Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos;

Identificar o número de termos de uma sequência numérica de números inteiros, a partir dos naturais, observando três particularidades:

1) quando as duas extremidades da sequência fazem parte da contagem;

2) quando apenas umas das extremidades faz parte da contagem;

3) quando nenhuma das extremidades fazem parte da contagem.

- Subtração de números naturais;

- Identificar uma sequência numérica em contextos sociais, além do próprio conjunto numérico, aqui em particular, os naturais e os inteiros.

As estratégias e os recursos aqui descritos visam responder à questões diversas mas, que têm em comum determinar o número de termos de uma sequência numérica no conjunto dos números naturais ou inteiros, seja dentro de um contexto social ou no campo exclusivo da matemática. Por exemplo: “Quantos números inteiros há entre –30 e 21?” (RIBEIRO, 2009, p. 115). Neste caso, a tendência dos alunos é acreditar que o resultado é 51 e não 50. Então, como fazer para que compreendam essa e outras situações similares? Esta questão poderia ser formulada de duas outras maneiras. A saber: quantos números inteiros há de –30 até 21? Ou, quantos números inteiros há de –30 ao termo que antecede o número 21?

Para responder os três casos apresentados, os alunos precisam compreender uma propriedade da subtração de números naturais, qual seja: considerando a sequência numérica a + 0, a + 1, a + 2, a + 3, ... , a + (b – a) = b, quando b > a, o número b – a nos auxilia na contagem de quantos números inteiros maiores ou iguais a a e menores ou iguais a b existem. Se a < b, o intervalo [a, b] possui b – a + 1 elementos (HEFEZ, s/d, p. 12). Podemos desta propriedade, definir outras duas para os demais casos. Assim sendo, se a < b, o intervalo ]a, b[ possui b – a – 1 elementos. E, a < b, o intervalo ]a, b] ou [a, b[  possui b – a elementos.

Para ser possível o professor ensinar e o aluno aprender esse conhecimento, o professor precisa promover uma transposição didática, que facilite a compreensão de uma linguagem formal que, dependendo da faixa etária pode ser de natureza complexa, para uma linguagem mais adequada aos alunos do Ensino Fundamental. Dessa forma, o professor pode se servir das contribuições de Polya (2006) para essa transposição. Vamos lá?

De modo geral, a estratégia é envolver os alunos na resolução de um problema que engloba uma sequência numérica no conjunto dos números naturais, contemplando as três situações supracitadas. O professor por meio de indagações deverá estimular os alunos, dispostos em grupos de três, a mobilizarem seus conhecimentos prévios para pensar em estratégias ou esquemas que facilitem a leitura e a “compreensão do problema”; desenvolver estratégias na busca de solução, ou seja, “estabeler” e “executar um plano de resolução do problema” e, por fim, “fazer o retrospecto”, testando os resultados obtidos e refazendo o caminho ou buscando outros até então não considerados ou desconhecidos.

A aula

O professor, para iniciar a aula, solicite aos alunos que se organizem em trios. Os critérios de seleção dos grupos são variados. O importante é que o professor esteja atento para que não fiquem, num mesmo grupo, somente alunos com dificuldades em trabalhar coletivamente.

Estando os grupos reunidos, o professor entrega-lhes três folhas em branco para cada grupo, e propõe-lhes a seguinte questão (o professor pode fazer uma leitura em voz alta e pedir para que os alunos copiem a situação):

“Vocês três se encontraram e começaram a conversar sobre um livro que estavam lendo. Um comenta que no dia anterior havia lido da página 13 até a que antecede a página 100. O outro revela que nesse dia leu todas as páginas entre as de números 11 e 97, e o terceiro, por sua vez, relata que começou a leitura na página 5 e leu até o fim da página 92” (PROFESSOR).

O professor deve observar se os alunos se colocam na situação. Se isto ocorrer, diante da curiosidade, eles próprios determinam a questão problematizadora, ou seja, querem saber quem leu o maior e o menor número de páginas. Se isto não ocorrer, o professor pode questionar os alunos qual seria a questão a resolver nessa situação. Assim, podem buscar como resposta quem leu o maior número de páginas.

Determinado a incógnita, e interessados pelo problema, assume-se o desafio de saber quem leu o maior número de páginas. Dessa forma, o professor pode sugerir aos grupos que busquem a solução ou as respostas para esta e para as outras duas questões.

Observe o trabalho dos grupos e incentive aqueles que apontam um plano de resolução do problema a apresentá-lo a você, instigue-os a refletir sobre a estratégia pensada e, também, se não existem outros caminhos. Caso um grupo não consiga pensar em nenhum caminho possível, reforce para a leitura atenta do problema, instigue-o a procurar semelhanças com outros problemas já resolvidos e, também pensar nas operações possíveis para resolver aquelas situações.

No trabalho em grupo, em uma leitura desatenta, os alunos tendem a utilizar o algoritmo da subtração para as três situações, sem fazer distinção entre os termos que caracteriza cada uma. Contudo, é preciso observar que termos como “entre” e “antecede” diferenciam uma situação de outra. Dessa forma é interessante que o professor incentive os alunos a fazerem duas coisas: a criarem um esquema (em forma de desenho, por exemplo) para ajudá-los a ler e interpretar o problema em suas diferentes situações e, a buscarem outros caminhos que permitam comparar os resultados adquiridos pelo primeiro caminho pensado (no caso aqui registrado, a subtração). Uma das possibilidades, manifestada pelos conhecimentos prévios dos alunos, é a contagem por meio da reta numérica ou, de modo mais prático, por meio de pequenos riscos, bem como faziam nossos antepassados. Pode ser que alguns também optem pela contagem das páginas do próprio livro.

À medida que o professor vai conduzindo o processo, peça aos grupos que socializem as etapas de trabalho. Para a consolidação do trabalho, o professor pode fazer o registro dos trabalhos numa tabela. A tabela abaixo, por exemplo, ilustra uma situação a qual utilizaremos para situar o professor.

TABELA 1 ─ Representação gráfica e expressão geral para cada uma das três situações envolvendo uma sequência de númerosnaturais

                                   Fonte: autor.

Na tabela é possível verificar na segunda coluna (primeiramente, em preto), possibilidades de respostas que poderão ser apresentadas pelos grupos para as três situações (descritas na coluna 1). Observa-se que para a primeira situação, o resultado pode ser o mesmo para todos, pois, todos podem optar pelo algoritmo da subtração. Na segunda situação, pode haver divergência nas respostas dos grupos, pois, alguns podem utilizar a subtração e um grupo, em específico, considerar o termo “entre” e desprezar as extremidades. Na terceira situação os resultados podem ser os mesmos, visto que todos podem fazer a subtração.

No caso da segunda situação, o professor deve questionar o porquê da diferença de resultados. A constatação pelos alunos de que os termos influenciam no resultado, é a oportunidade que o professor tem para sugerir que os alunos procurem um esquema para representar as três situações do problema. Caso os alunos não consigam visualizar uma forma, o professor pode sugerir a representação, conforme ilustra a quarta coluna. Neste tipo de figura entende-se bolinha fechada como página lida e, bolinha aberta como página não lida.

Observado a importância de uma leitura atenta do problema e que os termos influenciam no resultado, o professor solicita a todos os grupos que busquem outros caminhos ou outras estratégias para determinar as respostas às três questões apresentadas. Comparando a segunda e a quinta coluna podemos identificar que os registros em vermelho se referem aos resultados daqueles que optaram pela contagem por meio de riscos ou fazendo uso da reta numérica (Isto permite uma discussão para o uso de instrumentos formais e não formais na Matemática). Em azul, temos os resultados da conferência por meio do livro didático. Contudo, devido ao tamanho do intervalo do problema proposto, percebe-se que os alunos podem apresentar dificuldades em determinar o número de termos do intervalo para cada situação. Sendo assim, é conveniente fazer a redução do problema.

Neste momento, o professor pode perguntar se é possível reformular o problema de outra maneira. Nesse caso, mantendo a situação ou o contexto e mudando apenas os números das páginas, o professor pode sugerir que façam a redução do problema, ou seja, que trabalhem com as mesmas informações, porém, com um intervalo de páginas de 10 a 20. Essa estratégia permite que repetindo os procedimentos utilizados para o problema correlato anterior, os alunos verifiquem quais respondem a cada uma das três situações e quais resultados são verdadeiros. Solicite a todos os grupos que repitam todas as estratégias utilizadas (subtração, contagem por meio de riscos e da reta numérica, e, por fim, recorrendo às páginas do livro didático). O objetivo é que cheguem ao resultado correto para as três situações.

Após a confirmação dos resultados, o professor propõe aos alunos que criem uma lei geral para responder aos três casos. Para convencer os alunos dessa necessidade ou da vantagem dessa forma matemática de se expressar, o professor pode pedir para os alunos imaginarem situações em que o intervalo é maior, como por exemplo: e se as páginas fossem de 42 a 923? E se fossem entre a 2 e a 432? Ficaria difícil utilizarmos métodos de contagem como os dos riscos e de passar as páginas do livro! Observe que, até mesmo para a conferência dos resultados para este problema que estamos trabalhando, o intervalo já ofereceu dificuldades.

 A partir dos resultados, espera-se que os alunos observem que para a situação em que uma das extremidades não é contada, a subtração é suficiente para responder a questão. Contudo, ela não responde para as outras duas situações. Aqui os alunos têm o desafio de perceber que: no caso em que as duas extremidades é considerada, além da subtração é preciso acrescentar uma unidade a resposta. E, no caso em que não é contada nenhuma das extremidades, além da subtração destas é preciso tirar uma unidade da resposta.

É importante que o professor passe pelos grupos e fomente a discussão dos alunos no sentido de chegar a essa conclusão. Contudo, outras generalizações podem surgir. Para qualquer caso apresentado, é preciso verificar se o que foi proposto responde a situação em questão. Podem-se pensar outros intervalos para validar ou não a expressão proposta. Depois de certo tempo de trabalho, caso algum grupo tenha chegado às expressões desejadas, solicite que apresente o raciocínio e a conclusão do grupo para os demais da classe. O professor pode reforçar o raciocínio exposto, na intenção que todos os alunos entendam as diferenças e as três expressões definindo o método de resolução para problemas que envolvam uma sequencia numérica com números naturais ou inteiros. Senão, o professor conduz ao raciocínio esperado. Sugira que continuem trabalhando com o algoritmo da subtração. Contudo, alerte sobre a necessidade de se fazer ajustes, pois somente a subtração não é suficiente para responder duas das três situações apresentadas.

Depois de chegarem às generalizações e de fazerem o retrospecto e validando cada expressão que permite a resolução das três situações que tomam como referência as extremidades de uma sequência numérica, envolvendo os números naturais, o professor e os alunos podem chegar às seguinte conclusões (expressa na última coluna da tabela):

1. Para situações em que o termo de apenas uma das duas extremidades da sequência é contado, é suficiente aplicar o algoritmo da subtração para determinar a quantidade de termos existentes naquele intervalo, ou seja, a resposta é obtida por meio da subtração entre os extremos da sequência.
2. Já para as situações em que os termos das duas extremidades da sequência de números inteiros são contados, é necessário, além de utilizar a subtração entre os extremos, acrescentar uma unidade ao resultado.
3. Por fim, quando, na situação analisada, não é considerado nenhum dos dois termos das extremidades da sequência, também recorremos à subtração. Porém é necessário retirar uma unidade do resultado para determinar o número de termos da sequência.

Como atividade complementar, o professor pode buscar no(s) livro(s) didáticos (em especial os de 7º ano ou 6ª série) problemas contextualizados ou não, que envolvem sequência numérica para os alunos praticarem aplicando as expressões elaboradas. Entre as situações que podemos encontrar nos livros ou até mesmo formular estão aquelas em que é preciso: determinar a quantidade de termos de uma sequência da reta numérica, por exemplo, entre o 0 e 73; calcular o deslocamento de um carro do quilômetro 13 ao quilômetro 180, por exemplo; verificar a variação de temperatura de -5 a +5, por exemplo; calcular a idade de um personagem que viveu antes e depois de Cristo; planejar os horários para tomar remédios em função de um determinado tratamento; determinar o número de dias de trabalho em uma empresa a fim de pagamento ou aposentadoria, entre outras.

Como avaliação o professor pode recorrer a diferentes estratégias: uma delas é solicitar que os grupos, após chegarem às expressões gerais para as três situações, resolvam a questão descrita no início do tópico “estratégia e recursos materiais”. Esta questão, a princípio se constitui como um desafio, pois, o trabalho até aqui, se limitou ao conjunto dos números naturais. Contudo, a atividade pode, de forma tranquila, ser estendida ao conjunto dos números inteiros. Assim sendo, o grupo pode responder “Quantos números inteiros há entre –30 e 21?” (RIBEIRO, 2009, p. 115) Sendo assim, esta avaliação se configura como um instrumento de enriquecimento da atividade e da aprendizagem.

Outra possibilidade é solicitar que os alunos elaborem seus próprios problemas. O objetivo é que possam considerar aspectos da sua realidade, trabalhem as diferentes particularidades dependendo dos termos que considerem ou não as extremidades da sequência numérica, além de poderem socializar os problemas entre si e resolver o maior número de problemas correlatos possível.

Por fim, uma terceira atividade de avaliação sugerida, é que o professor elabore algumas questões envolvendo uma sequência numérica e solicite aos alunos a resolução das mesmas. Neste tipo de avaliação o professor tem a oportunidade de considerar aspectos relevantes da realidade dos alunos, observando os três aspectos possíveis que considerem ou não as extremidades da sequência numérica, na hora de determinar o número de termos.

Referências

HEFEZ, Abramo. Iniciação à aritmética. Programa de iniciação científica OBEMEPE, [s. d.].

POLYA, G. A arte de resolver problemas. Trad. Araújo, H. L. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.