Esta aula tem como objetivo o desenvolvimento da competência de área 1 da Matriz de Referência, em que o aluno terá a oportunidade de construir significados para os números irracionais, que estão contidos no conjunto dos números reais. De acordo com as Habilidades H1 (reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais, com destaque para os irracionais), H3 e H4 poderão identificar padrões numéricos e resolver situações-problema envolvendo conhecimentos numéricos. Espera-se que o aluno se aproprie do conceito de circunferência, de seus elementos, faça as relações existente entre eles reconhecendo o pi como número irracional.

• Circunferência.
• Uso de régua e compasso.
• Equação.

Esta aula é continuação da aula intitulada “Isso é mágica? Não! É Matemática. – Descobrindo o pie os números irracionais a partir da circunferência- Parte I”, podendo ser acessada em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/verAula.html?aula=50590>. Depois do trabalho de campo, esta aula acontece na sala de aula, quando os alunos terão a oportunidade de revisar os conhecimentos sobre circunferência e fazer relações por meio das operações com números de diferentes conjuntos numéricos.

Para o desenvolvimento das atividades propostas os alunos precisarão dos seguintes materiais:

- Cordão;

- régua;

- lápis;

- borracha;

- compasso;

- folhas no tamanho A4;

- cartolina ou papel pardo;

- pedaços pequenos de canos com diferentes diâmetros;

- objetos com formatos arredondados como moedas, corretivo, arruelas, latas de refrigerantes e energéticos, pratos, pires, copos, por exemplo, entre outros;

- calculadora.

Professor, a fim de criar um clima de suspense diga aos alunos que hoje você vai fazer mágica. Para cada circunferência que eles fizerem e falarem o seu comprimento, você vai adivinhar o diâmetro e o raio de cada uma.

Dessa forma, oriente-os para que, novamente, se organizem em grupos. Peça-os que deixem sobre a mesa compasso, régua, lápis, borracha e algumas folhas. Distribua para os grupos cordão, folhas e alguns objetos com formatos arredondados. Garantidas as condições de trabalho, solicite aos grupos que desenhem a circunferência de cada objeto recebido. Diga-lhes que para cada circunferência desenhada, calculem o seu comprimento, encontrem e marquem o centro da circunferência, além de traçarem e medirem o diâmetro.

Para o desenho da circunferência, provavelmente os alunos utilizarão os próprios objetos como modelo, contornando-os com lápis ou caneta. Posteriormente, por estimativa os alunos farão o exercício de visualizarem um provável ponto, próximo ao centro, onde colocará a ponta seca do compasso. No exercício de percorrer o caminho da circunferência já desenhada, os alunos regulam a abertura do compasso até encontrar o raio e o centro da circunferência em questão. Caso coloque o compasso sobre a régua, já é possível determinar o valor do raio da circunferência e, facilmente obtém-se o valor do diâmetro com o dobro da medida do raio. Além do compasso, também pode determinar a medida do diâmetro utilizando o cordão, unindo um ponto ao outro da circunferência, passando o cordão pelo centro.

Observação: provavelmente os alunos não terão dificuldades em executar esta atividade por conta da atividade anterior. Caso seja necessário, auxilie o aluno na utilização do compasso, para localizar o centro da circunferência, e assim determinar o diâmetro.

Outra forma de determinar o diâmetro, tendo o desenho da circunferência é dobrando o papel de forma que as semicircunferências se coincidam, como ilustra a figura 1.

Figura 1: Determinando o diâmetro por meio de dobradura.

Fonte: autor.

Observação: Perceba que a dobradura pode ser feita em qualquer direção e que o ponto de encontro de duas dobras é o centro da circunferência.

Para determinar o comprimento da circunferência espera-se que os alunos utilizem o cordão para sobrepor o desenho, como feito na aula – parte I, e utilizar a régua para medir o segmento de cordão que corresponde a circunferência. Outra opção é os alunos contornarem os próprios objetos com cordão como fez com a árvore.

Espere até que os grupos determinem o comprimento da circunferência e o diâmetro dos objetos recebidos, ou, pelo menos, da maioria deles.

Com a calculadora em mãos, é hora de “brincar de mágica”, ou melhor, de trabalhar a matemática com os alunos. Solicite a um grupo que diga o comprimento da circunferência que você vai adivinhar o diâmetro deste objeto.

Comentário: Lembre-se que o diâmetro é calculado, dividindo-se o comprimento da circunferência pelo valor aproximado de pi.

Usando a calculadora, determine e responda imediatamente aos alunos o valor do diâmetro e peça-os para confirmarem o resultado. Por exemplo, para uma circunferência de tamanho 28,4 cm faça: 28,4 : 3,14 e encontrará o valor aproximado do diâmetro de 9 cm. Em caso, de incompatibilidade de resultados, e essa for significativa, peça-os para conferir as medidas realizadas visto que você tem certeza da sua resposta.

Retome com os alunos a relação entre diâmetro e raio*, lembrando-os de que se souberem o diâmetro, consequentemente também saberão o valor do raio, e vice-versa.

* A medida do diâmetro é o dobro da medida do raio.

Comentário: Professor, é bem provável que os alunos fiquem curiosos para saber como é que você sabe o valor do diâmetro sem medir com a régua, como eles precisaram fazer. O que eles ainda, provavelmente não sabem, apesar de já suspeitarem, é que existe uma relação do comprimento da circunferência com o diâmetro.  Essa é uma boa hora para apresentar o número pi.

Quando achar oportuno, diga-lhes que existe um número especial, infinito e que não pode ser escrito na forma de fração, ou seja, uma dízima não periódica que ao dividir o comprimento da circunferência é possível determinar o valor aproximado do diâmetro. Ou seja, se dividirmos o comprimento da circunferência (C) pelo valor de pi, que mede aproximadamente 3,1415, obtemos o diâmetro.

Assim, você terá a oportunidade de revelar o “segredo”: o uso do pi, conforme destacamos na figura 2.

Figura 2: Esquema para explicar o uso do pi e encontrar o diâmetro.

Fonte: autor.

Comentário: O fato desse número, o pi, permitir determinar o diâmetro de qualquer circunferência, independente de seu tamanho, contribui para que o aluno se interesse pela origem desse número, exigindo um conhecimento mais elaborado a respeito do mesmo. É aí que o professor pode entrar com a sugestão para os alunos dividirem, utilizando a calculadora, todas as circunferências por eles desenhadas, pelos seus respectivos diâmetros e compararem os resultados. Surpreendentemente os resultados será uma dízima não periódica, com valor aproximado de 3,14. Nesse sentido, o professor pode trazer o conceito de constante e explicar que a existência desse tipo de número (dízima não periódica, já que existem infinitos outros números com essa característica) originou um conjunto para além do conjunto dos números racionais, denominado, portanto, de irracionais. Assim, é possível o aluno compreender que a união dos dois conjuntos (racionais e irracionais) dá origem a outro conjunto, o dos números reais.

Para finalizar a atividade, neste momento, se a sala, no caso, possuir um computador e um projetor multimídia, passe o vídeo <https://youtube.googleapis.com/v/r16Aw0wWGxU%26source=uds%26autoplay=1>. Se isso não for possível, pode-se pedir aos alunos que o assistam em casa e que façam um relato, por escrito da aula, destacando: o conceito de circunferência, seus elementos e as relações existente entre eles, destacando a expressão que permite calcular o comprimento da circunferência. O professor pode também pedir que pesquisem a história desse número que é tão fascinante e que aparece constantemente na matemática.

Comentário: Se o professor achar conveniente, e interessante que os relatos sejam socializados e que as considerações principais dos alunos sejam debatidas e as conclusões, destacadas na lousa.

Observação: Para uma fundamentação teórica a respeito do pi, e favorecer o diálogo com os alunos,  consulte o site <http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/aplcom1a.html>.

Diga aos alunos que esse número pi realmente é fascinante, e que chega a ser música para seus ouvidos. Provavelmente irão rir e pensar que está brincando. Assim, utilizando um recurso multimídia, ou, levando-os ao laboratório de informática apresente-os o seguinte vídeo: <http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/pipag-videos.html>. Caso a escola não disponibilize de recurso computacional peça-lhe para assistir em uma lan house ou em casa, mas que não deixem de assistir. Outros vídeos interessantes também podem ser encontrados neste mesmo endereço eletrônico.

Para verificar se os objetivos da aula foram alcançados, nesta atividade o professor pode avaliar a participação e a responsabilidade com as atividades propostas, as estratégias utilizadas pelos alunos para determinar o raio e a habilidade dos alunos com os instrumentos de medida (uso da régua), de desenho (compasso) e de cálculo (calculadora).

Com relação ao conteúdo matemático, propriamente dito, o professor pode perguntar ou aplicar um questionário sobre conceitos como raio, diâmetro, comprimento de circunferência e pi. O relato escrito e os debates são, também, importantes recursos para a avaliação da aprendizagem do conteúdo ministrado. Também é possível passar alguns exercícios com relação a circunferência para que os alunos trabalhem, de forma abstrata, os conceitos construídos com a atividade prática e a aula expositiva, tanto pelo vídeo quanto pelo professor da turma.