- Ampliar os conhecimentos sobre sequências e progressões por meio da História da Matemática.

- Descobrir e caracterizar padrões regulares.

- Perceber e identificar particularidades das sequências e progressões por meio da investigação e da resolução de problemas.

Conhecimentos prévios de matemática básica, leitura e interpretação de problemas.

Noções de padrões e sequências.

Atividade 1

Professor, para iniciar essa aula, propor aos alunos (reunidos em grupos 3 a 4) a seguinte atividade de pesquisa:

Dica: Como sugestão para organização da atividade de pesquisa, o professor pode desenvolver uma WebQuest. Lembrando que a WebQuest é uma metodologia de pesquisa online, organizada por meio de um roteiro que segue com os seguintes passos: introdução, tarefa, recursos, processo, avaliação e conclusão. O professor dá indicativos de sítios, pré-selecionados, para que a aula seja aproveitada ao máximo, e os alunos não se distraiam diante de tantas informações da internet, e organizem a tarefa e a concluam com sucesso. Para desenvolver a WebQuest, o professor pode seguir as orientações do "Tutorial para criar e editar WebQuest", disponível em: http://rosangelamentapde.pbworks.com/f/tutorial_wq_escolabr1.pdf e, utilizar o sítio http://www.webquestbrasil.org/ para criar e postar. Caso o professor queira produzir sua própria webquest sugerimos o site http://www.webquestbrasil.org/criador2.

Algumas sugestões de links para encaminhamento da pesquisa:

O x da questão. Disponível em: http://www.clickideia.com.br/portal/mostrarConteudo.php?idPagina=449.

Práticas pedagógicas: Progressões Geométricas. Disponível em: http://hermes.ucs.br/ccet/deme/calculo/restrito/calculo_3_2006_4/forumc2/arquivos/m418Trabalho_PG.pdf.

Progressões aritméticas e geométricas. Disponível em: http://www.objetivomaringa.com.br/colegio_objetivo/site2008/_assets/materiais/94_historiadaspa.pdf.

História da Matemática no Egito. Disponível em: http://www.matematica.br/historia/egito.html.

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Após a atividade de pesquisa, o professor deve propor aos grupos de alunos uma rodada de apresentação dos resultados encontrados, destacando curiosidades e elementos da história da Matemática. É importante que os grupos mantenham um registro de suas aprendizagens, pois vão precisar dessas anotações ao final da aula.

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Atividade 2

Após a pesquisa, organizar os alunos em grupos para assistir o trecho do filme Duro de Matar: A Vingança, disponível em: http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=18004, acesso em 29/04/2012.

Antes de passar o trecho do filme, questionar se os grupos conhecem o filme, explicando que ele ocorre em Nova York, onde o policial John McClane precisa combater um terrorista. Todo o filme gira em torno da resolução de charadas para chegar a determinadas pistas. Para resolver as charadas, quase sempre, nos utilizamos de cálculos matemáticos. Assim, os alunos devem assistir o trecho do filme, buscando identificar qual a charada apresentada, anotando-a para resolvê-la após a exibição.

O problema proposto é:

Quando eu ia para Ramozas encontrei um homem com sete esposas, cada esposa tinha sete sacos, cada saco, sete gatos, cada gato, sete gatinhos. Gatinhos, gatos, sacos e esposas, quantos iam para Ramozas? 

Após verem o trecho do filme, confira se os grupos anotaram o problema e só então proponha sua resolução da maneira que considerarem adequada (ilustração, tabela, afins).

Resolução:

1 homem + 7 mulheres = 8 pessoas

Cada mulher com 7 sacos (7x7 = 49 sacos)

Cada saco com 7 gatos (49x7 = 343 gatos)

Cada gato com 7 gatinhos (343x7 = 2401 gatinhos)

Então 8+343+2401 = 2752 (lembrando que os 49 sacos não são seres vivos e, por isso não são somados).

Professor, o resultado do problema não indica uma Progressão Geométrica, pelo encaminhamento da pergunta. Mas, a ideia de progressão está presente na charada, por isso, este trecho é indicado para iniciar a discussão sobre sequências numéricas e progressões.

Explique aos alunos, que uma sequência é uma sucessão ordenada de objetos ou eventos. Por exemplo: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...) é uma sequência de números naturais; (10, 20, 30, 40, 50...) é uma sequência de números múltiplos de 10. 

Essas sequências são separadas em dois tipos:

Explique aos alunos que o problema em destaque é um clássico da Matemática, que foi encontrado com outra organização textual no Papiro Rhind, uma cópia de escritos que datam do ano 1600 a.C..

O professor pode encaminhar que as progressões foram estudadas por povos muito antigos. O papiro Rhind (ou Ahmes) elemento da pesquisa da atividade 1, é nada mais é do que um texto matemático na forma de manual prático que contém 85 problemas. É uma fonte primária rica sobre a matemática egípcia antiga, deixando evidências de que lá, já sabiam fazer a soma dos termos de uma progressão. Como no caso do problema em destaque no vídeo. Muitos problemas apresentados são de natureza prática, em algumas ocasiões o "escriba" parecia ter em mente enigmas ou recreações matemáticas.

Atividade 3 - Animação/Simulação

Antes de encaminhar os outros problemas, o professor pode propor aos alunos as atividades previstas nos seguintes recursos:

a) Game "Sequences" disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/5117 ou http://fun4child.com/math/sequences.html, que permite aos alunos adivinhar qual a próxima sequência proposta, identificando qual a lógica proposta.

Fonte: http://fun4child.com/math/sequences.html

b) Animação "Teste de PA e PG" disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10464. Essa atividade deve, preferencialmente, ser desenvolvida  no laboratório de informática. Observando que os alunos no grupo vão se revezando para apresentar as respostas. 

PA e PG 

Fonte: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10464

Professor, para essas duas atividades é importante estimular os grupos de alunos a fazer tentativas, a deduzir e formular hipóteses de resolução. De maneira que os grupos descubram formas de encontrar os resultados.

Após uma ou duas rodadas dos testes entre os grupos, solicitar que os alunos produzam um texto (breve relato) elencando quais foram os principais conhecimentos adquiridos a partir das interferências do professor, da atividade de pesquisa, da resolução dos problemas e do testes desenvolvido sobre sequências e PA e PG. Esse texto deverá ajudar o professor na avaliação dos conteúdos desenvolvidos em sala de aula.

Atividade 4 - Resolução de Problemas

Professor, após a atividade da animação, ainda com os alunos reunidos nos grupos, propor a resolução dos seguintes problemas que também constam no Papiro. É importante retomar o conteúdo da pesquisa da atividade inicial.

Para resolver os problemas, os grupos podem utilizar seus conhecimentos matemáticos, sem necessidade de formalização, após a apresentação das resoluções pelos grupos, o professor deve encaminhar as respostas apresentando os conceitos de P.A e P.G.

1 - Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em Progressão Aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja igual à soma das duas menores.  

Resposta:

2 - No Papiro de Rhind também aparece uma progressão muito curiosa formada pelas frações ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 do chamado "Hekat", (unidade comum do volume usada pelos egípcios para medir quantidade de grãos). Os termos dessa sequência são conhecidos como frações dos olhos do deus Hórus.

Imagem 2 - Olho de Hórus
Fonte: http://www.fisem.org/web/union/revistas/21/Union_021_015.pdf

A partir da imagem, questiona-se: 

a) Qual a soma da sequencia que compõe o Olho de Hórus? Justifique. 

b) Que tipo de sequência temos?

Sequências numéricas e progressões. Disponível em: http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/sequencias/sequencias.html, acesso em 29 de abril de 2012.

Corrida aos 100. Disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/15597, acesso em 29 de abril de 2012.

Progressões. Disponível em: http://tecnologia.iat.educacao.ba.gov.br/sites/default/files/flash/Progressao.swf, acesso em 29 de abril de 2012.

Corrida Progressiva. Disponível em:http://condigital.unicsulvirtual.com.br/conteudos/CorridaProgressiva/CorridaProgressiva.swf, acesso em 29 de abril de 2012.

A avaliação deverá ser realizada ao longo de todas as aulas, observando os alunos nos seguintes critérios:

1. Desenvolvimento e socialização das atividades no grupo? Participou? Contribuiu com os colegas?

2. Na resolução dos problemas, o aluno formulou conceitos?

3. Participação individual e coletiva dos alunos no desenvolvimento do contexto geral da aula.

4. Auxiliou ou solicitou auxílio dos colegas no laboratório de informática?  O aluno foi argumentativo? Sua produção no grupo foi pertinente?

Um meio que pode contribuir para a verificação de aprendizagem dos alunos é sempre solicitar aos alunos que tenham um portfólio para registro de suas aprendizagens. Que diariamente relatem o que aprenderam e como aprenderam. Esses relatos podem contribuir para que o professor perceba os caminhos que os alunos vem fazendo, bem como avaliar suas aprendizagens.

Consideramos que o Portfólio tem sido um instrumento que compreende a compilação dos trabalhos realizados pelos estudantes. Inclui, registros de visitas, resenhas ou fichamentos de textos, projetos e relatórios de pesquisa e inclui principalmente ensaios auto reflexivos que, permitem aos alunos a discussão de como a experiência na disciplina está interferindo na sua formação. O Portfólio permite ainda uma maior interação aluno/professor, possibilitando que sugestões, dúvidas, aprofundamentos de assuntos, façam parte do processo ensino/aprendizagem.

O Portfólio pode ser desenvolvido em projetos individuais ou coletivos. Não deve ser confundido com uma pasta de trabalho onde o aluno vai guardar tudo o que fez, cronologicamente, ao longo de um período letivo ou curso. O seu valor do ponto de vista da auto avaliação é exatamente na seleção e organização do material que será incluído, assim como nos comentários e justificativas que o aluno vai apresentar para tal escolha.

Para saber mais sobre avaliação por portfólio ver:

Sá. Ilydio Pereira. Avaliação por Portfólio ou “nem só de provas vive a Escola”. Disponível em: http://magiadamatematica.com/uerj/licenciatura/05-portfolio1.pdf, acesso em 05/04/2012.

Sá. Ilydio Pereira. O uso do portfólio na avaliação da aprendizagem em Matemática. Disponível em: http://www.sbemrj.com.br/spemrj6/artigos/a5.pdf, acesso em 05/04/2012.