Para desenvolver as competências da área 2 da matriz do ENEM, que é utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela, especificamente em em seu H7 - identificar características de figuras planas ou espaciais, é esperado para essa aula os seguintes objetivos:

• Levar o aluno a descobrir a fórmula para determinar a soma dos ângulos internos de um polígono.
• Levar o aluno a descobrir a fórmula para determinar a soma dos ângulos externos de um polígono.
• Resolver situações problemas utilizando a soma dos ângulos internos e externos de um polígono.

3 horas aula (50 minutos cada)

Para o desenvolvimento da aula o aluno deve, como pré requisito, saber

• Identificar os polígonos.
• Identificar os elementos de um polígono.
• Somar os ângulos internos de um triângulo.
• Identificar a diagonal de um polígono.
• Identificar ângulos internos e externos de um polígono.

A AULA

PRIMEIRO MOMENTO

 

Professor, divida a turma em duplas, e em seguida, entregue para cada aluno da dupla uma folha contendo desenhos de um triângulo, um quadrilátero, um pentágono, um hexágono, um heptágono, um octógono, um eneágono e um decágono, conforme figura 1 e outra folha contendo um quadro como o mostrado na figura 2,abaixo.

Após a entrega das folhas, dê a seguinte instrução aos alunos da classe:

• Divida cada polígono em triângulos, traçando diagonais, utilizando apenas um de seus vértices, e complete a segunda e terceira coluna da tabela.

Figura 1: Modelo da folha contendo as figuras geométricas.

Fonte: Arquivo do autor.

Observação: Professor, se possível amplie as figuras melhorando a visualização para os alunos.

 

Figura 2: Modelo do quadro a ser utilizado na atividade

Polígonos	Número de lados	Número de triângulos	Soma dos ângulos internos
Triângulo
Quadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
Eneágono
Decágono
Polígono de n lados

Fonte: Arquivo do autor

 

Professor, durante essa atividade acompanhe as duplas, argumentando e questionando-as para que os alunos possam perceber as similaridades. Posteriormente, entregue o questionário a seguir:

          1)  Quantas diagonais podem ser traçadas usando apenas um vértice de um quadrilátero? E de um pentágono?

          2)  Analisando o item anterior, podemos afirmar que existe uma relação entre o número de diagonais e o número de lados? Se existir, qual é?

Comentário: Espera-se que os alunos observem que existe uma relação entre o número de diagonais que saem de apenas um vértice dos polígonos (d)  e o seu número de lados (n) e que essa relação é dada pela diferença entre o número de lados e três.

Professor, representando as diagonais por “d” e o número de lados por “n”, peça aos alunos que escrevam uma sentença matemática que represente a relação encontrada.

Padrão de resposta esperada: Espera-se que eles cheguem a equação: d = n – 3. 

           3) Usando as diagonais que partem de um único vértice, quantos triângulos são formados em um:

                                 a) Triângulo?

                                 b) Um quadrilátero?

                                 c) Um Pentágono?

           4) Observando o item anterior (3), podemos afirmar que existe uma relação entre o número de triângulos e o número de lados? Se existir, qual é?

 

Comentário: Espera-se que os alunos observem que existe uma relação entre o número de lados (n) e a quantidade de triângulos (t) dos polígonos e que, essa quantidade, é dada por t=n–2.

 

Professor, representando o número de triângulos por “t” e o número de lados por “n”, peça aos alunos que escrevam uma sentença matemática que represente a relação encontrada.

 

Padrão de resposta esperada: Espera-se que os alunos cheguem a equação: t = n – 2.

             5) Sabendo que o quadrado possui quatro ângulos retos, qual é a soma dos seus ângulos internos?

             6) Qual é o valor da soma dos ângulos internos de um triângulo?

             7) Qual é o valor total do resultado das somas dos ângulos internos de todos os triângulos encontrados no quadrado? Qual é a relação entre esse total e a soma dos ângulos internos do quadrado?

             8) Quantos triângulos foram traçados no pentágono?

             9) Qual é o valor total do resultado das somas dos ângulos internos de todos os triângulos encontrados no pentágono? Qual é a relação do valor encontrado com a soma dos ângulos internos do pentágono?

           10) Analisando os itens 5 a 9, é possível perceber a relação entre o número de triângulos formados pelas diagonais que saem de um único vértice e a soma dos ângulos internos de um polígono? Qual é?

 

Comentário: Espera-se que os alunos observem que existe uma relação entre o número de triângulos (t) e o valor da soma dos ângulos internos de um polígono (S) e que, essa soma é dada pelo produto entre a quantidade de triângulos formada e o valor da soma dos ângulos internos de um triângulo (180º).

 

Observação: Se os alunos não conseguirem chegar à essa conclusão, use os outros polígonos e/ou outros exemplos.

 

Professor, depois de socializar e discutir o questionário peça aos alunos que escrevam a expressão que permite calcular a soma dos ângulos internos de um polígono.

 

Padrão de resposta esperada: Espera-se que os alunos cheguem à expressão S = t × 180º.

 

Explore a expressão, solicitando aos alunos que completem o quadro indicado como figura 2, completando a terceira coluna. Para a correção, tenha em mãos uma tabela igual a dos alunos traçada em papelão ou papel pardo e cole-a no quadro.

Em seguida, peça a cada dupla para que escreva nessa tabela a sua resposta e, ao final, comente e ressalte a importância da fórmula sugerindo uma situação problema.

Por exemplo:

“_ É bem difícil construirmos um polígono de 30 lados para se ver quantos triângulos obteríamos ao traçarmos as diagonais, então como determinar a soma utilizando a fórmula?”

Após conferir o quadro, junto com os alunos, pergunte-lhes se é possível encontrar o valor dessa soma (S), utilizando apenas o número de lados do polígono.

 

Comentário: Professor, deixe as duplas pensarem na solução e, caso seja necessário,  indique que existem duas expressões que podem ser utilizadas: t = n – 2 e S = t × 180º.

 

Promova um espaço para a socialização das soluções e resultados. É esperado que os alunos substituam t na equação para o cálculo de S por n – 2, isto é, espera-se algo próximo a 

                                                                

 

Promova um espaço de discussão e peça-lhes que façam um compilado das conclusões a que chegaram.

 

SEGUNDO MOMENTO

 

Professor, para essa etapa, entregue algumas situações problemas e determine um tempo para que as duplas as resolvam. Posteriormente, depois do tempo determinado, entregue as respostas e peça-lhes que corrijam as questões apresentadas. Se necessário dê dicas para essa correção.

Comentário: Ao dar o tempo para a correção, verifique se cada uma das duplas fez correção adequada.

 

Sugestões de situações problemas:

            1) Quantos lados possui um polígono cuja soma dos ângulos internos é igual a 2 340º?

            2) Qual a soma dos ângulos internos de um icoságono (20 lados)?

            3) Lili desenhou o polígono abaixo (figura 3) e não sabe determinar qual é a soma dos ângulos Ajude-a nessa tarefa. Quanto será a soma?

                                Figura 3: desenho do problema 3

                                    Fonte: Arquivo do autor.

            4) Observe o polígono inscrito na moeda de 25 centavos (figura 4):.

Figura 4: foto de uma moeda de 25 centavos

                                    

                                      Fonte: Arquivo do autor

                 Agora responda ou resolva as questões a seguir:

                              a)     Qual é o nome do polígono inscrito?

                              b)     Quantas diagonais saem de um único vértice desse polígono? Como é feito o cálculo?

                              c)     Calcule quantos triângulos podem ser formados com as diagonais saindo de um único vértice.

                              d)     Calcule o valor da soma dos ângulos internos do polígono inscrito.

 

Observação: As situações acima são exemplos que podem ser apresentadas aos alunos. O professor pode utilizá-las, modificá-las, acrescentar mais situações ou elaborar outras que achar mais conveniente.

 

Padrão de respostas esperadas para as situações problemas:

1. 15 lados (pentadecágono).
2. 3240º.
3. 3060º.
4. a) Heptágono; b) 4 diagonais; c) 5 triângulos; d) 900º.

 

TERCEIRO MOMENTO

 Entregue a cada dupla dois polígonos diferentes como na figura 5.

 

Figura 5: Exemplo de polígonos

Fonte: Arquivo do autor

Observação: Os polígonos devem ser feitos em cartolina ou em outro papel mais firme.

 

Professor, entregue a cada dupla, desenhados em uma folha de papel, dois polígonos diferentes. E, em seguida, solicite que:

1)     Recortem os ângulos externos.

2)     Colem no caderno os ângulos recortados juntando-os.

 

Questione-os:

“_ O que você observaram? Que ângulo foi formado e qual a sua medida?

Padrão de resposta esperada: Espera-se que os alunos colem os ângulos recortados e que encontrem semelhantes ao mostrado na figura 6. Espera-se também, que eles percebam que a figura formada é um ângulo de uma volta, cuja medida é 360º.

      Figura 6: Montagem de um ângulo, usando os ângulos externos.

 

                          Fonte: Arquivo do autor                     

Observação: Se necessário, pegue uma figura em tamanho maior e diferente dos que foram entregues e indique como fazer, recortando, por exemplo, um dos ângulos.

 

Solicite aos alunos que registrem a conclusão no caderno. Em seguida, entregue algumas situações problemas para serem resolvidas pela dupla.

Novamente, entregue as respostas das situações problemas e peça-lhes para corrigirem as que erraram. Se necessário dê dicas para essa correção.

Comentário: Ao dar o tempo para a correção, verifique se cada uma das duplas fez correção adequada.

 

Sugestões de situações problemas.

                   1) Qual é o polígono em que a soma das medidas dos ângulos internos é o quádruplo da soma das medidas dos ângulos externos?

                   2) A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é 720º. Descubra quanto mede cada um dos seus ângulos internos.

 

Padrão de respostas esperadas para as situações problemas:

                    1) Decágono.                                                             2)  260º

 

QUARTO MOMENTO

 

Entregue uma cartolina para dupla e peça para os alunos construírem e recortarem um polígono de 11 lados e de 12 lados. A seguir, solicite que calculem o número de triângulos e a soma dos ângulos internos e externos de cada um deles e que verifiquem o resultado no desenho.

O professor pode utilizar como recurso os livros:  “Brincando com Origami”,  de Antônio Carlos Genova”, e “Os poliedros de Platão e os Dedos da Mão”, de Nilson José Machado, que fornecem textos interessantes sobre polígonos e atividades estimuladoras que podem, inclusive, ser inseridas em aula.

Para trabalhar com o livro “Os poliedros de Platão e os Dedos da Mão”, o professor pode ainda utilizar a sequência didática, fornecida pelo recurso disponível em  <http://sites.aticascipione.com.br/ap/paradidaticos/vivendo_matematica/poliedros/poliedros.htm>, acesso em 15 de out. 2013. Nesse recurso, o aluno pode clicar, no índice, sobre os capítulos do livro. Com essa ação ele é redirecionado e poderá ler sobre o tema, responder questões e resolver problemas. Esse recurso também aborda outros assuntos que poderão ser explorados pelo professor.

A avaliação deverá ser feita de modo contínuo, cumulativa e sistemática em todo o processo. Deve-se observar a participação efetiva do aluno em dupla e individualmente em todas as atividades propostas.

O professor poderá também, adotar como critério para avaliação:

• O desempenho do aluno nas atividades em dupla.
• A motivação em apresentar suas respostas para a turma.
• A seriedade para a correção dos exercícios.
• A criatividade na construção dos polígonos de 11 lados e de 12 lados.

 

Bibliografia

 

MACHADO, N.J.Os poliedros de Platão e os dedos da mão. São Paulo: Editora Scipione, 1996.(Coleção Vivendo a Matemática).

GENOVA, A. C. Brincando com Origami - Aprendendo com Dobraduras.  7. ed.  São Paulo: Editora Global,  2002.