Anexo I – Folha entregue aos alunos

Atividade de Investigativa – Congruência de Triângulos

A questão que deverá motivar essa investigação é a seguinte:

“SERÁ NECESSÁRIO QUE SE CONHEÇA PREVIAMENTE TODOS OS TRÊS PARES DE LADOS CORRESPONDENTES E TODOS OS TRÊS PARES DE ÂNGULOS CORRESPONDENTES, PARA TERMOS CERTEZA QUE DOIS TRIÂNGULOS SÃO CONGRUENTES?”

I - Se for conhecido apenas um elemento comum de dois triângulos, podemos afirmar que estes triângulos são congruentes?

A) Construir um triângulo que tenha lado medindo 6,5 cm.

B) Construir um triângulo que tenha um ângulo medindo 30º.

II – Se for conhecido dois elementos congruentes de dois triângulos, podemos afirmar que estes triângulos são congruentes?

A)    Construir um triângulo que tenha lados 4 cm e 5 cm.

B)     Construir um triângulo cujas medidas dos ângulos são 35º e 85º.

C)    Construir um triângulo de lado 2 cm e um ângulo de 60º.

III - Se for conhecido três elementos congruentes de dois triângulos, podemos afirmar que estes triângulos são congruentes?

A)    Construir um triângulo, cujos lados meçam 2 cm, 3 cm e 4 cm.

B)     Construir um triângulo, cujos ângulos meçam 30º, 90º e 60º.

C)    Construir um triângulo, cujos lados medem 3 cm e 5 cm, de modo que o ângulo formado por esses dois lados seja de 45º.

D)    Construir um triângulo, que tenha um lado de 6 cm e dois ângulos, um de 60º e outro de 40º, sendo que o lado de 6 cm é comum a esses dois ângulos.

E)     Construir um triângulo, que tenha lados medindo 6 cm e 4 cm e um ângulo de 30º que seja oposto ao lado de 4 cm.

F)     Construir um triângulo, que tenha um lado medindo 8 cm, um ângulo adjacente a ele que meça 60º e um ângulo oposto a ele, que meça 45º.

Quando os alunos terminarem as construções, devem se organizar em grupos. Agora começa o real trabalho do professor que deve relembrar os alunos as hipóteses que foram levantadas às quais devem ser verificadas por eles através dos seus conhecimentos prévios a respeito de congruência de triângulos, utilizando os triângulos construídos por eles. O uso de régua e transferidor ressaltados, para que possam medir os elementos dos triângulos é a partir daí compará-los.

Em um trabalho de investigação, o professor faz perguntas para orientação dos alunos, os quais a partir de suas conclusões e reflexões vão conceituando novos conteúdos, regras e teorias. Por isso é muito importante que o aluno seja incentivado a escrever o que este pensando, mesmo que sua teoria esteja errada, pois a partir de suas anotações e as de seus colegas torna-se mais próximo do aluno aquela matéria, pois ele durante aquela investigação já adquiriu experiência. Fato importante na construção do conhecimento geométrico.

As conclusões dos grupos alunos devem ser apresentadas por um elemento ao restante da sala, a partir dessas conclusões será possível obter as seguintes afirmações:

I – Nas situações A e B, os alunos deverão concluir, após as construções realizadas, a analise e a discussão, que existe a possibilidade de se construir infinitos triângulos não congruentes.

II – Nas situações A, B e C, com a mesma facilidade os alunos concluíram dedutivamente a não congruência dos triângulos que possuem dois elementos comuns congruentes, pela diversidade de tamanhos dos triângulos.

III – Na situação A, todos os alunos devem ter desenhado triângulos que, s e sobrepostos, são c ongruentes, ou seja, conhecendo-se os três lados, já se conhece “tudo” sobre o triângulo, inclusive os ângulos.

Na situação B, o fato de os ângulos terem sido dados não faz com que todos os triângulos desenhados sejam congruentes. Nesse momento é importante deixar claro que alguns alunos poderiam ter desenhado triângulos idênticos, portanto congruentes, mas se algum aluno ao desenhar o seu triângulo com esses ângulos o fez com medidas diferentes, esse possuirá os ângulos congruentes aos outros desenhados, mas não seria mais congruente aos mesmos, pois seus lados não seriam congruentes.

Na situação C, eram dados dois lados e o ângulo formado por eles, isso levou os alunos a construírem triângulos congruentes entre si.

Na situação D, eram conhecidos um lado e dois ângulos que tinham esse tal lado em comum, portanto os triângulos obtidos também foram todos congruentes.

Na situação E há duas possibilidades de solução, portanto isso mostra que comparar dois lados e um ângulo oposto a um deles não é suficiente para concluirmos a congruência entre esses dois triângulos. Assim como no caso III B iram ocorrer alguns desenhos de alunos os quais levariam a conclusão de triângulos congruentes, mas se há um formato de triângulo diferente a ser construído com os três elementos da situação em destaque, não é possível afirmar a congruência.

Na situação F é possível que haja dificuldades na construção do ângulo de 45º embora essa construção possa ser feita de diferentes modos, o triângulo final é único. Portanto os triângulos construídos corretamente serão congruentes entre si.

A partir das conclusões dos alunos o professor já terá condições de formalizar quatro casos de congruências de triângulos.

1.) LLL – Lado, Lado, Lado: Se dois triângulos têm os três lados respectivamente congruentes, então eles são congruentes.

2.) LAL – Lado, Ângulo, Lado: Se dois triângulos têm dois lados e o ângulo compreendido entre eles, respectivamente congruentes, então eles são congruentes.

3.) ALA – Ângulo, Lado, Ângulo: Se dois triângulos têm um lado e dois ângulos a ele adjacente respectivamente congruentes, então eles são congruentes.

4.) LAAo – Lado, Ângulo adjacente, Ângulo oposto: Se dois triângulos possuem um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado, respectivamente congruentes, então eles são congruentes.

Continuando questione os alunos sobre quantos elementos foram dados para a construção de cada triângulo, nos casos em que se verificou a congruência. Os alunos responderão que foram três elementos do triângulo.

Como na relação de congruência são comparados dois triângulos, represente no quadro todos os seus elementos possíveis a serem comparados, três lados e três ângulos. Desse conjunto de elementos de um triângulo, monte um esquema contendo todos os subconjuntos de três elementos do triângulo. Marque os casos já analisados nas construções anteriores, CONGRUENTES para os casos em que foi possível verificar a congruência dos triângulos e NÃO CONGRUENTES para os casos em que a verificação não foi possível.

A partir daí peça aos alunos para fazerem novas construções, as quais terão como base apenas os três elementos destacados, os quais ainda não foram verificados. É importante ressaltar a necessidade de existência do triângulo novamente, assim como foi feito no início das construções.

Após todas as verificações será possível concluir que os casos de congruências de triângulos são LLL, LAL, ALA, e LAAo, formalize-os na lousa. Relate para os alunos que há outro caso de congruência de triângulos o qual só vale pra triângulos retângulos que pode ser mais facilmente compreendido se for trabalhado a condição que todo triângulo retângulo tem pelo menos um ângulo congruente a todo triângulo retângulo, portanto essa congruência é apenas uma decorrência das anteriores.