cm e o comprimento do raio da circunferência seja 80 cm, qual o valor do ângulo â? Se o intervalo de tempo gasto pelo ponto material para ir de A até B for 25 segundos, calcule a velocidade linear média e a velocidade angular média desenvolvida pelo ponto.

Solução:

• â = (comprimento do arco)/(comprimento do raio)
• â = s/R
• â = 90/80
• â = 1,11 radianos

Observação:

1. Quando se divide o comprimento do arco da circunferência pelo raio da mesma, usando a mesma unidade de comprimento, tem-se o valor do ângulo correspondente ao arco em radianos.
2. Em conseqüência, a expressão, â = s/R ou s = (â)R, somente é válida quando o ângulo central da circunferência, (ângulo â no esquema) for o radiano.

• v_m = s/(t – t_o)
• v_m = 90 cm/25s
• v_m = 3,6 cm/s
• w_m = â/(t – t_o)
• w_m = 1,11rad/25s
• w_m = 0,045 rad/s

Atividade III

          Com as definições de velocidade linear e velocidade angular já utilizada acima, o professor deverá encaminhar aos alunos uma orientação dirigida para que determinem a relação entre velocidade linear e velocidade angular, no movimento circular. Para isso, sugerimos o seguinte exercício:

          Considere as equações, v_m = s/(t – t_o) e s = (â)R ; lembrando da fórmula da velocidade angular determine a relação entre a velocidade linear (v_m) e a velocidade angular (w_m).

Solução:

1.      v_m = (â)R/(t – t_o)

2.      w_m =  (â)/(t – t_o)

·        Dividindo a equação 1 pela equação 2, tem-se: (v_m/w_m) = R ou v_m  = w_mR, ou seja, a velocidade linear equivale à velocidade angular (em rad/s), multiplicada pelo raio da trajetória.

          A Figura 03 representa dois esquemas, Esquema I e Esquema II. O Esquema I ilustra duas rodas A e B, de raios R e r respectivamente, que giram juntas acopladas a um mesmo eixo. No Esquema II, as duas rodas C e D, com os respectivos raios R e r, estão fixas em eixos distintos e giram acopladas a uma correia. O professor poderá usar esta figura e formular o seguinte exercício para aplicar ao conteúdo desta aula.

           Considere as rodas em movimento uniforme, o raio da roda maior, R = 20 cm e o tempo gasto para a roda maior completar uma volta igual a 25 segundos nos dois esquemas I e II,  período do movimento, calculem o valor das velocidade linear média v e da velocidade angular média w nos pontos A e B no Esquema I  e nos pontos C e D no Esquema II.

Solução: â = 2.3,14rad; â = 6,28 rad. (ângulo de uma circunferência)

Esquema I

 Como as duas rodas giram juntas, w_A = w_B = w.

·        w = â/(t – t_o)

·        w = 6,28rad/25s

·        w_A = w_B = 0,25 rad/s

·        v_A = w.R

·        v_A = 0,25 rad/s.20cm

·        v_A = 5,0 cm/s

·        v_B = w.r

·        v_B = 0,25 rad/s.10cm

·        v_B =  2,5 cm/s

Esquema II

• Pontos da periferia das rodas giram junto com a correia, portanto possui mesma velocidade dos pontos da correia. Logo, v_C = v_D.
• v_C = s/(t – t_o)
• v_C = 2.3,14.20cm.20cm/25s
• v_C = v_D = 5,0 cm/s
• v = w.R ou w = v/R
• w_C = 5,0/20 (rad/s)
• w_C = 0,25 rad/s
• w_D = 5,0/10 (rad/s)
• w_D = 0,50 rad/s

          Sugerimos que o professor acesse um excelente trabalho sobre movimento circulares, bem completo, excelente didática, incluindo vídeo, animação, textos conceituais e históricos. Este se encontra disponível no Portal do professor com o seguinte título e endereço:

Mecânica - Movimentos circulares

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=22737

           Sugerimos ao professor acessar a animação que se encontra disponível na internet, no Portal do Professor, cujo título e endereço se encontram a seguir:

Mecânica de movimento circular

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=30419

           Se o professor tiver oportunidade poderá assistir ao vídeo do professor Marival, com duração cerca de 10 minutos que se encontra disponível na internet com o título e endereço a seguir e se possível apresentá-lo aos alunos:

Movimento Circular

http://www.youtube.com/watch?v=nX8AmJW0Ows&feature=related

          Sugerimos que o professor organize alguns exercícios sobre o assunto da aula para o aluno desenvolver individualmente, fora do horário de aulas, e posteriormente discutido em aula. Exercícios que poderão ser obtidos em livros textos de Física, como o proposto a seguir:

         O ponteiro de segundos de um relógio mede cerca de 6 cm de comprimento. Encontre a velocidade angular e a velocidade linear de um ponto fixo no ponteiro a 5,0 cm e a 2,0 cm de seu eixo.