- Compreender e calcular a inversa de uma matriz;

- Conhecer a criptografia e como as matrizes podem ser utilizadas para criptografar mensagens;

- Construir mensagens criptografadas.

- Multiplicação de matrizes;

- Resolução de sistemas lineares.

ATIVIDADE 1:  COMPREENDENDO E DETERMINANDO A INVERSA DE UMA MATRIZ

PREPARAÇÃO DO AMBIENTE:

Esta atividade será realizada na sala de aula e serão utilizados os seguintes recursos: folhas de papel A4, canetas e lápis.

Recomendam-se as seguintes regras para o desenvolvimento da atividade:

- Participação na atividade;

- Turma dividida em três grupos;

- Respeitar a opinião do colega.

DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE:

Segue abaixo a descrição das etapas desta atividade:

Etapa1: Criando

Com a turma dividida em grupos o professor deverá escrever no quadro uma matriz 3x3 com as entradas vazias e solicitar para cada grupo três números, cada grupo deverá escolher números distintos, ou seja, dois grupos não deverão escolher os mesmos três números, essa matriz deverá ser chamada de A. Segue um exemplo dessa matriz:

Etapa 2: Problematizando

O professor deverá solicitar aos grupos que multipliquem a matriz A por outra matriz (os alunos a chamarão de matriz B) de modo que o resultado da multiplicação resulte em uma matriz identidade. Os alunos deverão chamar as entradas de B de a,b,c,d,...,etc.

Etapa 3: Questionando

Os grupos deverão responder as seguintes perguntas e posteriormente apresentar as respostas para o restante da turma:

1)     Qual é o tipo da matriz B?

2)     Qual é a matriz B encontrada pelo grupo?

MOMENTO DO ALUNO:

Neste momento os alunos buscarão realizar a atividade proposta.

DISCUSSÃO:

Os grupos deverão apresentar ao restante da turma suas respostas. Em seguida o professor deverá propor as seguintes questões aos alunos:

1)     Por que o tipo das matrizes B e identidade são iguais?

 Espera-se que os alunos respondam que isso acontece porque a matriz resultante da multiplicação é quadrada e nesta a quantidade de linhas é determinada pela matriz A e a quantidade de colunas é determinada pela matriz B, como a matriz A possui três linhas então a matriz identidade deverá ser uma matriz 3x3, como o número de colunas de B e a identidade é igual resulta que a matriz B possui três colunas, por fim, a multiplicação entre matrizes só é possível se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B, como A possui três colunas, a matriz B deverá ter três linhas. Portanto, B e a identidade possuem o mesmo tipo.

2)     A matriz B é única?

Espera-se que os alunos respondam sim, pois a mesma matriz foi encontrada por todos (o professor deverá explorar esta pergunta na sistematização).

SISTEMATIZAÇÃO:

Neste momento o professor deverá formalizar o conceito de matriz inversa, mostrando aos seus alunos que a matriz B é a inversa da matriz A da seguinte forma:

“Suponha que B e C são inversas da matriz A, assim AB = BA = I e AC = CA = I, logo B = C.

O professor deverá solicitar aos alunos que tentem iniciar a demonstração de que B=C. Espera-se que a demonstração construída seja semelhante a esta:

B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C

Portanto, B = C.”

Após isso o professor deverá pedir aos alunos que “tentem” encontrar a matriz inversa da seguinte matriz:

Os alunos encontrarão os seguintes sistemas:

O professor deverá explorar uma discussão sobre a resolução dos sistemas de equações obtidos, e então estimular a percepção dos alunos acerca da existência de algumas matrizes que não possuem uma matriz inversa, neste caso elas são denominadas matrizes singulares, pois não existe outra matriz que multiplicada pela primeira resulte na matriz identidade.

Com o intuito de ilustrar melhor o conceito de matriz singular o professor deverá solicitar aos alunos que verifiquem se as matrizes abaixo são singulares:

ATIVIDADE 2: DESVENDANDO A CRIPTOGRAFIA

Etapa 1: Na sala de Informática

Inicialmente os alunos, em duplas, deverão assistir ao vídeo Tempos de Guerra como também fazer a leitura do conteúdo abordado no objeto Mensagens Secretas com Matrizes, ambos disponíveis no Banco Internacional de Objetos Educacionais através dos seguintes endereços eletrônicos: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/20432 e    http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/17047. O conteúdo explorado no primeiro contribui para despertar o interesse nos alunos pela criptografia eu segundo apresenta um processo de criptografia de uma mensagem (a atividade proposta é baseada neste experimento, mas utiliza uma tabela de referência numérica).

Etapa 2: Em sala de aula

A turma deverá ser reorganizada em quatro grupos, o professor deverá comentar com seus alunos o texto e vídeo utilizados na sala de informática e propor a seguinte dinâmica:

Criptografando e Descriptografando mensagens

Tabela de Recorrência:

A dinâmica consiste em criptografar uma matriz de mensagens, por exemplo, a matriz abaixo significa “MATEMÁTICA É LEGAL!:

Para isso multiplicamos a matriz C abaixo (denominada matriz Codificadora) pela matriz M acima.

Assim temos na matriz CM a mensagem criptografada:

Para voltar à mensagem original basta multiplicar a inversa de C, que chamaremos de D (descodificadora) pela matriz CM, segue a matriz D:

Assim,

D(CM) = (DC)M = IM = M.

Cada grupo deverá criar uma mensagem utilizando uma matriz como a do exemplo acima e criptografar a mesma com a matriz C e escrever a matriz criptografada em um pedaço de papel, após isso os grupos deverão trocar os papéis entre si e tentar descobrir a mensagem criptografada utilizando a matriz D.

ATIVIDADE 3: DESCRIPTOGRAFANDO PARA SOCIALIZAR INFORMAÇÕES

Esta atividade será desenvolvida no laboratório de informática educativa (LIE). A turma será dividida em quatro equipes, estas deverão ser nomeadas a critério dos alunos. Cada equipe deverá realizar os seguintes passos:

Passo 1: Criar uma matriz inversível 2x2 e chamá-la de C, esta será a chave de criptografia.

Passo 2: Criar uma matriz de mensagem que será criptografada pela matriz C. Esta mensagem deverá conter uma informação sobre a importância da criptografia atualmente como também a relação entre criptografia e Matemática. O professor deverá acompanhar a pesquisa dos alunos orientando na seleção e compreensão das informações pesquisadas.

Passo 3: Representar a matriz criptografada como uma lista de números separados por vírgulas. Por exemplo, a matriz da atividade anterior que representava a mensagem MATEMÁTICA É LEGAL poderia ser representada da seguinte forma:

M = 13,1,20,5,13,1,20,9,3,1,30,5,30,12,5,7,1,12,30,29

A matriz criptografada poderia ser representada assim:

CM = 69,8,90,27,44,10,61,39,39,32,56,7,70,22,31,9,41,30,36,31

Para escrever as listas acima em formato de matriz basta contar a quantidade de elementos e dividi-los em duas partes, das quais a primeira parte é a primeira linha da matriz e a segunda parte é a segunda linha da matriz.

Passo 4: Criar um grupo no Facebook com o nome da respectiva equipe, para isso os alunos deverão ler o tutorial Como criar um grupo no Facebook, que está disponível no seguinte endereço: http://www.dicastutorial.com/2012/02/como-criar-um-grupo-no-facebook.html

Passo 5: Cada equipe deverá postar a mensagem criptografada em seu grupo juntamente com a chave de criptografia associada à mensagem.

Passo 6: Cada equipe deverá acessar os outros grupos e descobrir a mensagem criptografada, para isso a equipe deverá calcular a matriz inversa da matriz associada à chave de criptografia. O período de duração para essa etapa será determinado pelo professor.

Passo 7: Cada equipe deverá postar em seu próprio grupo uma mensagem escrita normalmente em português informando a mensagem criptografada pelas demais equipes.

Sugestões de links para os alunos:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=37071: um vídeo que trata da criptografia durante a 2ª Guerra Mundial. Acesso em 31/09/2012.

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=35425: um vídeo que introduz os conceitos básicos de criptografia. Acesso em 31/09/2012

Sugestões de links para os professores:

http://www.brasilescola.com/informatica/criptografia.htm: o site exibe uma definição de criptografia.  Acesso em 31/09/2012.

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=35425: um vídeo que introduz os conceitos básicos de criptografia. Acesso em 31/09/2012

Links do Portal que podem ser consultados pelo professor no planejamento de sua aula:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=32846: orecurso possui o objetivo de abordar o conceito de criptografia e explorar conteúdos operacionais de matrizes. Acesso em 31/09/2012.

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=37074: o recurso mostra uma situação que estimula o uso de criptografia. Acesso em 31/09/2012

Na atividade 1 o professor poderá verificar se os alunos compreenderam o conceito de inversa de uma matriz, bem como a maneira de determiná-la a partir da discussão proposta e da identificação de matrizes singulares. Na atividade 2 o professor poderá averiguar se os alunos entenderam o que é criptografia e uso de matrizes nesse processo a partir das mensagens construção das mensagens codificadas. Na atividade 3 o professor poderá verificar se os alunos utilizaram corretamente os conhecimentos de criptografia a partir da decodificação de mensagens relacionadas ao assunto através do Facebook.