Identificar os quatro tipos básicos de isometrias no plano: Translação, Reflexão, Rotação e Reflexão Deslizante;

Conhecer o conceito de isometria;

Associar a ideia de simetria com o conceito de isometria.

a) Simetria e ângulos; Eixos de simetria em figuras planas; Simetria em relação a uma reta; Transformações geométricas no plano;

(2 h aulas 50 min), explanação no quadro de giz.

b) Em data posterior, os alunos deverão ir ao laboratório de informática para explorar visualmente os conceitos em sala de aula;

(2 h aulas 50 min), atividades a serem desenvolvidas com o software Geogebra.

c) Dobradura de papel, para demonstrar as simetrias e realização de desenhos das isometrias;

(1 h aula 50 min), atividades práticas.

1. Professor, comece a abordagem usando computador e data show, para apresentar imagens simétricas, eixos de simetria, imagens assimétricas e isometrias. Crie uma apresentação no BROffice Impress ou Power Point, se desejar.

2. Escolha uma mídia disponível em sua Escola e apresente os vídeos sobre simetrias.

a) NOÇÕES SOBRE SIMETRIAS E EIXOS DE SIMETRIA:

Imagens Simétricas - São figuras, objetos, imagens, coisas, e seres que apresentam partes iguais na forma e tamanho.

Imagens Assimétricas - São imagens que não tem simetria.

Eixos de Simetria - São retas que dividem uma figura ou imagem em duas partes iguais com mesma forma e tamanho.

Todo polígono que tem o número de lados igual ao número de eixos de simetria é denominado polígono regular.

* Passo a Passo - Construção das Isometrias com o Software Geogebra:

É necessário ter o programa Geogebra instalado no computador ;

Ícone abaixo para abrir o software Geogebra, que estará na área de trabalho após a instalação do programa;

Clique duas vezes sobre ele e aguarde;

TELA INICIAL DO GEOGEBRA

Clicar na janela "Exibir", e desmarcar a opção "Eixo" com um clique;

Para as construções a seguir, não usaremos os eixos coordenados;

A área de trabalho do Geogebra deverá estar como abaixo: 

1.REFLEXÃO:

Abrir o programa Geogebra;

Clique em 

Com a ferramenta “reta definida por dois pontos”, crie uma reta.

Clique em 

Crie um polígono, que esteja situado totalmente no mesmo lado da reta.

Clique em 

Com a ferramenta “reflexão com relação a uma reta”, clique sobre o polígono e depois sobre a reta. Aparecerá outro polígono, simétrico ao primeiro em relação à reta.

Clique com o botão direito sobre os polígonos vá a “propriedades” e mude as cores que desejar.

Atividades:

Clique em   e depois sobre a reta movimente a reta e verifique a posição do polígono 2; Como mantém a distância entre os polígonos?

Clique sobre a reta movimente-a até interceptar o polígono 1;

É possível colocar o polígono 2 sobre o polígono 1, ao mover à reta?

Conclua: a reflexão é uma isometria; Demonstre isto através de um desenho.

A reflexão com relação a uma reta é a isometria que leva cada ponto do plano em sua “imagem refletida”, perpendicularmente oposta em relação à reta e mesma distância da reta. Assim temos uma reflexão, na qual a reta funciona como um espelho.

2.TRANSLAÇÃO:

Abrir o programa Geogebra, crie um polígono 1;

Clique em

Com a ferramenta “vetor definido por dois pontos”, crie um vetor exterior ao polígono 1. O vetor representa todos os segmentos orientados em: direção, sentido e módulo;

Clique em

Com a ferramenta “ transladar por um vetor”, clique sobre o polígono 1 e em seguida sobre o vetor;

Surgirá um novo polígono 2, obtido do polígono 1, pela translação através do vetor;

Atividades:

Modifique as cores dos polígonos, através da ferramenta “propriedades”;

Clique em

Movimente o ponto extremo final do vetor e observe o que ocorre com o polígono 2 em relação ao polígono 1; Como mantém a distância entre os polígonos?

Clique sobre o vetor movimente-o até interceptar o polígono 1;

É possível colocar o polígono 2 sobre o polígono 1, ao mover o vetor?

Conclua: a translação é uma isometria; Demonstre isto através de um desenho.

3.ROTAÇÃO:

Abrir o programa Geogebra, crie um polígono 1;

Clique em

Crie um ponto A, preferencialmente fora do polígono 1;

Clique em

Crie um ângulo α;

Clique em

Com a ferramenta “girar em torno de um ponto por um ângulo”, clique sobre o polígono 1, em seguida sobre o ponto A e depois no ângulo α;

Aparecerá outro polígono, obtido do polígono 1 pela rotação do ângulo α, em torno do ponto A.

Atividades:

Modifique a cor dos polígonos com a ferramenta “propriedades”;

Clique no ângulo e altere o valor. Note que o polígono 2 irá mudar de local, mas sempre será obtido do polígono 1 por rotação do ângulo α em relação ao ponto A;

É possível colocar o polígono 2 sobre o polígono 1, ao alterar a medida do Ang α?

Conclua: a rotação é uma isometria; Demonstre isto através de um desenho.

As rotações são isometrias muito conhecidas e frequentes no dia-a-dia. É a única isometria no plano que possui um único ponto fixo, que é o centro de rotação. O giro ocorre em arcos de circunferência, que são as medidas do ângulo α.

4.REFLEXÃO DESLIZANTE (GLISSOREFLEXÃO):

Abrir o programa Geogebra;

Clique em

Crie uma reta e um vetor paralelo à reta;

Clique em

Crie o polígono 1, de preferência totalmente de um lado da reta;

Clique em

Com a ferramenta “reflexão com relação a uma reta”, clique sobre o polígono 1 e depois sobre a reta. Aparece o polígono 2, simétrico ao polígono 1 em relação à reta;

Clique em

Com a ferramenta “transladar por um vetor”, clique no polígono 2 e depois sobre o vetor. Aparece o terceiro polígono, polígono 3, semelhante em imagem ao polígono 2 pela translação através do vetor;

O polígono 3 é imagem do polígono 1 por uma glissoreflexão;

Atividades:

Modifique as cores dos polígonos 3 para distinguir do polígono 1;

Clique em

Clique sobre a reta e o vetor e mova-os e observe a imagem do polígono 1;

Podemos fazer os polígonos 3 e 1 coincidirem?

Clique em

Com a ferramenta “distância” sobre os lados de ambos os polígonos verifique que esta transformação mantém a distância ao movimentar-se o polígono 1;

Conclua que a glissoreflexão é uma isometria; Represente através de um desenho.

Das quatro isometrias, a glissoreflexão é a mais incomum e a mais difícil de ser compreendida plenamente, pois é obtida a partir de outras duas isometrias, a reflexão e a seguir a translação.

As simetrias do plano aparecem em muitas situações como a física dos cristais e as artes plásticas.

O tema “Simetrias” foi apresentado na TV Escola/MEC-TV Cultura, Brasil, em 2000, Programa “Arte e Matemática”.

Atividades Desenvolvidas com o Software Geogebra: 

Translação; Reflexão; Rotação; Reflexão Deslizante.

http://sitedmb.comunidades.net

* É necessário ter o programa Geogebra instalado no computador, para visualizar a aplicação.

Após carregar a página, Clique Isometrias no Plano (quatro tipos);

Quando abrir a página, clique em “executar esta vez”  aguarde a página do Geogebra abrir totalmente e clique em reproduzir;

Veja as animações das isometrias, realizadas com o Software Geogebra.

 Atividade Prática:

Materiais necessários para a realização das atividades:

Livros didáticos para o Ensino Médio e Fundamental;

Livros que discutam geometria plana de um ponto de vista didático e artístico;

Vídeos;

Laboratório de Informática;

Aplicativo: Geogebra;

Folhas de papel colorido;

Régua e Canetas ou Lápis Coloridos.

Sugestões de Leituras:

BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo Padrões em Mosaico. São Paulo. Atual Editora, 2008.

FERREIRA, Suzana. Transformações Geométricas e Simetrias. Coimbra, 2000.

Atividades Desenvolvidas com o Software Geogebra:

Translação; Reflexão; Rotação; Reflexão Deslizante.

Usando régua e canetas coloridas, faça os desenhos das isometrias,

e por dobradura de papel, demonstre simetrias.

Aplicativo Geogebra:

http://www.geogebra.org.

Instalação do programa:

Primeiramente, para baixar a última versão do software GeoGebra, proceda da seguinte forma:

1.    Acesse a página oficial do programa: www.geogebra.org;

2.    Clique na opção Download que fica na coluna esquerda da tela.

3.    Clique em: Download GeoGebra .

4.    Aparecerá em parte da tela, a figura 1 deste texto, onde deverá selecionar a opção de acordo com o seu sistema operacional.

5.    Ao aparecer a próxima tela, clique em salvar.

6.    Crie uma pasta para o GeoGebra, clicando em "nova pasta".

7.    Dê dois cliques na nova pasta para selecioná-la, em seguida clique em SALVAR.

Aguarde... Ao concluir o download, clique em FECHAR.

Uma vez baixado o arquivo de instalação, o procedimento é o seguinte:

1.    Abra o ícone GeoGebra, que deverá estar na pasta escolhida.

2.    Abra o arquivo GeoGebra, com um clique duplo.

3.    Clique em EXECUTAR.

4.    Selecione o idioma, e clique no botão OK.

5.    Clique em AVANÇAR.

6.    Selecione Aceito os termos do Contrato de Licença (depois de ler, é claro!) e clicar no botão Avançar em cada tela que for aparecendo.

7.    Aguarde a instalação...

8.    Clique em AVANÇAR e em seguida em CONCLUÍDO.

9.    Finalmente aparecerá a tela do GeoGebra para iniciar o trabalho.

Observação:

Caso não consiga executar o programa, será necessário baixar a máquina virtual Java, a partir do site http://www.java.com

Nessa etapa, avaliar os possíveis conhecimentos prévios dos alunos. Posteriormente verificar o entendimento dos conceitos geométricos trabalhados, por prova escrita.

Com a sala dividida em grupos, avaliar a capacidade de trabalho dos grupos:

Participação individual na atividade;

Troca de ideias com os colegas;

Percepção do assunto explorado;

Conexões que realizam com atividades desenvolvidas nas disciplinas de Arte e Espanhol.

Os alunos reconhecem as transformações isométricas?

Eles identificam as formas simétricas obtidas por isometrias?