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Sherlock Holmes e a Sequência de Fibonacci

 

09/11/2012

Autor e Coautor(es)

Suelen Fernanda Machado

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Médio Matemática Números e operações
Ensino Médio Matemática Álgebra
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula

Relacionar conteúdos matemáticos e as referências literárias.

Identificar o conceito de Sequências e da Sequência de Fibonacci.

Identificar a razão entre os elementos da Sequência de Fibonacci.

Compreender e desenvolver raciocínio dedutivo.

Duração das atividades
3 a 5 aulas (50 minutos cada).
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Conhecimentos de matemática básica e noções de funções.

Estratégias e recursos da aula

Atividade 1

Atividade 1 - Pesquisa

Para iniciar essa aula, organizar os alunos em grupos (3 a 4 alunos) e no laboratório de informática propor uma atividade de pesquisa com o tema: Sherlock Holmes.

Como sugestão de organização de pesquisa o professor pode observar o modelo da WebQuest Pensando como Sherlock Holmes. Disponível em: http://www.webquestbrasil.org/criador/webquest/soporte_derecha_w.php?id_actividad=21210&id_pagina=1

sherlock

“Arrisco-me a dizer que investigar os mistérios ocultos da matemática é algo imensamente prazeroso. O funcionamento do universo só é possível por meio desta ciência e, da mesma forma, por meio da dedução lógica é possível investigar o mais obtuso dos casos” (Sherlock Holmes).

Fonte: http://goo.gl/fufMF.

A ênfase para a pesquisa dos alunos deve ser em:
 
- Quem foi Sherlock Holmes?
- Apresentar a biografia de Arthur Conan Doyle, criador do personagem Sherlock Holmes.
- Pesquisar fatos e curiosidades sobre Sherlock Holmes.
- Identificar as influências deste personagem para a Matemática?
- Encontrar um trecho de uma das obras de Sherlock Holmes, que apresente um enigma onde o grupo de alunos possa descobrir/indicar uma possível resposta matemática como solução.
 
Sugestões de links para pesquisa:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outros links que o professor julgar pertinente.
 
Sugestão: Uma possibilidade de orientação de pesquisa é por meio da WebQuest. Lembrando que a WebQuest é uma metodologia de pesquisa online, organizada por meio de um roteiro que segue com os seguintes passos: introdução, tarefa, recursos, processo, avaliação e conclusão. O professor dá indicativos de sítios, pré-selecionados, para que a aula seja aproveitada ao máximo, e os alunos não se distraiam diante de tantas informações da internet, e organizem a tarefa e a concluam com sucesso. Para desenvolver sua webquest, o professor pode seguir as orientações do "Tutorial para criar e editar webquest", disponível em m: http://rosangelamentapde.pbworks.com/f/tutorial_wq_escolabr1.pdf e, utilizar o sítio http://www.webquestbrasil.org para criar e postar. Caso queira produzir sua própria webquest sugerimos o site http://www.webquestbrasil.org/criador2/.

Ao final da pesquisa, o professor deve propor uma rodada de apresentação das produções. Um dos alunos do grupo deverá socializar com os demais os resultados encontrados. Se julgar necessário, o professor pode complementar que Sherlock Holmes é um personagem fictício gerado pela mente do médico e escritor britânico Sir Arthur Conan Doyle. Obsessivo na hora de decifrar um mistério, Sherlock ganhou fama ao se valer da metodologia científica e da lógica dedutiva – espécie de pensamento lógico que parte das causas para compreender os efeitos, e assim chega à conclusão mais acertada sobre certas proposições que desafiam sua compreensão.

Atividade 2 - Raciocínio Dedutivo

1 - Propor aos alunos a seguinte situação:
Em uma de suas histórias, Sherlock é visitado por uma cliente. Logo após as apresentações, Sherlock diz a ela: 
- A senhora não acha que, sendo míope, faz mal à sua vista trabalhar como datilógrafa? 
A cliente ficou assombrada. O detetive não a conhecia e mesmo assim descobriu que ela era datilógrafa e míope! Mais tarde, Sherlock explica que deduzira esse fato de outros que ele tinha observado. Dois detalhes na cliente chamaram a sua atenção: as  pequenas marcas nas laterais do nariz, típicas de quem usa óculos constantemente, e as marcas na manga de veludo de seu vestido, típicas de quem apoia o pulso sobre a  borda da mesa de datilografar (é claro que naquela época não existiam os computadores). 
Esse episódio ilustra muito bem o que é raciocinar dedutivamente: é tirar conclusões com base em fatos conhecidos. De certo modo, todos fazemos deduções em nossa vida cotidiana. 
Entretanto, essa competência pode ser bastante ampliada por meio do aprendizado, como o que é proporcionado pela matemática. 
Em muitas atividades o raciocínio lógico é essencial. Detetives e policiais também fazem deduções. Os advogados usam raciocínio dedutivo para descobrir as consequências de uma lei e para argumentar perante o juiz, acusando ou defendendo o réu. Jornalistas pensam dedutivamente para defender suas opiniões. Médicos também recorrem a ele, e você pode imaginar por quê. 
O raciocínio dedutivo faz parte da essência da matemática e você, nesses tantos anos de contato com ela, já fez muitas deduções. Os matemáticos tentam provar, por meio de deduções, os fatos e regras que descobrem. 
(Fonte: Matemática para todos – Imenes e Lellis – Ed. Scipione, 2002).
A partir do texto, o professor deve propor aos alunos que pensem como um bom detetive ou matemático, e tentem responder algumas perguntas, baseadas em raciocínio dedutivo. 
 
a) Uma pessoa, que trabalha como digitadora pode ter unhas longas? 
b) Dê um exemplo de uma situação onde um médico usa o raciocínio dedutivo. 
c) Na quarta-feira, a televisão prevê chuvas fortes no Rio Grande do Sul. Na sexta-feira, você lê no jornal “Trânsito pára em Curitiba”. O que se pode deduzir dessas duas notícias? 
 
2 - O professor pode ainda propor aos alunos algumas situações de dedução a partir de sequências, por exemplo:
 
Observando as sequências marque o número que corresponde a sequência e identifique a razão.
 
a) 2, 4, 6, 8, 10... 
 
x) 12   (   ) 13  (   ) 14  (   ) 15  (   ) 16   razão 2
 
b) 90, 80, 70, 60, 50, ...
 
(  ) 30   (   ) 20  (   x) 40  (   ) 10  (   ) 0   razão -10
 
c) 2, -3, -8, -13, -18, ...
 
(    ) 13   (   ) -25  (   x) -23  (   ) 23  (   ) 25    razão -5
 
d) 1000, 500, 250, ...
 
(    ) 50   (   ) 120  (   ) 140  (   ) 100  (   ) 125    razão 1/2
 
3 - Após a resolução das sequências, proponha que os grupos pensem na lógica da sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... Qual seria a razão entre os elementos?
 
Permita que os grupos elaborem suas respostas,  e sem formalizar resultados proponha o áudio  Embaralhando Sherlock Holmes - Parte I e Parte II, disponível em:  http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/17421 e  http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/17426.
 
 
Conforme o áudio, os alunos podem perceber que tal sequência trata-se da Sequência de Fibonacci. Essa sequência foi enunciada pelo matemático italiano Leonardo de Pisa, também conhecido por Fibonacci, e recebeu o nome de seu descobridor, que a encontrou ao estudar o crescimento idealizado de uma população de coelhos.
 
Propor o vídeo  Eu acho que vi um coelhinho, disponível em:  http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/20401. Tal vídeo propõe apresentar a Sequência de Fibonacci, relacionando-as com o número de ouro.
 
 
Dando continuidade, o professor deve explicar que a Sequência de Fibonacci há alguns anos tornou-se bastante divulgada devido ao livro O Código da Vinci de Dan Brown, que virou sucesso de vendas no mundo todo.
Sugestão: Ver a aula  O Código Da Vinci e a Sequência de Fibonacci. Disponível em:  http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=40688, acesso em 12 de setembro de 2012.
 
Com relação a razão, analisando a sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... temos que cada um de seus termos, a partir do terceiro, corresponde à soma dos dois anteriores
 
Esta sequência tem uma característica denominada recursividade que se refere à obtenção de um termo em função dos anteriores.
O 1° termo somado com o 2° termo resulta o 3° termo.
O 2° termo somado com o 3° termo resulta o 4° termo.
O 3° termo somado com o 4° termo resulta o 5° termo. 
E assim sucessivamente...
 
Assim, se denotarmos o "n-ésimo" termo desta sequência por F n, podemos descrevê-la completamente pela relação de recorrência.
F1= 1,    F2= 1,    Fn= Fn-1+ Fn-2,   sendo  n> ou igual a 3.
 
Por outro lado, a partir desta caracterização, se dividirmos cada um destes números pelo seu antecedente, reparamos que essa razão vai tender para um certo valor, assim é possível construir outra sequência de números também bastante "famosa": 
 
(Gn) = (Fn+1/Fn), cujos primeiros termos são 1, 2, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8 e 21/13.
 
Essa sequência converge ao N úmero de Ouro ou Número Áureo, que aproximadamente vale 1,618 e é também conhecido por razão dourada. A importância deste número na cultura grega é marcante, tendo influenciado inclusive alunos da Escola Pitagórica em sua visão da criação do Universo. A definição clássica da razão dourada é puramente geométrica e descrita assim: O segmento original está para a sua maior parte, assim como a parte maior está para a menor delas.
 
Para fechar essa explicação, propor para os alunos o vídeo  Encontro inusitado, disponível em:  http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/19151, que apresenta várias possibilidades de se encontrar o número de ouro ou proporção áurea, bem como, autores que se utilizaram desse número para suas criações e, por fim, como resolver um problema envolvendo proporção áurea através de equações quadráticas. Lembrando que os termos da sequência de Fibonacci estão relacionados com proporção áurea.
 
 
Retomando a sequência  (Gn) = 1, 2, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8 e 21/13. Comente com os alunos que essa sequência de números a medida que vai crescendo, conforme é apresentado no vídeo, está cada vez mais próxima do número de ouro, pois a distância dos pontos da reta real que representam esses termos ao ponto que representa vai diminuindo.

Atividade 3

a) Proponha aos alunos uma atividade para identificar a razão áurea presente no corpo humano. No grupo, utilize a fita métrica para medir partes do corpo dos colegas, preenchendo a tabela seguinte.

Altura do aluno (A) Altura do umbigo (B) Altura da face (C) Altura da face do queixo até os olhos (D)
       

Com uma calculadora, relacione as medidas:

A/B e C/D

Compare os números obtidos com os números entre os colegas.

Obs. É importante destacar que as medidas variam de pessoa para pessoa, mas a razão de proporcionalidade que rege a beleza é a mesma para a maioria das pessoas. Este número é uma aproximação do Número de Ouro,  um número que está associado a ideia de  beleza e de harmonia do corpo humano.  
O Número de Ouro é aproximadamente 1,6.  Calcule o  valor de seu inverso. Este valor é encontrado, nos exemplos anteriores, se você dividir a menor medida pela maior.
 

b) Propor a parte 6 da sequência de atividades prevista em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/16510.  Lembrando que essa atividade tem por objetivo apresentar algumas propriedades matemáticas do número de ouro e desenvolver raciocínio dedutivo. Obs. Se julgar necessário, o professor pode fazer download das atividades para uso offline em laboratório ou projeção em sala de aula.

parte6

Fonte: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/16510

 

 

 

É importante que o professor acompanhe/supervisione seus alunos de perto, bem como verifique a interação do grupo com nas atividades, porém é importante deixá-los livremente, intervindo somente quando necessário. Para todas as atividades é importante que os grupos registrem no caderno suas observações e resultados. 

Para finalizar explicar aos alunos que as atividades desenvolvidas nesta aula, tiveram por objetivo apresentar a presença da Matemática nos contos literários. Que neste caso Sherlock Holmes se utilizou da Sequência de Fibonacci para chegar a solução de um crime, conforme foi apresentado no áudio. Destacando que a Sequência de Fibonacci esta relacionada com proporção áurea, e que estes dois conteúdos matemáticos foram bastante utilizados por vários autores literários como elementos na elaboração de enigmas e charadas.

Atividade Complementar

Como atividade complementar, o professor pode propor o recurso Newsgame: CSI - Ciência Contra o Crime, disponível em: http://super.abril.com.br/multimidia/info_405177.shtml. O recurso trata-se de um jogo de investigação criminal. Nas cenas são dispostos objetos que apresentam pistas, mas é preciso seguir os instintos de investigador, bem como, responder perguntas baseadas em raciocínio dedutivo para se chegar ao assassino.

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Fonte: http://super.abril.com.br/multimidia/info_405177.shtml

 

Recursos Educacionais
Nome Tipo
Eu acho que vi um coelhinho Vídeo
Embaralhando Sherlock Holmes - Parte I Áudio
Encontro inusitado Vídeo
Embaralhando Sherlock Holmes - Parte II Áudio
O número de ouro Animação/simulação
Recursos Complementares

O Código Da Vinci e a Sequência de Fibonacci. Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=40688, acesso em 12 de setembro de 2012.

Fibonacci: Problema dos Coelhos. Disponível em: http://www.cienciamao.usp.br/tudo/exibir.php?midia=tex&cod=_fibonacciproblemadoscoelhos, acesso em 12 de setembro de 2012.

Flores e a Sequência de Fibonacci. Disponível em: http://www.uff.br/sintoniamatematica/matematicaenatureza/matematicaenatureza-html/audio-flores-br.html, acesso em 12 de setembro de 2012.

Avaliação

 

A avaliação deverá ser realizada ao longo das aulas, observando os alunos nos seguintes critérios:
 
1. Desenvolvimento e socialização no grupo na atividade de pesquisa. Se concentrou no desenvolvimento da atividade? Contribuiu na discussão?
 
2. No desenvolvimento do raciocínio lógico dedutivo? O aluno foi argumentativo? A produção no grupo foi pertinente?
 
3. Durante a apresentação dos áudios, o grupo do aluno formulou conceitos? Auxiliou ou solicitou auxílio dos colegas.
 
4. Participação individual e coletiva dos alunos no desenvolvimento do contexto geral da aula.
 
Um meio que pode contribuir para a verificação de aprendizagem dos alunos é sempre solicitar aos alunos que realizem anotações no caderno referente ao contexto da aula para registro de suas aprendizagens. Que diariamente relatem o que aprenderam e como aprenderam. Esses relatos podem contribuir para que o professor perceba os caminhos que os alunos vêm fazendo, bem como avaliar suas aprendizagens.
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