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A Geometria no Espaço

 

03/07/2012

Autor e Coautor(es)
IOZODARA TELMA BRANCO DE GEORGE
imagem do usuário

CURITIBA - PR SECRETARIA ESTADUAL DE EDUCAÇÃO

Suelen Fernanda Machado

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Médio Matemática Tecnologia para a matemática
Ensino Médio Matemática Geometria
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula

- Estabelecer relações entre as figuras uni, bi e tridimensionais.

- Perceber o mundo tridimensional, identificando as diferentes dimensões por meio da visualização.

- Exercitar a visualização espacial.

- Explorar as propriedades matemáticas da Geometria Espacial.

Duração das atividades
4 a 5 aulas (50 minutos cada).
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Conhecimentos de matemática básica e Geometria Plana. Noções de Geometria Espacial, permutações, simetria e projeções ortogonais.

Estratégias e recursos da aula

Icone Videos

Professor, para essa aula é importante que os alunos assistam antecipadamente o filme Flatland.

Solicite que os alunos (durante a exibição) façam anotações sobre elementos que considerarem importante, identificando percepções de conceitos matemáticos presentes, bem como, de questões sociais que julgarem pertinente discutir.

Flatland

Fonte: http://www.youtube.com/watch?v=cxUUTNtILk0

O filme pode ser encontrado em DVD nas locadoras (ver detalhes do filme em: http://store.flatlandthemovie.com, ou acessar o trailler em: http://www.youtube.com/watch?v=C8oiwnNlyE4),  ou se o professor preferir, pode acessar os episódios em:

Episódio 1 - http://www.youtube.com/watch?v=cxUUTNtILk0

Episódio 2 - http://www.youtube.com/watch?v=0pd8LH0FBY8

Episódio 3 - http://www.youtube.com/watch?v=kSoEGkwv1mY

Episódio 4 - http://www.youtube.com/watch?v=SZgVi788dqk

Episódio 5 - http://www.youtube.com/watch?v=yerWRBdaVGQ

Episódio 6 - http://www.youtube.com/watch?v=epM_zOX4u4k

Episódio 7 - http://www.youtube.com/watch?v=Chd_MS3J9HA

Episódio 8 - http://www.youtube.com/watch?v=94npBEuGVkw

Contexto do Filme

O filme permite ao professor explorar com os alunos uma melhor percepção do mundo tridimensional, aguçando a criatividade e a imaginação. O personagem principal é um Quadrado, habitante de Flatland, que ao conhecer uma Esfera é levado para um lugar absolutamente mágico, o espaço de Quatro Dimensões, algo ousado e proibido, sendo por isso condenado à prisão. 

Todos os habitantes de Flatland são polígonos e a sociedade se baseia em um sistema de castas que divide seus habitantes pelo número de lados que possuem. Os triângulos formam a casta mais baixa; os círculos (com seus infinitos lados infinitesimais) compõem a casta dominante. Nesse universo, as figuras que nascem com deformidades são submetidas a tratamento médico e se não forem “curadas”, morrem. Autoridades poligonais e circulares garantem a ordem da sociedade impondo o cumprimento de leis severas. As mulheres têm forma de segmento de reta e, por isso, são obrigadas a emitirem um som característico enquanto se deslocam para não provocar acidentes. 
 
Todas as figuras  personificam a sociedade humana, com seus conflitos, humores e emoções. Assim, além do filme permitir ao professor iniciar uma discussão sobre o conceito de dimensões, permite propor uma reflexão filosófica sobre o aprendizado humano, permitindo  uma crítica à organização social imposta pela sociedade, questões de religião e política. Elementos esses que podem ser abordados pelo professor no contexto dos episódios.
 

Atividade 1

 

Ao final do filme, os alunos deverão apresentar suas percepções a partir dos seguintes apontamentos encaminhados pelo professor:
 
1 - Como seria viver em um mundo unidimensional? Qual seria nossa percepção de mundo?
2 - Como seria viver em um mundo bidimensional? Qual seria nossa percepção de mundo?
3 - E em um mundo tridimensional? Qual seria nossa percepção de mundo?
4 - Quais são os elementos que aparecem no filme que pertencem a essas dimensões?
5 - Quais relações podemos estabelecer entre figura bidimensional ou plana e a representação tridimensional ou espacial?
6 - Por indução, podemos aceitar a estranha ideia de existir um mundo com n dimensões? Se não, por que?  
7 - Vamos imaginar novamente, um habitante da segunda dimensão, já percebeu o quão difícil é para ele aceitar que existem 3 dimensões? 
 
O professor pode dar um tempo para que os alunos façam suas anotações no caderno e, em seguida, possam apresentar oralmente suas observações na forma de um grande seminário. Essa dinâmica também pode ser feita em grupos. Conforme os alunos ou grupos apresentem seus registros, o professor poderá retomar pontos do filme, reforçando conceitos da Geometria Espacial (unidimensional, bidimensional, tridimensional, etc). 
 
Para fechar este momento, o professor poderá propor que os alunos produzam um desenho (em uma folha de papel) de um gráfico tridimensional com 3 eixos ortogonais. Para esse caso, o máximo que conseguimos é fazer uma "projeção", e imaginar que aquele terceiro eixo (o eixo x na figura) é ortogonal aos outros dois. Isto é, estará "saindo" da folha de papel. 
 
É importante que os alunos socializem seus desenhos, e que apresentem de que forma chegaram àquela conclusão.
eixo

É importante que os alunos registrem suas observações no caderno,

Atividade 2

Após a discussão, o professor deve encaminhar os alunos ao laboratório de informática, organizando-os em grupos. No laboratório propor a realização dos experimentos disponíveis em:

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/16502

 

experimento

Fonte: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/

Para realização dessa atividade é necessário que o professor estabeleça um tempo pré-determinado (por exemplo: 30 minutos),  mas deixe que os grupos naveguem pelos experimentos livremente. E que proponha que os grupos de alunos respondam os questionamentos previstos em cada experimento no caderno. Buscando fazer associação com o filme Flatland.

 
Após o desenvolvimento dos experimentos e de observar as anotações dos grupos, o professor pode encaminhar:
 
Pessoas diferentes podem interpretar uma mesma figura de maneiras diferentes. Por exemplo, no experimento 1, é possível que surjam interpretações como: um pequeno círculo, um ponto ou uma pequena esfera. É difícil interpretar um objeto tridimensional olhando-o em uma posição fixa o que ocorre quando olhamos uma figura no plano dimensional (folha de papel). 
 
Mesmo se visualizamos um objeto tridimensional de várias posições diferentes (como, por exemplo, no filme), identificá-lo pode ser ainda uma tarefa difícil. Por exemplo, quando interagimos com o objeto no experimento 1. Por isso usamos o eixo das coordenadas, para nos auxiliar nessa visualização.
 
No experimento 2, os alunos podem perceber claramente que dependendo do objeto e da sua posição, podemos encontrar diferentes visualizações.
 
O experimento 3, nos faz refletir que muitas vezes não percebemos que damos mais significado a uma figura do que ela apresenta. Pois muitas vezes nossos olhos estão viciados. 
 
E finalmente que o experimento 4, nos apresenta três quadros de uma mesma imagem mas, que os objetos que geraram estas imagens são, de fato, diferentes.
 
Todo o estudo que fizemos até aqui, tanto no filme quanto nos experimentos, tem por objetivo exercitar a visualização espacial, explorando propriedades matemáticas da Geometria Espacial.
 
A Geometria espacial funciona como uma ampliação da Geometria plana e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. 
 
Neste momento, é importante o professor retomar conceitos sobre ponto, reta e plano.

 

Atividade 3

Em sala de aula, com os alunos reunidos em grupos, propor os seguintes problemas que também apresentam a questão da visualização equivocada, conforme já apresentado na atividade 2.

Para realização dos problemas, é importante que o professor instigue que os grupos identifiquem/descubram a resposta, justificando-a por escrito.

a) (ENEM, 2010) A figura abaixo representa um salão de um clube onde estão destacados os pontos A e B.

problema 1

 

Nesse salão, no ponto A chega o sinal da TV a cabo. Na intenção de instalar um telão para a transmissão dos jogos de futebol do Brasileirão, esse sinal deverá ser levado até o ponto B por meio de um cabeamento que seguirá na parte interna da parede e do teto. Assim, o menor comprimento que esse cabo deverá ter para ligar os pontos A e B poderá ser obtido por meio da seguinte representação no plano:
 
resposta problema 1

 

Resposta:

A menor distância entre dois pontos no plano, nessa situação, será na única imagem em que eles são colineares, ou seja, pertencem à mesma reta. Letra E.

 
b) (Enigma é atribuído a Scott Kim)  Cortou-se uma letra maiúscula de um pedaço de papel e a dobrou uma vez. O resultado ficou assim:
 

letra

 

Que letra foi essa?
 
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V X Z
 
 
Dicas: Existem duas possibilidades.
A letra pode ter sido girada ou invertida antes de se fazer a dobra.

 

letra_resposta

 

Resposta:
 
Um F, invertido.

 
 
 
c) (UFSCAR, 2007) Retirando-se um semicilindro de um paralelepípedo retoretângulo, obtivemos um sólido cujas fotografias, em vista frontal e vista superior, estão indicadas nas figuras.
 
problema 3
Se a escala das medidas indicadas na fotografia é 1:100, o volume do sólido fotografado, em m 3, é igual a:
 
Resposta:
 
Como a escala na fotografia é 1:100, 1cm na fotografia equivale, no sólido, a 100cm, ou seja, 1m. Assim, do enunciado, temos a figura do sólido, cotada em metros:
3
 
V= 7. 3. 2 - 1/2. [π . (4/2) 2.2]
 
V= 42 - 4π
 
v= 2. (21-2π)
 
A solução de cada problema proposto, deverá ser apresentada pelos grupos. Cada grupo deverá demonstrar no quadro, como solucionou cada um dos problemas. Ao final, o professor poderá apontar quais chegaram à solução correta, refazendo com todos os problemas sugeridos.

Atividade 4

Para essa atividade, com os alunos reunidos em grupos no laboratório de informática, propor o recurso Trip Lets, disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/15953. Tal recurso permite exercitar nos alunos a visualização espacial; apresentando os eixos e planos coordenados como instrumentos de orientação no espaço e investigando questões de permutações, simetria e projeções ortogonais.

 

Professor apresente a atividade aos alunos, permitindo que resolvam os desafios livremente, intervindo apenas quando necessário. Esta atividade não deverá ocupar mais do que 30 minutos no laboratório. Solicite que anotem  quantos desafios o grupo acertou. Se teve algum desafio que não conseguiram resolver e por quê? Se usaram eixos e/ou planos coordenados? Se descobriram mais que uma solução para um mesmo desafio?
 
Na atividade, algumas letras do abecedário possuem o mesmo formato. Por exemplo, W e M, H e I, Z e N.  O grupo percebeu algum desafio onde letras com o mesmo formato produzem palavras diferentes? Por exemplo: BEM e WEB? 
 
Ainda, na atividade, existem letras que, quando visualizadas de direções opostas, produzem imagens diferentes. Também existem letras que, quando visualizadas de direções opostas, produzem imagens iguais. Por exemplo, a letra R produz imagens diferentes e a letra O imagens iguais. Quais outras letras produzem imagens diferentes? Quais outras letras produzem imagens iguais? Outras questões pertinentes.
Todas as questões e observações devem ser anotadas e respondidas pelo grupo, juntamente com as anotações das atividades 1, 2 e 3. Compondo assim um relatório das aprendizagens dos alunos nesta aula.
 
Ao final da aula, o professor deverá discutir com os alunos, sobre as atividades propostas para essa aula. Indagando se ficou clara a questão da percepção necessária para visualização do mundo tridimensional e bidimensional. Que todas as atividades tiveram por objetivo exercitar a visualização espacial explorando as propriedades matemáticas da Geometria Espacial.
 
É importante que o professor observe os relatórios dos grupos de alunos, discutindo as estratégias de solução dos exercícios adotados pelos grupos, bem como as dificuldades encontradas por eles para a realização dos exercícios, dando ênfase aos objetivos da aula, resultados, informações complementares, etc.
Recursos Educacionais
Nome Tipo
Projeções em perspectiva Animação/simulação
Trip-Lets Animação/simulação
Recursos Complementares

Poliedros. Disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/13115, acesso em 06 de maio de 2012.

Montanhas Geométricas. Disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/15593, acesso em 06 de maio de 2012.

Sólidos Platônicos. Disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/15954, acesso em 06 de maio de 2012.

Superfícies e Sólidos em Revolução. Disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/16508, acesso em 06 de maio de 2012.

Pletora de Poliedros. Disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/18651, acesso em 06 de maio de 2012.

 

 

Icone Referencias
 
Geometria Espacial. Disponível em:  http://www.profcardy.com/exercicios/assunto.php?assunto=Geometria%20Espacial, acesso em 08 de maio de 2012.
Trip Lets. Disponível em:  http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/15953, acesso em 08 de maio de 2012.
Projeções em perspectiva. Disponível em:  http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/16502, acesso em 06 de maio de 2012.
Avaliação

A avaliação deverá ser realizada ao longo de todas as aulas, observando os alunos nos seguintes critérios:

1. Desenvolvimento e socialização das atividades no vídeo inicial. Se concentrou no desenvolvimento das atividades? Contribuiu na discussão posterior?

2. No desenvolvimento da atividade no laboratório de informática?  O aluno foi argumentativo? Sua produção no grupo foi pertinente?

3. Na produção textual, o grupo do aluno formulou conceitos? Auxiliou ou solicitou auxílio dos colegas.

4. Participação individual e coletiva dos alunos no desenvolvimento do contexto geral da aula.

Um meio que pode contribuir para a verificação de aprendizagem dos alunos é sempre solicitar aos alunos que tenham um portfólio para registro de suas aprendizagens. Que diariamente relatem o que aprenderam e como aprenderam. Esses relatos podem contribuir para que o professor perceba os caminhos que os alunos vem fazendo, bem como avaliar suas aprendizagens.

Consideramos que o Portfólio tem sido um instrumento que compreende a compilação dos trabalhos realizados pelos estudantes. Inclui, registros de visitas, resenhas ou fichamentos de textos, projetos e relatórios de pesquisa e inclui principalmente ensaios auto reflexivos que, permitem aos alunos a discussão de como a experiência na disciplina está interferindo na sua formação. O Portfólio permite ainda uma maior interação aluno/professor, possibilitando que sugestões, dúvidas, aprofundamentos de assuntos, façam parte do processo ensino/aprendizagem.

O Portfólio pode ser desenvolvido em projetos individuais ou coletivos. Não deve ser confundido com uma pasta de trabalho onde o aluno vai guardar tudo o que fez, cronologicamente, ao longo de um período letivo ou curso. O seu valor do ponto de vista da auto avaliação é exatamente na seleção e organização do material que será incluído, assim como nos comentários e justificativas que o aluno vai apresentar para tal escolha.

Para saber mais sobre avaliação por portfólio ver:

Sá. Ilydio Pereira. Avaliação por Portfólio ou “nem só de provas vive a Escola”. Disponível em: http://magiadamatematica.com/uerj/licenciatura/05-portfolio1.pdf, acesso em 05/04/2012.

Sá. Ilydio Pereira. O uso do portfólio na avaliação da aprendizagem em Matemática. Disponível em: http://www.sbemrj.com.br/spemrj6/artigos/a5.pdf, acesso em 05/04/2012.

Opinião de quem acessou

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