• Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos, conforme habilidade H21 da matriz de referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM;
• Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação, conforme habilidade H22 da matriz de referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM.

• Reconhecimento das dimensões de figuras planas: quadrado e retângulo;
• Cálculo de área de figuras planas: quadrado e retângulo;
• Reconhecimento de monômios e polinômios;
• Operação com monômios e polinômios;
• Desenvolvimento dos casos de produtos notáveis, tais como: quadrado da soma e da diferença de dois termos.

Recursos materiais

• Papel cartão (3 cores diferentes).
• Tesoura.
• Cola.
• Folha de papel A4 branca.
• Estudo dirigido elaborado previamente.
• Projetor multimídia (data show) ou TV conectada ao computador. 

Inicialmente, propõe-se que o professor divida a turma em grupos de dois a quatro componentes. A presente proposta de aula prevê três atividades (de 1 a 3) a serem executadas em momentos distintos. Abordaremos nesta proposta, apenas, os procedimentos previstos na Atividade 1 (Introdução à fatoração e explorando o caso fator comum em evidência). Os demais, serão abordados nas aulas que compõem esta sequência didática. Ressalta-se que as propostas possuem o mesmo título e são identificadas como Parte 2 (Atividade: Explorando o caso Trinômio Quadrado Perfeito) e Parte 3 (Fatorando polinômios a partir da utilização do Tangram).

Para agilizar o processo, recomenda-se que os roteiros das atividades sejam preparados previamente pelo professor, para que os alunos realizem-nas nos momentos oportunos. Além disso, esses roteiros podem ser apresentados aos alunos usando o projetor multimídia ou TV conectada ao computador. Porém, as figuras das atividades podem ser confeccionadas anteriormente pelo docente ou pode ser solicitado que os alunos as construam.

Vale ressaltar que, caso o professor opte pela opção de confecção das figuras pelos discentes, torna-se importante atentar para o tempo planejado para a sua realização. Além disso, para facilitar que os alunos expressem as dimensões das figuras por meio de incógnitas, julga-se importante que os grupos troquem as figuras confeccionadas, assim, um grupo não saberá as medidas usadas pelo outro na sua construção.

Introdução à fatoração

Professor, após a composição dos grupos, suscite o seguinte questionamento:

• O que significa fatorar? O que significa fatoração? Você sabe ou já ouviu falar sobre fatoração em Matemática?

Permita que os alunos conversem entre si, além disso, pode ser sugerido o uso de um dicionário de língua portuguesa e/ou a Internet como fonte de busca. Em seguida, solicite que os alunos expressem algumas respostas e anote no quadro para socialização com a turma. Posteriormente ao momento de discussão em sala e usando as respostas dos alunos, o professor deve formalizar o conceito de fatoração:

“Fatorar um polinômio é transformá-lo em uma multiplicação” (DANTE, 2005, p. 107) ou ainda: é escrever uma sentença matemática na forma de produtos de fatores.

Comentário: Aconselha-se ao professor não entregar todas as atividades juntas, para que os alunos foquem apenas na que está sendo trabalhada, espera-se assim, que as atenções dos discentes não se dispersem para as atividades subsequentes.

Em seguida, entregue a atividade 1 e enfatize a ideia do trabalho coletivo, para que o estudo, a investigação e as respostas sejam construídas juntamente com o grupo sob a orientação do professor.

Atividade 1 – Explorando o caso “fator comum em evidência”

A primeira atividade de investigação é o estudo sobre a fatoração com fator comum em evidência.

Comentário: Professor, sugere-se, ainda, que os questionamentos apontados e destacados ao longo da presente proposta de aula possam ser utilizados na construção prévia de um roteiro a ser impresso, para que os alunos acompanhem as atividades e expressem suas respostas de forma escrita. Vale ressaltar que este roteiro pode ser recolhido ao final da aula como instrumento do processo avaliativo para saber se os objetivos pretendidos foram alcançados.

Professor, cada grupo deverá ter um quadrado (vermelho de lado x) e um retângulo (laranja de dimensões x e y), confeccionados em papel cartão, conforme ilustrado na figura a seguir (Figura 1). 

Comentário: As cores e dimensões usadas são apenas sugestões.

Em seguida, faça as seguintes perguntas sobre essas figuras.

• Qual a área da figura vermelha?

Comentário: A resposta esperada é: x . x ou x².

• Qual a área da figura laranja?

Comentário: A resposta esperada é: x . y.

• Qual a soma das áreas?

Comentário: A resposta esperada é: x² + x . y.

Após esses questionamentos, solicite aos alunos que  juntem as figuras de forma que se obtenha um novo retângulo.

II - Junte as figuras (vermelha e laranja) formando um retângulo e responda:

Comentário: Espera-se que os alunos consigam compor o retângulo conforme a ilustração a seguir (Figura 2). Vale lembrar que outras variações dessa figura podem ser obtidas pelos alunos. 

Realize, então, os seguintes questionamentos sobre a figura formada.

• Como posso expressar as dimensões dos lados do retângulo formado?

Comentário: Espera-se como respostas: Comprimento: x + y. Altura: x.

• Como posso representar o cálculo da área do retângulo formado?

Comentário: Espera-se como resposta: Área: x . (x + y).

Após esse momento, inicia-se o processo de investigação para que os alunos formalizem o conceito de fator comum em evidência. Para isso, questione os alunos:

• A área da figura formada é maior em relação à soma da área das duas figuras anteriores?

• Comparando a expressão que permite calcular a área da figura formada com as expressões que permitem calcular a soma das áreas ( I ) e ( II ), pode-se estabelecer uma sentença matemática que as relacionam? Como podemos escrevê-la?

Comentário: Espera-se, com essas duas questões, que os alunos expressem que as duas figuras representam uma mesma área.

• Então __________________ = ___________________.

Comentário: Espera-se que os alunos expressem a igualdade das sentenças que representam a área total das duas figuras.

• Observe que quando escrevemos o polinômio na forma de multiplicação, o fator x é chamado de fator comum em evidência. Por quê?

• Logo esse processo de fatoração é chamado: ­­­­­­­­­­­­­___________________________.

Comentário: Espera-se que os alunos concluam que x é um fator comum aos dois monômios e se está isolada, por isso, “fator comum em evidência”.

Com o intuito de consolidar esse conceito, solicite que os alunos realizem o mesmo procedimento para figuras diferentes das anteriores. A seguir, sugere-se modelos de figuras para essa atividade (Figura 3).

Como conclusão da Atividade 1, desafie os alunos questionando-os sobre como verificar se o processo de fatoração está correto. A expectativa é que os alunos expressem que seja necessário desenvolver o produto notável, aplicando-se a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. Assim, os alunos devem expressar que a verificação da forma fatorada da atividade anterior, tem-se: 2 . y . (x + y) = 2 . y . x + 2 . y² ou 2 . y . x + 2 . y . y.

Referências

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática: 7ª série. São Paulo: Ática, 2005. 264 p.

FANTI, Ermínia de Lourdes Campello; KODAMA, Hélia Matiko Yano; MARTINS, Ana Claudia Cossini; Cunha, Ana de Fátima C. S. Ensinando fatoração e funçôes quadráticas com o apoio de material concreto e informática, 2006. Disponível em:  http://www.unesp.br/prograd/PDFNE2006/artigos/capitulo2/fatoracao.pdf. Acesso em 23 jun. 2013.

O professor pode, ainda, complementar a presente proposta de aula usando o relato de experiência: “ENSINANDO FATORAÇÃO E FUNÇÔES QUADRÁTICAS COM O APOIO DE MATERIAL CONCRETO E INFORMÁTICA” (FANTI; KODAMA; MARTINS; CUNHA, 2006). Nesse relato, os autores abordam conteúdos matemáticos, em especial casos de fatoração e funções quadráticas, que foram trabalhados com o auxílio do material concreto, como o Algeplan, e softwares, como o Cabri, o Géomètre II e o Winplot. Disponível em: <http://www.unesp.br/prograd/PDFNE2006/artigos/capitulo2/fatoracao.pdf>. Acesso em 23 jun. 2013.

Caso esta proposta seja aplicada para alunos do Ensino Médio, o professor pode motivar os alunos com o uso de recursos multimídia para o estudo de polinômios. O conteúdo de polinômios, geralmente, é trabalhado antes dos casos de fatoração. Assim, recomenda-se utilizar o material disponível em: <http://m3.ime.unicamp.br/portal/Midias/Softwares/SoftwaresM3Matematica/jogo_dos_polinomios/polinomio/visualizar.html>. Acesso em 15 ago. 2013. Nesse endereço são disponibilizados três arquivos: Software de jogo online, guia do professor para impressão e guia do professor para visualização em tela. O jogo online tem como proposito a escrita correta da função polinomial correspondente ao gráfico apresentado na tela. O jogo possui três fases, em que os níveis de dificuldade aumentam de acordo com o grau da função polinomial representada graficamente. O software permite a exploração gráfica da função polinomial e pode, ainda, ser usado como uma avaliação dos conhecimentos prévios dos alunos sobre o conteúdo. As guias permite que o professor explore melhor o recurso do jogo, para isso, traz em seu conteúdo aprofundamentos teóricos e recomendações metodológicas para o uso do jogo.

O professor pode observar o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente, na realização dos processos solicitados, sua motivação e empenho na execução das atividades e no desenvolvimento de atitudes na interação, cooperação e organização do trabalho em grupo. Aconselha-se, inclusive, que o professor considere as hipóteses levantadas e os questionamentos dos alunos durante a aula. Sugere-se, ainda, que  professor recolha o roteiro das atividades. Por meio dele, o professor pode analisar as habilidades desenvolvidas, as estratégias e os cálculos efetuados pelos alunos, além de possíveis erros uma possível reelaboração de estratégias de intervenção didática para orientar os alunos a buscarem o caminho certo.

Torna-se importante, ainda, que os alunos exercitem uma reflexão sobre o próprio processo de aprendizagem. Por isso, torna-se importante que o professor realize uma autoavaliação permitindo aos alunos se expressarem sobre os pontos positivos e negativos da aula e das atividades. A autoavaliação pode ser por escrito ou oral.