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O universo de Platão: um estudo sobre poliedros

 

08/06/2011

Autor e Coautor(es)
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Francisco Arton Barroso de Oliveira

FORTALEZA - CE

Universidade Federal do Ceará

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VIVIANE SILVA DE ANDRADE

FORTALEZA - CE

Universidade Federal do Ceará

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Alana Souza de Oliveira

FORTALEZA - CE

Universidade Federal do Ceará

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Victor Gomes Pinto

FORTALEZA - CE

Universidade Federal do Ceará

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Elzon Cezar Bezerra Junior

FORTALEZA - CE

Universidade Federal do Ceará

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IVANEIDE FERREIRA FARIAS

FORTALEZA - CE

Universidade Federal do Ceará

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LIS DE MARIA MARTINS

FORTALEZA - CE

Universidade Federal do Ceará

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Hermínio Borges Neto

FORTALEZA - CE

Universidade Federal do Ceará

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DINA MARA PINHEIRO DANTAS

FORTALEZA - CE

Universidade Federal do Ceará

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Magalli Germano Sampaio

FORTALEZA - CE

Universidade Federal do Ceará

Elzon Cezar Bezerra Junior

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Médio Matemática Geometria
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula

·         Identificar os elementos de um poliedro: vértices, arestas e faces.

·         Reconhecer poliedros de Platão.

·         Compreender a relação entre o número de vértices, arestas e faces: a relação de Euler.

Duração das atividades
3 horas-aulas
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Noções primitivas: ponto, reta e plano.

Reconhecimento de figuras geométricas planas e espaciais

Estratégias e recursos da aula

AMBIENTE 1: LABORATÓRIO DE INFORMÁTICA

ATIVIDADE 1

PREPARAÇÃO DO AMBIENTE:

Os recursos utilizados nesta atividade serão o computador e o software S3D Secbuilder disponível no Banco Internacional de Objetos Educacionais:

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/14392

 

 

 

 

ORIENTAÇÕES QUANTO AO USO DO SOFTWARE 

RECURSOS QUE SERÃO UTILIZADOS NESSA AULA:

imagem aula2 junior

Fonte:Imagem do Autor

(1)   Rotação do sólido:

Opções: Para a esquerda / Para a direita / Para cima / Para baixo / Girar para a esquerda e direita em torno do seu próprio eixo;

(2)   Zoom;

(3)   Opção para rotacionar o software automaticamente, isto é, apertando-a o sólido geométrico gira sem o auxílio do usuário e só pára com um novo clique nessa opção;

(4)   Sólidos geométricos. Para desenhá-los é preciso clicar no sólido e em seguida na área branca do software.

Recomenda-se que o professor reserve 15 minutos da aula para explicar aos alunos como manipular o software S3D Secbuilder.

DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE:

Inicialmente, oprofessor deverá estabelecer juntamente com a turma uma analogia entre os elementos do poliedro: vértice, aresta e face com as noções primitivas de ponto, reta e plano, respectivamente.  Para isso, ele poderá mostrar aos alunos, por exemplo, a ponta de uma caneta e perguntá-los se esta se refere ao ponto, a reta ou ao plano, verificada a relação da ponta da caneta com o ponto, o professor deverá estabelecer que o vértice se assemelha ao ponto. Para os outros elementos e utilizando a mesma estratégia, o professor poderá mostrar o comprimento da caneta e a superfície do quadro branco.

Essas analogias podem ser registradas no quadro branco da seguinte forma:

imagem 2aula2 junior

 Fontes:  Imagens 1e 4: http://padilhaverde.blogspot.com/2009/12/o-misterio-das-canetas-bic.htm

                Imagens 3,6 e 9: http://www.brasilescola.com/matematica/poliedros.htm

                 Imagens 2, 5, 7 e 8:Imagens do autor

 

E em seguida, com os alunos organizados em duplas, o docente deverá propor a seguinte atividade:

Preencha os três primeiros campos de cada linha da tabela, seguindo as instruções a seguir:

1)      Utilizando o software S3D Secbuilder, desenhe cada um dos sólidos destacados na figura abaixo (o professor poderá fazer um esboço dessa figura no quadro branco para que os alunos visualizem quais sólidos devem desenhar)

imagem4Junior

Fonte: Imagem do Autor

2)      Ao desenhar cada sólido, manipule-o (ver opções (1), (2) e (3) do campo ORIENTAÇÕES QUANTO AO USO DO SOFTWARE), identifique o número de vértices, arestas e faces de cada um deles e registre os dados na tabela abaixo:

 

 

Número de Vértices

Número de Arestas

Número de Faces

Nome do Poliedro

a)

 

 

 

 

b)

 

 

 

 

c)

 

 

 

 

 

MOMENTO DO ALUNO:

Nesse momento, os alunos buscarão realizar a atividade proposta.

DISCUSSÃO:

As soluções obtidas deverão ser apresentadas para o professor e o restante da turma. Durante ou após as apresentações, professor e alunos deverão discutir sobre as dificuldades encontradas durante a realização dessa atividade.

SISTEMATIZAÇÃO:

Até este momento, os sólidos representados não foram nomeados, assim o professor deverá estimular os alunos a determinarem esses nomes. Inicialmente, o docente deverá perguntar aos alunos: A palavra poliedro lembra algum termo que comumente utilizamos? Espera-se que eles destaquem o prefixo “poli” que indica muitos(as), e assim o professor complementará informando que “edro” (origem grega) significa faces, assim a palavra poliedro significa “muitas faces”.  

Em seguida, o professor deverá questionar: Quais dos elementos que vocês quantificaram poderiam identificar o poliedro desenhado?

Caso, eles não identifiquem a face, o docente deverá indagar: Quais destes elementos figuram na denominação do termo poliedro?

Uma vez que os alunos identificaram a face como elemento caracterizador do nome do poliedro, o professor deverá convidá-los a imaginarem uma maneira de utilizar o número de faces no nome do poliedro.

Após discutir as diversas maneiras que possivelmente os alunos tenham estabelecido para identificar os poliedros, e caso a denominação correta ainda não tenha aparecido, o professor deverá informar que o poliedro do item a) chama-se hexaedro(popularmente conhecido como cubo), e em seguida discutir com eles o porquê desse nome, e assim denominar os outros dois poliedros.

AMBIENTE 2: SALA DE AULA

ATIVIDADE 2:

PREPARAÇÃO DO AMBIENTE: Os recursos utilizados nesta atividade serão pincel, quadro branco e poliedros construídos com canudos, segue abaixo uma sugestão presente no banco internacional de objetos educacionais para a confecção desses sólidos:http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10314

 

 

 

DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE:

Após a organização da turma em quatro grupos, o professor irá distribuir um poliedro para cada um destes. E em seguida propor a seguinte atividade:

Observando os poliedros que vocês receberam, identifiquem o número de vértices, arestas e faces de cada um deles e respondam o seguinte questionamento: Há alguma relação entre o número de vértices, arestas e faces de cada poliedro? Em caso afirmativo, qual?

Os grupos deverão trocar os poliedros para que possam analisar todos eles.

MOMENTO DO ALUNO:

Nesse momento os alunos buscarão realizar a atividade proposta.

DISCUSSÃO:

Nesse momento, cada grupo deverá escolher um dos poliedros e apresentar as soluções obtidas. Professor e alunos deverão discutir cada uma destas, como também sobre as dificuldades encontradas na realização dessa atividade.

SISTEMATIZAÇÃO:

Caso nenhum dos grupos tenha conseguido estabelecer a relação de Euler, o professor deverá solicitar a cada grupo que adicione o número de vértices e o número de faces de cada poliedro e registre estes resultados no quadro branco.

Em seguida, o professor deverá indagar: Qual é a relação desse resultado com o número de arestas de cada poliedro correspondente?

Após a formalização da relação de Euler, V + F = A + 2, o professor deverá solicitar aos alunos que verifiquem se esta relação também pode ser obtida nos poliedros dos itens a) e b) da atividade 1, uma vez verificada a relação de Euler nestes itens, o docente deverá destacar que os poliedros da primeira atividade (o que não pode ser verificado nos poliedros da atividade 2, exceto o octaedro) possuem todas as faces com o mesmo número de arestas e de cada vértice partem o mesmo número de arestas, logo estes poliedros recebem um nome especial, Poliedros de Platão.  

AMBIENTE 3: SALA DE AULA

ATIVIDADE 3:

DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE:

Com a turma organizada em grupos com até 4 alunos, objetivando a troca de idéias entre eles, o professor deverá propor a seguinte atividade:

UNIVERSO

Fonte: http://avrinc05.no.sapo.pt/index.htm

“O mais harmonioso e soberano dos sólidos Platônicos é o dodecaedro que, segundo Platão, representa o universo ou o cosmos. É constituído por doze pentágonos.”

Fonte: http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/dodecaedro.htm

Determine o número de vértices do dodecaedro.

MOMENTO DO ALUNO:

Nesse momento, os alunos buscarão realizar a atividade proposta. 

DISCUSSÃO:

Os alunos deverão apresentar as soluções obtidas. Recomenda-se que o professor discuta com eles as estratégias estabelecidas, principalmente no que diz respeito a contagem das arestas, como também as dificuldades encontradas durante a realização da atividade.

SISTEMATIZAÇÃO:

Neste momento, com o objetivo de formalizar a determinação dos elementos de um poliedro e a relação de Euler no dodecaedro (modelo do universo) os alunos deverão verificar que a estratégia de adição dos resultados das multiplicações do número de lados de cada tipo de face pelo número de faces correspondente deverá ser dividida por dois, pois caso contrário cada aresta será contada duas vezes.

Para isso, o professor deverá propor o seguinte questionamento aos alunos: observando a figura 1 (projetada em um data-show ou impressa e fixada no quadro branco) cada aresta é aresta de apenas uma face?

DODECAEDRO

Figura 1

Fonte: Imagem do Autor

Segue abaixo, uma estratégia de resolução da situação – problema proposta:

Como o poliedro tem 12 faces pentagonais: 12.5=60 arestas

Como no cálculo acima cada aresta foi contada duas vezes:

2.A=60

A = 30

Assim,

V + F= A + 2

V + 12 = 30 + 2

V = 30 + 2 - 12

V = 20

Logo, o número de vértices é 20.

Em seguida, o professor apresentará (em um data-show ou impressa e fixada no quadro branco) a figura 2 abaixo para que os alunos verifiquem as quantificações que realizaram anteriormente no que se refere aos elementos que formam o dodecaedro.

DODECAEDRO2

Figura 2

Fonte: Imagem do Autor

Recursos Educacionais
Nome Tipo
Geometria com Canudos Hipertexto
S3D Secbuilder Software Educacional
Recursos Complementares

http://www.uff.br/cdme/platonicos/platonicos-html/dodecaedro-br.html- O conteúdo deste site aborda os assuntos trabalhados nesta aula.

Avaliação

O professor deverá investigar se os alunos conseguiram compreender os conceitos trabalhados em cada atividade. Na atividade 1, por exemplo, ele poderá averiguar se os alunos conseguiram identificar vértices, arestas e faces. Já nas situações 2 e 3 o professor poderá verificar se os alunos compreenderam a relação de Euler, como também o reconhecimento dos poliedros de Platão.

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