- Compreender as noções da Geometria não-Euclidiana por meio dos aspectos históricos que compõe este conteúdo.

- Entender a diferença entre Geometria Euclidiana e Geometria não-Euclidiana.

- Compreender a necessidade das Geometrias não-Euclidianas para o avanço das teorias científicas.

Conhecimentos de matemática básica e Geometria.

Professor, esta 1a. atividade deverá ser desenvolvida, preferencialmente, no laboratório de informática.

Para iniciar essa aula, com os alunos organizados em grupos (3 a 4 pessoas), propor a atividade de pesquisa por meio da WebQuest Euclides de Alexandria, disponível em: http://www.webquestbrasil.org/criador/webquest/soporte_tabbed_w.php?id_actividad=21487&id_pagina=1, acesso em 01 de abril de 2012.

Fonte: http://www.webquestbrasil.org/criador/webquest/soporte_tabbed_w.php?id_actividad=21487&id_pagina=1

A ênfase desta pesquisa deve ser em quem foi Euclides de Alexandria ao longo do tempo, o que foram os livros de Euclides, e sobre a "Geometria Euclidiana".

Após a pesquisa, o professor deverá propor uma rodada entre os grupos para que possam socializar com os demais suas descobertas. Ao final das apresentações, caso julgue necessário, o professor poderá complementar com as seguintes informações históricas:

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A obra Elementos de Euclides é uma das obras mais importante já escrita em toda a história. São treze volumes que não apenas incluíram toda a matemática da época, mas forneceram um modelo para o desenvolvimento das ideias matemáticas, utilizadas até os dias de hoje.

Inicialmente são dados algumas noções primitivas (primeiros conceitos) e alguns resultados admitidos como verdadeiros (axiomas e postulados), por meios desses são deduzidos utilizando a lógica clássica, outros resultados e conceitos, numa sequência crescente.

Os treze volumes dos Elementos contém 465 proposições, sendo 93 problemas e 372 teoremas. 

No volume I dos Elementos são apresentados os cinco famosos postulados:

1º  – Uma linha reta pode ser traçada de um ponto a outro, escolhidos à vontade.

2º  – Uma linha reta pode ser prolongada indefinidamente.

3º  – Um círculo pode ser traçado com centro e raio arbitrários.

4º  – Todos os ângulos retos são iguais.

5º  – Se uma reta secante a duas outras formam ângulos, de um mesmo lado dessa secante, cuja soma é menor que dois ângulos retos, então essas retas se prolongadas suficientemente encontrar-se-ão em um ponto desse mesmo lado (COUTINHO, 2001).

Devido à complexidade relativa de formulação e o insuficiente apelo intuitivo do 5º Postulado, por séculos diversos matemáticos tentaram deduzi-lo dos demais axiomas e postulados, buscando demonstrá-lo como um teorema. O resultado desse esforço continuado, durou cerca de dois mil anos e resistiu a todas as tentativas de demonstração.

Hoje entendemos que o V postulado de Euclides, pode ser reformulado em uma linguagem mais moderna: “dado uma reta qualquer e um ponto fora desta reta, existe uma única reta paralela à reta dada, passando por esse ponto”.

Por mais de dois mil anos a Geometria de Euclides reinou de forma inquestionável. No entanto, o 5º. Postulado de Euclides pelo fato de possuir uma redação mais complexa, extensa e menos intuitiva fez com que muitos matemáticos a questionassem e desconfiassem de sua validade como postulado.

E foi o estudo do 5º. Postulado que induziu a criação de novas Geometrias, pois daí surgiram a Geometria Elíptica (ou Esférica) e a Geometria Hiperbólica.

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Geometria       Postulado

Euclidiana     -  Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única reta paralela à reta dada.

Elíptica         -  Por um ponto fora de uma reta não existe nenhuma reta paralela à reta dada.

Hiperbólica   -  Por um ponto fora de uma reta existe mais de uma reta paralela à reta dada.

Fonte:  http://www.lume.ufrgs.br/

Enfim, podemos dizer que a Geometria Euclidiana funcionou muito bem em superfícies planas.

Mas como podemos definir situações geométricas sobre uma superfície curva?

Para esses casos, certamente a Geometria Euclidiana não é satisfatória. 

Fonte: Wikipédia

Professor, a seguir proponha as seguintes atividades práticas que também podem ser desenvolvidas em grupos. Para a execução são necessários os seguintes materiais: papel sulfite, canetas coloridas, bolas de isopor, transferidor, régua etc.

Problema 1:

Um barco pesqueiro deseja cercar uma região na qual acredita que existam mais peixes. Para isto, ele parte de algum ponto sobre a linha do Equador e percorre 20 km em direção ao Norte, em seguida gira 90º e navega mais 20 km em direção ao leste, depois gira 90º e navega mais 20 km no sentido Sul.

Fonte: http://3.bp.blogspot.com/_HC9KfFmEzLc/TOqf0gTX6HI/AAAAAAAAACc/9_ZxB7uwY7k/s1600/digitalizar0004.jpg

a)      Utilizando uma folha plana e posteriormente as esferas de isopor, responda qual a distância percorrida pelo barco? Existe diferença entre as distâncias medidas no plano e na esfera? O deslocamento é o mesmo medido no plano e na esfera? Explique:

Resposta:  Essa atividade tem por objetivo que os alunos observem que as distâncias percorridas e os deslocamentos no plano e na esfera são idênticos (60 km no exemplo), apesar da diferença nos formatos e suas superfícies.

Problema 2:

Imagine dois barcos pesqueiros A e B navegando lado a lado (paralelamente).

a)      Desenhe em uma folha de papel o caminho percorrido pelos dois barcos.

b)      Desenhe sobre as esferas os caminhos percorridos pelos barcos A e B.

c)      É possível traçar retas paralelas para representar o caminho percorrido pelos dois barcos na folha de papel e na bola de isopor?

d)      Isso contraria o 5º Postulado de Euclides? Quais as conclusões do grupo?

Resp. Esta atividade permite que os alunos percebam que não é possível traçar retas paralelas na superfície esférica e que quaisquer duas retas na esfera se interceptam em no mínimo dois pontos. Como as paralelas não podem (por definição) se interceptar, é importante concluir que não podemos obter retas paralelas na superfície esférica. Isso contraria o 5º. Postulado.

Problema 3:

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo no plano é 180º.

Mas e na superfície esférica? A soma dos ângulos internos de um triângulo é menor, igual ou maior que na superfície plana? Qual o limite máximo do 3º ângulo se os outros dois forem ângulos retos? Existe algum limite para a soma dos ângulos neste caso?

Resp. Os alunos precisam perceber que quando o triângulo esférico diminui em tamanho ele se aproxima do triângulo euclidiano que quando ele aumenta de tamanho, o somatório dos ângulos internos tem um valor limite, 540º. 

Fonte: http://www.lume.ufrgs.br/

Problema 4:

O primeiro postulado de Euclides diz que por dois ponto pode passar apenas uma única reta. Isto se verifica também na superfície esférica? Nesta superfície as retas são infinitas e ilimitadas como na superfície plana?

Resp. Quando tomamos dois pontos opostos no globo, por eles passam infinitas retas. As retas continuam sendo ilimitadas, porém na superfície esférica elas são finitas.

Após a conclusão e discussão das respostas com os alunos, é importante o professor explicar aos alunos que as atividades propostas apresentam noções de um tipo de Geometria não-Euclidiana, a Geometria Elíptica.

Para finalizar a aula, o professor pode propor aos alunos que ouçam os áudios da Série Matemática ao Pé do Ouvido - Fractais (parte 1 e 2), que apresentam situações que podem desencadear discussões sobre outro tipo de Geometria, a Geometria Fractal (Geometria não-Euclidiana).

Matemática ao pé do ouvido : Fractais - Parte 1 

Matemática ao pé do ouvido : Fractais - Parte 2 

Por meio dos áudios o professor pode discutir com os alunos especificidades dessa Geometria e como é possível encontrá-la na natureza. Pode propor a identificação da auto-semelhança a partir de imagens ou de objetos. Existem várias plantas que possuem a característica de auto-semelhança da Geometria Fractal. No áudio é possível identificar duas delas: a samambaia Renda Portuguesa e a couve-flor. O professor pode instigar os alunos que identifiquem outras situações que a Geometria Fractal se apresenta.

ANTUNES, Marcelo Carvalho. Uma possível inserção das geometrias não-euclidianas no Ensino Médio. Disponível em: http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/18218/000728046.pdf?sequence=1, acesso em 01 de abril de 2012.

Geometria Fractal, disponível em: http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital1/index.html, acesso em 01 de abril de 2012.

THOMAZ, Mara Lucia. Geometria Não-Euclidiana – Geometria Esférica No Ensino Médio. Disponível em: http://www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/producoes_pde/md_mara_lucia_thomaz.pdf, acesso em 01 de abril de 2012.

Introdução a Geometria Euclidiana. Disponível em:http://www.webquestbrasil.org/criador/webquest/soporte_mondrian_w.php?id_actividad=9170&id_pagina=5 , acesso em 01 de abril de 2012.

Avaliação:

A avaliação deverá ser realizada ao longo de todas as aulas, observando os alunos nos seguintes critérios:

1. Desenvolvimento e socialização das atividades na pesquisa e no grupo? Participou? Contribuiu com os colegas? O aluno foi argumentativo? Sua produção no grupo foi pertinente?

2. Na realização das atividades, o aluno formulou conceitos? Apresentou entendimento?

3. Participação individual e coletiva dos alunos no desenvolvimento do contexto geral da aula.

Um meio que pode contribuir para a verificação de aprendizagem dos alunos é sempre solicitar aos alunos que tenham um portfólio para registro de suas aprendizagens. Que diariamente relatem o que aprenderam e como aprenderam. Esses relatos podem contribuir para que o professor perceba os caminhos que os alunos vem fazendo, bem como avaliar suas aprendizagens.