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Juros simples e Compostos

 

19/11/2009

Autor(es) e Coautor(es)
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Raquel Fernandes Gonçalves Machado

UBERLANDIA - MG

Universidade Federal de Uberlândia

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Maísa Gonçalves da Silva

UBERLANDIA - MG

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Marcia Aparecida Mendes

UBERLANDIA - MG

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ANTOMAR ARAUJO FERREIRA

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Edilamar Ferreira

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Universidade Federal de Uberlândia

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Gislaine Saraiva

UBERLANDIA - MG

Universidade Federal de Uberlândia

Antomar Araújo Ferreira

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Fundamental Final Matemática Números e operações
Educação Profissional Gestão e Negócios Técnico em Operações Comerciais
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula

Espera-se que no final os alunos sejam capazes de:
- Utilizar conceitos da Matemática para analisar vantagens e desvantagens nas transações comerciais.
- Compreender juro como uma compensação em dinheiro que se paga ou que se recebe.
- Definir claramente os termos capital, taxa e montante, para facilitar o entendimento do conteúdo dos problemas propostos.
- Identificar o capital, a taxa de juros e o tempo.
- Resolver problemas envolvendo juros simples e compostos.

- Centralizar as explicações no termo juros (compensação em dinheiro que se paga ou que se recebe).

Duração das atividades
5 horas/aula de 50 minutos
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Para a introdução do tema central “Juros Simples e Compostos”, faz-se necessário, num primeiro momento fazer uma sondagem sobre os conhecimentos prévios dos alunos sobre a Matemática Financeira, para, em seguida, passar do senso comum para o conhecimento científico. Para isso, deve haver uma interação do aluno na construção dos conceitos.

A matemática financeira trata, em essência, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. O seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa em diferentes momentos.
A matemática financeira fornece instrumentos para o estudo e avaliação das diversas formas de aplicação de dinheiro bem como de pagamento de empréstimos.

Estratégias e recursos da aula

1) Antes de construir o conceito de Juros é aconselhável explorar um texto, por exemplo, que busca desenvolver a competência Ler, selecionar, analisar e interpretar informações.

O Texto escolhido é da Revista Veja e trata dos “Juros compostos e escondidos” e permite explorar o tema com os alunos. A metodologia de trabalho consiste na leitura do texto com os alunos.


Em foco: Gustavo Franco

Onde estão os juros?

"Quando havia desconto para pagamento à vista, os juros eram visíveis, embora difíceis de calcular. E agora, que não vemos os juros e as pessoas vão se endividando com a sensação de economizar?"

Estamos vivendo uma espécie de febre do parcelamento. Em toda parte o consumidor é confrontado com a opção de parcelar a compra, e, na maior parte dos casos, ao contrário do que ocorreu no passado, o parcelamento é sem juros. São vários cheques "pré", ou tantas vezes no cartão, e existem cartões de todo tipo. O fato é que o consumidor compra parcelado achando que está fazendo economia.
Quando havia desconto para pagamento à vista, os juros eram visíveis, embora difíceis de calcular. Só os letrados em matemática financeira eram capazes de atestar que os juros eram realmente exorbitantes e que o melhor a fazer era juntar o dinheiro para pagar à vista. Conselho que ninguém seguia.
E agora, que não vemos os juros e que as pessoas vão se endividando com a sensação de economizar?
O fato é que o varejo e os bancos aprenderam a trabalhar juntos, e dessa forma trazem um "pacote" – o "parcelamento sem juros" – que apela fortemente ao consumidor. É claro que os juros não desapareceram, a pergunta relevante é quem está pagando e de que forma.
Uma descrição simples é a seguinte: quando a loja vende parcelado está, na verdade, criando ativos de crédito para um banco, financeira ou factoring. Recebe à vista (com um desconto) desses intermediários, repassa-lhes o consumidor e sua dívida e repõe o produto na prateleira. A loja recebe comissão, quem sabe um pedaço dos juros, que são cobrados de quem comprou financiado, mas, como tudo isso está no preço, é o conjunto dos consumidores quem paga um bom pedaço da conta, e paga feliz porque não sente.
Nesse esquema, as lojas são muito mais "originadores de crédito" que propriamente comerciantes. Alguns gigantes do varejo já descobriram faz tempo que não se ganha dinheiro de verdade no comércio, mas no financiamento. Aliás, aí se perde também muito dinheiro quando as coisas vão mal. O que se passa agora é que essa parte do negócio, o financiamento, foi vendida aos profissionais desse assunto, os bancos, ou compartilhada com eles.
A experiência de 1995 é muito reveladora e vale recordar. O impulso consumista que se seguiu ao Plano Real foi ainda mais forte que o de hoje, mas com algumas fraquezas fundamentais: o varejo se meteu a financiar suas vendas com recursos próprios e com uma capacidade de análise de risco meio amadora. Bancos não especializados resolveram entrar no negócio do crediário diretamente, captando dinheiro de terceiros em prazos curtos, ou indiretamente, estendendo linhas de crédito ao varejo. Os bancos, como se sabe, viviam um momento delicado, e o consumidor "empilhava" as prestações, tantas quantas coubessem no salário, ainda deslumbrado com a estabilidade.
Quando a economia desaqueceu, em virtude da freada imposta pelo Banco Central, a inadimplência subiu significativamente e pegou todos de calças na mão. Faltou capital para carregar ou renegociar os créditos em atraso e para suprir o giro das lojas. Muitos varejistas e bancos quebraram e grande número de consumidores passou aperto.
Todos aprenderam lições, de sorte que a chance de essa história se repetir não é gra nde, embora não desp rezível. Os bancos est ão muito mais capita lizados e a seleti vidade na concessão do crédito é maior, em m édia. É verdade que consumidores continuam "empilhando" as prestações como em 1995, fenômeno que de modo algum se restringe às classes C e D. Isso significa que pequenos tropeços na massa salarial podem ocasionar grandes flutuações na inadimplência.
É verdade também que ainda existem lojas que expõem seu capital em financiamentos às suas vendas nem sempre dentro da melhor técnica bancária. Além disso, diferentemente de 1995, o impulso consumista não veio de aumento de renda real, mas de redução de juros e maior oferta de crédito.
Não há dúvida, por fim, de que os produtores de bens duráveis, e também as exportações, vivem uma exuberância, enquanto muitos outros setores ainda estão rastejando.
Por tudo isso, a freada do BC, se vier, terá de ser pequena e delicada, sendo esta sempre mais difícil de calibrar que uma grande.

Gustavo Franco é economista da PUC-RJ e ex-presidente do Banco Central (gfranco@palavra.com; www.gfranco.com.br)


2) Como juros e tempo andam juntos aconselha-se, a partir da leitura do texto e ainda, antes de construir o conceito de juros, definir “Valor nominal e valor atual”. O recurso utilizado será a aula expositiva interativa. O professor pode explorar o pequeno texto e esquematizar o diagrama no quadro.

Receber uma quantia hoje ou no futuro não são evidentemente a mesma coisa. Em princípio, uma unidade monetária hoje é preferível à mesma unidade monetária disponível amanhã. Postergar uma entrada de caixa (recebimento) por certo tempo envolve um sacrifício, o qual deve ser pago mediante uma recompensa, definida pelos juros. Desta forma, são os juros que efetivamente induzem o adiamento do consumo, permitindo a formação de poupanças e de novos investimentos.
O valor nominal de um título (nota promissória, cheque pré-datado, duplicata, CDB, letra de câmbio, por exemplo) representa seu valor na data de seu vencimento, ou seja, seu valor de resgate. O valor nominal de um título, dívida, obrigação ou compromisso equivale ao montante de uma operação financeira e também é conhecido como “valor futuro”.
Já o “valor atual” é quanto vale um título em qualquer data anterior ao seu vencimento. Equivale ao cálculo do capital em uma operação financeira e também é conhecido por “valor descontado” ou “valor presente”.
Um exemplo seria de um título de valor nominal R$5500,00 que foi descontado 4 meses antes de seu vencimento tendo sido recebido (ou pago) por ele o valor de R$5000,00.

3) Agora, o tema central da aula, Juros simples, porém com algumas discussões e análises preliminares. Para explorar o tema faz-se necessário formar o conceito de juros a partir de uma leitura prévia do pequeno texto e cálculo de juros com diferentes dados colocados numa tabela.

Podemos chamar de sistema financeiro ou bancário o conjunto de instituições e operações ocupadas com o fluxo de recursos monetários entre os agentes econômicos. Basicamente, é o mercado de emprestadores e tomadores de empréstimo, sendo que o valor da remuneração dos empréstimos é chamado de juro ou, em termos percentuais, de taxa de juros. Esta representa, em dado momento, a remuneração relativa que os empréstimos obterão e o custo relativo com que os tomadores de empréstimo terão de arcar.
As taxas de juros devem ser eficientes de maneira a remunerar:
- o risco envolvido na operação (empréstimo ou aplicação), representado genericamente pela incerteza com relação ao futuro;
- a perda do poder de compra do capital motivada pela inflação. A inflação é um fenômeno que corrói o capital, determinando um volume cada vez menor de compra com o mesmo montante;
- o capital emprestado/aplicado. Os juros devem gerar um lucro (ou ganho) ao proprietário do capital como forma de compensar a sua privação por determina do período de tempo. Este ganho é estabeleci do basicamente e m fu nção das diversas outras oportunidades de investimentos e definido por custo de oport unidade.

Vamos supor que uma pessoa emita um cheque e utilize o seu limite de crédito (cheque especial) oferecido pelo banco por um determinado período (tempo). Sabe-se que o cheque é um instrumento de mobilização de moeda bancária, uma ordem de pagamento à vista, sobre quantia determinada, emitida contra um banco, com base em provisão de fundos depositados pelo emitente ou oriundos de abertura de crédito. Nessa linha conceitual, o cheque pressupõe emissão contra o banco ou ente financeiro assimilados e existência de saldo do credor do emitente (correntista); em conta fundada em contrato de depósito bancário.
Seu portador pode, portanto, promover a respectiva execução por quantia certa contra devedor solvente em caso de falta de pagamento. Nos termos do art. 585, inciso I, do Código Processo Civil, o cheque é título executivo.
Então, no final desse período, ao quitar o empréstimo, essa pessoa paga uma certa quantia (juros) como compensação ao banco por ter lhe emprestado o dinheiro.
O total da quantia paga ao banco corresponde a capital + juros e é chamada de montante.
Ao processo de formação dos juros simples dá-se o nome de regime de capitalização simples, em que os juros são calculados sempre sobre o mesmo valor inicial. O regime de capitalização simples comporta-se como se fosse uma progressão aritmética (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo.

Para calcular os juros simples, uma situação poderia ser a seguinte:

VALOR DA APLICAÇÃO       TAXA (a.m.)       TEMPO (em mês(es)       JUROS TOTAIS (J)        MONTANTE (M)
1.000,00                                  2,0%                  1                                     20,00                       1020,00
1.000,00                                  4,0%                  1                                     40,00                       1040,00
1.000,00                                  2,0%                  2                                     40,00                       1040,00
1.000,00       &nb sp;  &n bs p;   &n bsp;                      4,0%                  2                                     80,00                       1080,00
2.000,00                                  2,0%                  1                                     40,00                       2040,00
2.000,00                                  2,0%                  2                                     80,00                       2080,00
      C                                         i%                   t                                      C.i.t                         C + C.i.t

Assim, generalizando, o professor pode explorar com os alunos um problema de juros simples como:

Se um capital C, aplicado à taxa de i% ao período, no sistema de juros simples, rende juros J, no fim de t períodos, então: i.C = Juros obtidos no fim de 1 período e (i.C).t = juros obtidos no fim de t períodos

Daí:

J=C.i.t e M=C+J.

O próximo passo seria definir com os alunos os tipos de juros simples que podem ser exatos, ordinários e também, calculados pela regra dos banqueiros.

Depois, uma planilha elaborada no EXCEL para cálculo de juros simples ordinários, juros simples exatos e juros simples pela regra dos banqueiros seria uma excelente estratégia.
A planilha de cálculo Microsoft Excel tem potência e versatilidade na solução de diversos problemas que envolvem a matemática financeira e suas aplicações. Dentro desse enfoque, esta aula apresenta a teoria de forma bastante direta seguindo uma sequência lógica quanto ao inter-relacionamento dos assuntos e respectivo grau de complexidade, amparado em inúmeros exemplos e problemas resolvidos .
Para facilitar o tr abalh o o professor poder á utilizar-se de um computa dor com o Microsoft Excel, uma vez que tal instr umento será indispensável para seu acompanhamento e sugerir aos alunos que reservem um horário predeterminado para realização dos seus estudos, buscando, sempre que possível, relacionar os conceitos apresentados às situações e aos exemplos de sua realidade;

4) Nesse momento, faz-se necessário que o professor resolva algumas questões propostas como atividades de contextualização dos conteúdos.

1ª questão:

Um investidor possui R$50000,00 e precisa decidir a melhor opção de aplicar seu dinheiro. Ele dispõe de duas opções: aplicar todo seu dinheiro a juros simples de 5,1% ao mês, durante 6 meses, ou aplicar 35% desse dinheiro em um investimento que rende juros simples a uma taxa de 6% a.m., durante 5 meses, e aplicar o restante em outro investimento que rende 24% a.a., durante 5 meses, também a juros simples. Qual é a melhor opção de investimento? Responda calculando quanto esse investidor p ossui ao fim do período, em cada opção.

2ª questão:
Calcular os juros simples exatos, ordinários e pela regra dos banqueiros, para que um capital de R$4500,00 colocado à taxa de 30% ao semestre, no período de 10 de janeiro a 10 de abril de 2005.

5) Agora, o professor apresenta o segundo tema central da aula, Juros Compostos. Para formar o conceito de juros compostos é necessário rever o sistema de capitalização simples, para que, em seguida, possa traçar um paralelo entre os dois regimes de capitalização.

No regime de juros simples o cálculo do montante no final de cada período é sempre feito em relação ao capital inicial, ou seja, o valor do juro é constante em cada período. Já o regime de juros compostos, que retrata melhor a realidade, considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao final formando o montante (capital + juros) do período. Este montante, por sua vez, passará a render juros no período seguinte formando um novo montante (constituído do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre os juros formados em períodos anteriores), e assim por diante.
Tecnicamente, o regime de juros compostos é s uperior ao de juros simples, principalmente pela possibilidade de fracionamento dos prazos. No critério composto, a equivalência entre capitais pode ser apurada em qualquer data, retratando melhor a realidade das operações que o regime linear.

6) Nesse momento, faz-se necessário que o professor resolva algumas questões propostas como atividades de contextualização dos conteúdos.

1ª questão:
Suponha que o administrador de uma fazenda investe R$5000,00 numa conta de poupança com taxa anual de juros de 8%, com os juros compostos anualmente. Qual é o saldo composto depois de 5 anos?

2ª questão:
Um consumidor tem três opções de pagamento na compra de vestuário.
a) À vista, com 3% de desconto.
b) Em duas prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira um mês após a compra.
c) Em três prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira no ato da compra.
Qual a melhor opção para o consumidor, se o dinheiro vale, para ele, 2,5% ao mês?

BIBLIOGRAFIA:
FRANCO, Gustavo. Onde estão os juros? Veja, São Paulo, v. 1871, n. 37, p. 129, set. 2004.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Ensino Médio. São Paulo: Ática, 1999. v. 1.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília: MEC, 1999. 364 p.
______. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. PCN + Ensino Médio: orientações educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais: Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília: MEC/SEMTEC, 2002. 144 p.
MATHIAS, Washington Fran co; GOMES, J osé Maria. Mat emática financeira. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2002.
TOSI, Armando José. Matemática financeira com ut ilização do Excel 2000: a plicável também às versões 5.0, 7.0 e 97. São Paulo: Atlas, 2002. 220p. + 1 disquete.
MERCHEDE, Alberto. Matemática financeira: para usuários do Excel e da calculadora HP-12C. São Paulo: Atlas, 2001.
SANTOS, Pedro. Matemática financeira em multimídia. São Paulo: Estuda, 2004. 1 CD-ROM + Manual de utilização e show de exercícios.
VASCONCELOS, Flávio Carvalho de. Matemática financeira com a ajuda do computador. São Paulo: Ícone, 1987. 151 p.

Recursos Complementares

Planilha do Excel para cálculos dos juros.

Avaliação

Para verificar se as competências e habilidades citadas no início foram desenvolvidas o professor pode propor atividades de contextualização dos conteúdos como:

1ª questão:
Ao tomar emprestada uma quantia de R$2000,00, o Sr. Antônio da padaria tem duas propostas: a primeira, à taxa de 5% ao mês, durante 8 meses; a segunda, à taxa de 4 % ao mês, durante 11 meses; ambas a juros simples. Em qual das propostas o Sr. Antônio pagará menos juros pelo empréstimo? Mostre.

2ª questão:
Carlos adquiriu, no dia 23 de fevereiro de 2005, um aparelho de TV em cores que à vista, custava R$650,00. Como não tinha todo o dinheiro, pagou R$200,00 de entrada e assumiu o compromisso de pagar mais uma parcela de R$540,00, através de um boleto bancário, com vencimento 60 dias após a compra. Analise a situação e responda:
a) Qual a taxa mensal de juros simples ordinários do financiamento?
b) Após quanto tempo da compra deveria vencer a parcela de R$540,00 para que a taxa de juros simples do financiamento fosse de 2,5% ao mês?
c) A loja descontou o título no Banco Alfa à taxa de 3,5% a.m. no regime de juros simples, 35 dias antes do vencimento. Qual foi o valor do desconto e qual o valor líquido creditado na conta da loja?
d) Suponha que Carlos não conseguiu cumprir seu compromisso e no título estava escrito a instrução bancária “APÓS O VENCIMENTO JUROS DE MORA DE 3,0% AO MÊS E MULTA DE 0,5% SOBRE O VALOR NOMINAL DO TÍTULO”. Determine o valor pago por Carlos pelo boleto bancário, se a dívida foi quitada dia 05 de maio de 2005, supondo o regime de juros simples.

5ª questão:
Joaquim toma um empréstimo de R$1500,00 a juros de 2% ao mês. Qual será a dívida de Joaquim três meses depois?

6ª questão:
Investindo seu capital a juros mensais de 2% ao mês, em quanto tempo você dobrará o seu capital inicial?

Opinião de quem acessou

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Opiniões

  • Francisco de Assis Lins Maciel, Escola São Luís , Pernambuco - disse:
    chicoalgebra@gmail.com

    10/08/2010

    Cinco estrelas

    Obrigado por postar este material, principalmente agora que a educação despertou para a necessidade de vivenciar sequencias didáticas na construção de conceitos.


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