• Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos, conforme habilidade H5 da matriz de referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM;
• Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências, conforme habilidade H24 da matriz de referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM;
• Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos, conforme habilidade H26 da matriz de referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM.

• Utilização do material dourado;
• Utilização das funções de operações básicas da calculadora.

RECURSOS MATERIAIS

• Material dourado;
• Folha de papel sulfite A4 em branco.

1º MOMENTO

 Comumente ensina-se o algoritmo da multiplicação após a abordagem dos sentidos multiplicativos, mas não raro, o professor depara-se com erros dos alunos como o representado na ilustração a seguir.

Figura 1: Exemplo de erro cometido por alunos no algoritmo da multiplicação.

 

A operação realizada demonstra falta de compreensão do significado do processo multiplicativo, o aluno não faz uma real previsão do resultado. Por isso, propõe-se com o auxílio de material concreto, nesse caso, do material dourado, a construção de significados para o algoritmo da multiplicação por meio do método prático.

Professor, inicie a aula expondo uma peça de cada tipo do material dourado e questione os alunos se eles sabem que ordem cada peça representa. Espera-se que os alunos concluam que cada cubo pequeno representa uma Unidade; cada barra, uma Dezena; cada placa uma Centena e cada cubo grande, uma Unidade de Milhar, conforme ilustração a seguir.

Figura 2: Ilustração das peças do material dourado.

 

Em seguida, questione os alunos:

• Quais peças devem ser utilizadas para representar o número 45?

Os alunos devem intuir que são necessárias quatro barras (Dezenas) e cinco cubinhos (Unidades), conforme representado na figura a seguir (Figura 3):

Figura 3: Representação numérica usando material dourado

 

Comentário: Professor, caso perceba nos alunos dificuldades na troca das ordens, considera-se este momento como uma oportunidade para que os alunos compreendam que também podem representar com 45 cubos pequenos, mas que facilita a percepção do total se o agrupamento das unidades e a troca pelas dezenas forem efetuados.

Questione os alunos se há diferença entre as multiplicações de 13 x 15 e a de 15 x 13. Professor, permita que os alunos expressem suas considerações. A expectativa é que eles percebam que, embora o produto seja o mesmo, a primeira representa treze vezes a quantidade 15 e na segunda, quinze vezes a quantidade 13. Para que os alunos percebam a diferença, solicite que eles realizem na calculadora a multiplicação 2 x 2 e apertem a tecla =, observando o resultado. Peça que apertem a tecla = várias vezes e continuem observando o resultado.

Pergunte aos alunos o que perceberam. Acredita-se que os alunos respondam que cada vez que se aperta a tecla =, o resultado dobra. Assim, ao apertar as teclas 2 x 2 e em seguida a tecla igual , aparecerá no visor o número 4. Na sequencia ao pressionar novamente a tecla , aparecerá o número 8. Ao se apertar mais uma vez a tecla , aparecerá o número 16 e assim, sucessivamente, formando a sequência visualizada na ilustração a seguir.

Figura 4: Ilustração do visor da calculadora.

 

Posteriormente, solicite aos alunos que utilizem a calculadora e repitam esse procedimento, porém para a multiplicação 3 x 2 e anotem os resultados. Os alunos deverão obter os resultados: 6; 12; 24; 48 e, assim, sucessivamente. Em seguida, peçam que anotem os resultados para a operação 2 x 3. Dessa vez, os alunos obterão os seguintes resultados: 6; 18; 54; 162 e, assim por diante. A expectativa é que os alunos percebam que a tecla igual (=) da calculadora quando apertada seguidamente, funciona como uma tecla de operação constante, no caso da multiplicação, a calculadora adota como multiplicador o último fator, como no primeiro caso os dois fatores eram iguais, não houve diferença.

Solicite, então, que um aluno represente a multiplicação 13 x 15 e outro represente 15 x 13, não se preocupando com o resultado. As representações dos alunos devem ser (figura 5):

Fonte: imagens do autor

             

 

Figura 6: Representação com material dourado da multiplicação 15 x 13.

Fonte: imagens do autor

 

Professor, espera-se que esta atividade facilite a compreensão da propriedade comutativa da multiplicação. Por isso, julga-se importante que o professor retome o questionamento da diferença entre as representações das multiplicações de 13 x 15 e a de 15 x 13. Novamente, permita que os alunos expressem suas considerações. A seguir, solicite que outros dois alunos representem, com o material dourado e de outra maneira, o resultado da multiplicação. Para isso, eles podem fazer as trocas necessárias. Como resultado final, os alunos devem apresentar:

Na primeira situação:

Figura 7: Representação das trocas necessárias da multiplicação 13 x 15.

 

Fonte: imagens do autor

 

Assim, representem o resultado como:

 

Figura 8: Representação do resultado usando o material dourado.

Fonte: imagens do autor

 

 

Logo: 13 x 15 = 195

 

Na segunda situação:

Figura 9: Representação das trocas necessárias da multiplicação 15 x 13.

Fonte: imagens do autor

 

 Assim, representem o resultado como:

Figura 10: Representação do resultado usando o material dourado.

 

Fonte: imagens do autor

 

 

Logo: 15 x 13 = 195

Comentário: Professor, caso os alunos escolhidos não consigam demonstrar o resultado, é interessante que solicite o auxílio da turma, questionando os alunos sobre  em que aspecto o colega se equivocou. Dê uma nova oportunidade aos alunos escolhidos anteriormente, deixando-os fazer uma nova tentativa. Caso o professor ache necessário, pode também convidar outros para realizarem a atividade. Ao final, solicite aos alunos que comparem os resultados, de forma a concluírem que são iguais. Assim, formalize a propriedade comutativa da multiplicação: “na multiplicação, se invertermos a ordem dos fatores o resultado não se altera”.

 

 

2º MOMENTO

 

Professor, questione os alunos sobre o valor de cada algarismo nos números a serem multiplicados: 13 x 15.

A resposta esperada para a pergunta é que no primeiro fator há três unidades e uma dezena e no segundo, cinco unidades e uma dezena.

A seguir, buscando facilitar o entendimento do algoritmo da multiplicação, solicite que um aluno represente com o material dourado, as operações a serem realizadas. Concomitantemente a esta atividade, realize o registro escrito das operações e trocas realizadas pelo aluno na lousa. Julga-se importante que o professor conceda tempo aos alunos para a reflexão e o esclarecimento de dúvidas a cada questionamento. Assim, proceda:

•  Qual o resultado da multiplicação de três vezes cinco unidades?

 

Comentário: Acredita-se que o aluno representará o resultado usando 15 cubinhos do material dourado e realize a troca de “10 Unidades por uma Dezena”. Enquanto isso, o professor aproveita para formalizar o cálculo usando o algoritmo. Pode ser oportuno que o professor questione os alunos sobre o que foi feito pelo aluno com o material dourado.

Figura 11: Multiplicação das Unidades.

 

Fonte: imagens do autor

 

 

• Qual o resultado da multiplicação de três vezes uma dezena?

 Comentário: Confia-se que o aluno representará o resultado usando três barras de uma dezena e acrescente à barra da ação anterior. Assim:

 

Figura 12: Multiplicação das Unidades pela Dezena.

Fonte: imagens do autor

 

Comentário: Julga-se que esta visualização permite que o professor aborde o sentido do termo comumente usado como o “vai um”.

 

• Pergunte aos alunos quais os próximos passos da multiplicação e o que significa multiplicar o um por 5.

 

Comentário: Espera-se que os alunos expliquem que seja necessário multiplicar a Dezena, como continuidade da multiplicação. E como o algarismo 1 (um) ocupa a ordem das Dezenas, na verdade, a multiplicação é por 10.

 

• Então, quanto é 10 vezes 5 unidades?

 

Comentário: A resposta esperada para esta pergunta é que os alunos digam que sejam 50 unidades. Assim, o professor pode questionar sobre qual troca pode ser realizada. E, portanto, os alunos respondam que as 50 unidades podem ser trocadas por 5 barras, ou seja, 5 Dezenas. Assim sendo:

Figura 13: Multiplicação da Dezena pelas Unidades.

Fonte: imagens do autor

 

 

Comentário: Pondera-se que este seja um dos momentos mais importantes da formalização do algoritmo, a fim de buscar o entendimento e a superação do erro no algoritmo demonstrado na introdução desta proposta de aula. Por isso, o professor deve explicar o porquê e qual a posição do algarismo 5 no processo – cinco Dezenas - e explicar o porque da ordem das Unidades ficar vazia, ou pode-se aproveitar e questionar os alunos sobre quantas unidades restaram após a troca pelas Dezenas. A expectativa a este questionamento é que os alunos consigam responder que não sobrou nenhuma unidade e por isso, no algoritmo, ao multiplicar a Dezena pela Unidade têm-se Dezenas exatas.

 

• Qual o resultado da multiplicação de dez vezes uma dezena?

 

Comentário: Espera-se que o aluno represente o resultado usando dez barras do material dourado e realize a troca de “10 Dezenas por uma Centena”. Enquanto isso deve-se formalizar o registro no algoritmo escrito na lousa. Pode ser oportuno que o professor questione sobre o que foi feito pelo aluno ao representar com o material dourado e trocar as barras (Dezenas) pela placa (Centena). Dessa forma:

Figura 14: Multiplicação da Dezena pela Dezena.

Fonte: imagens do autor

 

• Como obter o resultado final da multiplicação de 13 x 15?

 

Comentário: A resposta esperada é que os alunos sugiram a soma dos resultados obtidos após as trocas efetuadas. Avalia-se que seja importante que a disposição do material dourado acompanhe o registro do algoritmo para que o aluno estabeleça a relação. Desse modo, espera-se que se tenha a seguinte situação:

Figura 15: Resultado do processo multiplicativo

Fonte: imagens do autor

 

Logo: 15 x 13 = 195.

Comentário: O professor pode propor outros exemplos de multiplicação e realizar os mesmos procedimentos, inclusive criando um espaço de diálogo a fim de permitir que os alunos exponham suas considerações e expliquem os procedimentos realizados.

 

O professor pode ao final da aula propor o jogo online sobre multiplicação denominado de “Labirinto da tabuada”. Este jogo foi elaborado pelo matemático Antônio José Lopes Bigode e o desafio consiste em realizar o jogo usando as propriedades da multiplicação. O jogo está disponível no endereço: <http://revistaescola.abril.com.br/swf/jogos/exibi-jogo.shtml?209_tabuada-2.swf>. Acesso em 08 jul. 2013. Além disso, outro recurso disponível na Internet que pode ser utilizado pelo professor é o jogo da calculadora quebrada. A proposta deste jogo é usar apenas os números e operações disponíveis em uma calculadora para fazer os cálculos para obtenção dos números solicitados no menor tempo possível. Este jogo encontra-se disponível no endereço: <http://rachacuca.com.br/jogos/calculadora-quebrada/>. Acesso em 08 jul. 2013. 

Recomenda-se como processo avaliativo que o professor observe o interesse, a motivação e o envolvimento dos alunos na realização das atividades. É importante que a avaliação possibilite ao professor perceber se os objetivos pretendidos inicialmente foram alcançados. Dessa forma, torna-se importante considerar as respostas dos alunos, as ações e respostas apresentadas quando dos questionamentos. Aconselha-se, ainda, que o professor realize uma autoavaliação para que os discentes manifestem as facilidades e as dificuldades encontradas ao longo das atividades realizadas.