• Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos, conforme habilidade H21 da matriz de referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM;
• Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação, conforme habilidade H22 da matriz de referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM.

• Reconhecimento das dimensões de figuras planas: quadrado e retângulo;
• Cálculo de área de figuras planas: quadrado e retângulo;
• Reconhecimento de monômios e polinômios;
• Operação com monômios e polinômios;
• Desenvolvimento dos casos de produtos notáveis, tais como: quadrado da soma e da diferença de dois termos.
• Fatorar produtos notáveis pelo caso de fator comum em evidência.

Recursos materiais

• Papel cartão (3 cores diferentes).
• Tesoura.
• Cola.
• Folha de papel A4 branca.
• Estudo dirigido elaborado previamente.
• Projetor multimídia (data show) ou TV conectada ao computador.

Metodologicamente, aconselha-se manter a condução das atividades como proposto na primeira aula desta sequência. Ou seja, inicialmente, propõe-se que o professor divida a turma em grupos de dois a quatro componentes. Vale lembrar que a presente proposta de aula prevê três atividades (de 1 a 3) a serem executadas em momentos distintos. Abordaremos nesta proposta apenas os procedimentos previstos na Atividade 2 (Atividade: Explorando o caso trinômio quadrado perfeito). Os demais, são abordados nas aulas que compõe esta sequência didática. Ressalta-se que as propostas possuem o mesmo título e são identificadas como Parte 1 (Atividade: Introdução à fatoração e explorando o caso fator comum em evidência) e Parte 3 (Fatorando polinômios a partir da utilização do Tangram). 

Para agilizar o processo, recomenda-se que os roteiros das atividades sejam preparados previamente pelo professor, para que os alunos realizem-nas nos momentos oportunos. Além disso, esses roteiros podem ser apresentados aos alunos usando o projetor multimídia ou TV conectada ao computador. Porém, as figuras das atividades podem ser confeccionadas anteriormente pelo docente ou pode ser solicitado que os alunos as construam.

Vale ressaltar que, caso o professor opte pela opção de confecção das figuras pelos discentes, torna-se importante atentar para o tempo planejado para a sua realização. Além disso, para facilitar que os alunos expressem as dimensões das figuras por meio de incógnitas, julga-se importante que os grupos troquem as figuras confeccionadas, assim, um grupo não saberá as medidas usadas pelo outro na sua construção.

Atividade 2 – Explorando o caso trinômio quadrado perfeito

A segunda atividade de investigação refere-se à fatoração por trinômio quadrado perfeito.

Comentário: Professor, sugere-se, ainda, que os questionamentos, apontados e destacados ao longo da presente proposta de aula, possam ser utilizados na construção prévia de um roteiro, a ser impresso, para que os alunos acompanhem as atividades e expressem suas respostas de forma escrita. Vale ressaltar que este roteiro pode ser recolhido ao final da aula como instrumento do processo avaliativo para saber se os objetivos pretendidos foram alcançados.

Professor, cada grupo deverá ter um quadrado vermelho de lado x, quatro retângulos laranja de dimensões x e y, e quatro quadradinhos amarelos de lado y, todos confeccionados em papel cartão. Como ilustrado na figura a seguir (Figura 1).

Sugere-se o mesmo procedimento proposto para na realização da Atividade 1 para o desenvolvimento da Atividade 2, se diferenciando apenas pelas respostas esperadas. Assim, em seguida, faça as seguintes perguntas sobre essas figuras.

I - Observe as figuras recebidas (cores vermelha, laranja e amarela) e responda:

• Qual a área da figura vermelha?

Comentário: A resposta esperada é: x . x ou x².

• Qual a área da figura laranja?

Comentário: A resposta esperada é: x . y ou xy.

• Qual a área da figura amarela?

Comentário: A resposta esperada é: y . y ou y².

• Qual a soma das áreas de TODAS as figuras?

Comentário: A resposta esperada é: x . x + 4. x . y + 4 . y . y ou x² + 4 xy + 4y².

Após esses questionamentos, solicite que os alunos juntem as figuras de forma que se tenha um novo quadrado.

II - Junte as figuras (vermelha, laranjas e amarelas) formando um quadrado e responda:

Comentário: Espera-se que os alunos consigam compor o quadrado conforme a ilustração a seguir (Figura 2). Vale lembrar que outras variações dessa figura podem ser obtidas pelos alunos. 

• Quais são as medidas dos lados do quadrado formado?

Comentário: A resposta esperada é: x + 2y.

• Como posso representar o cálculo da área do quadrado formado?

Comentário: A resposta esperada é: (x + 2y) . (x + 2y) ou (x + 2y)².

Após esse momento, inicia-se o processo de investigação para que os alunos formalizem o conceito de fator comum em evidência. Para isso, questione os alunos:

• Comparando a expressão que permite calcular a área da figura formada com as expressões que permitem calcular a soma das áreas ( I ) e ( II ), pode-se estabelecer uma sentença matemática que as relacionam? Como podemos escrevê-la?

• Compare a soma das áreas do item I com a área do item II. O que você pode afirmar sobre essa comparação?

Comentário: Espera-se, com essas duas questões, que os alunos expressem que as duas figuras representam uma mesma área.

e) Então __________________ = ___________________.

Comentário: Espera-se que os alunos expressem a igualdade das sentenças que representam a área total das duas figuras.

Como conclusão da Atividade 1, desafie os alunos questionando-os sobre como verificar se o processo de fatoração está correto. A expectativa é que os alunos expressem que seja necessário desenvolver o produto notável, aplicando-se a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

Referências

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática: 7ª série. São Paulo: Ática, 2005. 264 p.

FANTI, Ermínia de Lourdes Campello; KODAMA, Hélia Matiko Yano; MARTINS, Ana Claudia Cossini; Cunha, Ana de Fátima C. S. Ensinando fatoração e funçôes quadráticas com o apoio de material concreto e informática, 2006. Disponível em:  http://www.unesp.br/prograd/PDFNE2006/artigos/capitulo2/fatoracao.pdf. Acesso em 23 jun. 2013.

O professor pode, ainda, complementar a presente proposta de aula usando o relato de experiência: “ENSINANDO FATORAÇÃO E FUNÇÔES QUADRÁTICAS COM O APOIO DE MATERIAL CONCRETO E INFORMÁTICA” (FANTI; KODAMA; MARTINS; CUNHA, 2006). Nesse relato, os autores abordam conteúdos matemáticos, em especial casos de fatoração e funções quadráticas, que foram trabalhados com o auxílio do material concreto, como o Algeplan, e softwares, como o Cabri, o Géomètre II e o Winplot. Disponível em: http://www.unesp.br/prograd/PDFNE2006/artigos/capitulo2/fatoracao.pdf. Acesso em 23 jun. 2013.

Caso esta proposta seja aplicada para alunos do Ensino Médio, o professor pode motivar os alunos com o uso de recursos multimídia para o estudo de polinômios. O conteúdo de polinômios, geralmente, é trabalhado antes dos casos de fatoração. Assim, recomenda-se utilizar o material disponível em: <http://m3.ime.unicamp.br/portal/Midias/Softwares/SoftwaresM3Matematica/jogo_dos_polinomios/polinomio/visualizar.html>. Acesso em 15 ago. 2013. Nesse endereço são disponibilizados três arquivos: Software de jogo online, guia do professor para impressão e guia do professor para visualização em tela. O jogo online tem como proposito a escrita correta da função polinomial correspondente ao gráfico apresentado na tela. O jogo possui três fases, em que os níveis de dificuldade aumentam de acordo com o grau da função polinomial representada graficamente. O software permite a exploração gráfica da função polinomial e pode, ainda, ser usado como uma avaliação dos conhecimentos prévios dos alunos sobre o conteúdo. As guias permite que o professor explore melhor o recurso do jogo, para isso, traz em seu conteúdo aprofundamentos teóricos e recomendações metodológicas para o uso do jogo.

O professor pode observar o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente, na realização dos processos solicitados, sua motivação e empenho na execução das atividades e no desenvolvimento de atitudes na interação, cooperação e organização do trabalho em grupo. Aconselha-se, inclusive, que o professor considere as hipóteses levantadas e os questionamentos dos alunos durante a aula. Sugere-se, ainda, que a avaliação possa se dá pelo recolhimento do próprio roteiro das atividades. Por meio dele, o professor pode analisar as habilidades desenvolvidas, as estratégias e os cálculos efetuados pelos alunos, além de possíveis erros uma possível reelaboração de estratégias de intervenção didática para orientar os alunos a buscarem o caminho certo.

Torna-se importante, ainda, que os alunos exercitem uma reflexão sobre o próprio processo de aprendizagem. Por isso, é importante que o professor realize uma autoavaliação permitindo aos alunos se expressarem sobre os pontos positivos e negativos da aula e das atividades. A autoavaliação pode ser por escrito ou oral.