20/10/2013
Márcia Aparecida Mendes, Angela Cristina dos Santos, Antomar Araújo Ferreira
Modalidade / Nível de Ensino | Componente Curricular | Tema |
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Ensino Fundamental Final | Matemática | Álgebra |
Ensino Fundamental Final | Matemática | Espaço e forma |
Para desenvolver as competências da área 2 da matriz do ENEM, que é utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela, especificamente em em seu H7 - identificar características de figuras planas ou espaciais, é esperado para essa aula os seguintes objetivos:
Para o desenvolvimento da aula o aluno deve, como pré requisito, saber
A AULA
Professor, divida a turma em duplas, e em seguida, entregue para cada aluno da dupla uma folha contendo desenhos de um triângulo, um quadrilátero, um pentágono, um hexágono, um heptágono, um octógono, um eneágono e um decágono, conforme figura 1 e outra folha contendo um quadro como o mostrado na figura 2,abaixo.
Após a entrega das folhas, dê a seguinte instrução aos alunos da classe:
Figura 1: Modelo da folha contendo as figuras geométricas.
Fonte: Arquivo do autor.
Observação: Professor, se possível amplie as figuras melhorando a visualização para os alunos.
Figura 2: Modelo do quadro a ser utilizado na atividade
Polígonos |
Número de lados |
Número de triângulos |
Soma dos ângulos internos |
Triângulo |
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Quadrilátero |
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Pentágono |
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Hexágono |
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Heptágono |
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Octógono |
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Eneágono |
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Decágono |
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Polígono de n lados |
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Fonte: Arquivo do autor
Professor, durante essa atividade acompanhe as duplas, argumentando e questionando-as para que os alunos possam perceber as similaridades. Posteriormente, entregue o questionário a seguir:
1) Quantas diagonais podem ser traçadas usando apenas um vértice de um quadrilátero? E de um pentágono?
2) Analisando o item anterior, podemos afirmar que existe uma relação entre o número de diagonais e o número de lados? Se existir, qual é?
Comentário: Espera-se que os alunos observem que existe uma relação entre o número de diagonais que saem de apenas um vértice dos polígonos (d) e o seu número de lados (n) e que essa relação é dada pela diferença entre o número de lados e três.
Professor, representando as diagonais por “d” e o número de lados por “n”, peça aos alunos que escrevam uma sentença matemática que represente a relação encontrada.
3) Usando as diagonais que partem de um único vértice, quantos triângulos são formados em um:
a) Triângulo?
b) Um quadrilátero?
c) Um Pentágono?
4) Observando o item anterior (3), podemos afirmar que existe uma relação entre o número de triângulos e o número de lados? Se existir, qual é?
Comentário: Espera-se que os alunos observem que existe uma relação entre o número de lados (n) e a quantidade de triângulos (t) dos polígonos e que, essa quantidade, é dada por t=n–2.
Professor, representando o número de triângulos por “t” e o número de lados por “n”, peça aos alunos que escrevam uma sentença matemática que represente a relação encontrada.
5) Sabendo que o quadrado possui quatro ângulos retos, qual é a soma dos seus ângulos internos?
6) Qual é o valor da soma dos ângulos internos de um triângulo?
7) Qual é o valor total do resultado das somas dos ângulos internos de todos os triângulos encontrados no quadrado? Qual é a relação entre esse total e a soma dos ângulos internos do quadrado?
8) Quantos triângulos foram traçados no pentágono?
9) Qual é o valor total do resultado das somas dos ângulos internos de todos os triângulos encontrados no pentágono? Qual é a relação do valor encontrado com a soma dos ângulos internos do pentágono?
10) Analisando os itens 5 a 9, é possível perceber a relação entre o número de triângulos formados pelas diagonais que saem de um único vértice e a soma dos ângulos internos de um polígono? Qual é?
Comentário: Espera-se que os alunos observem que existe uma relação entre o número de triângulos (t) e o valor da soma dos ângulos internos de um polígono (S) e que, essa soma é dada pelo produto entre a quantidade de triângulos formada e o valor da soma dos ângulos internos de um triângulo (180º).
Observação: Se os alunos não conseguirem chegar à essa conclusão, use os outros polígonos e/ou outros exemplos.
Professor, depois de socializar e discutir o questionário peça aos alunos que escrevam a expressão que permite calcular a soma dos ângulos internos de um polígono.
Explore a expressão, solicitando aos alunos que completem o quadro indicado como figura 2, completando a terceira coluna. Para a correção, tenha em mãos uma tabela igual a dos alunos traçada em papelão ou papel pardo e cole-a no quadro.
Em seguida, peça a cada dupla para que escreva nessa tabela a sua resposta e, ao final, comente e ressalte a importância da fórmula sugerindo uma situação problema.
Por exemplo:
“_ É bem difícil construirmos um polígono de 30 lados para se ver quantos triângulos obteríamos ao traçarmos as diagonais, então como determinar a soma utilizando a fórmula?”
Após conferir o quadro, junto com os alunos, pergunte-lhes se é possível encontrar o valor dessa soma (S), utilizando apenas o número de lados do polígono.
Comentário: Professor, deixe as duplas pensarem na solução e, caso seja necessário, indique que existem duas expressões que podem ser utilizadas: t = n – 2 e S = t × 180º.
Promova um espaço para a socialização das soluções e resultados. É esperado que os alunos substituam t na equação para o cálculo de S por n – 2, isto é, espera-se algo próximo a
Promova um espaço de discussão e peça-lhes que façam um compilado das conclusões a que chegaram.
Professor, para essa etapa, entregue algumas situações problemas e determine um tempo para que as duplas as resolvam. Posteriormente, depois do tempo determinado, entregue as respostas e peça-lhes que corrijam as questões apresentadas. Se necessário dê dicas para essa correção.
Comentário: Ao dar o tempo para a correção, verifique se cada uma das duplas fez correção adequada.
Sugestões de situações problemas:
1) Quantos lados possui um polígono cuja soma dos ângulos internos é igual a 2 340º?
2) Qual a soma dos ângulos internos de um icoságono (20 lados)?
3) Lili desenhou o polígono abaixo (figura 3) e não sabe determinar qual é a soma dos ângulos Ajude-a nessa tarefa. Quanto será a soma?
Figura 3: desenho do problema 3
Fonte: Arquivo do autor.
4) Observe o polígono inscrito na moeda de 25 centavos (figura 4):.
Figura 4: foto de uma moeda de 25 centavos
Fonte: Arquivo do autor
Agora responda ou resolva as questões a seguir:
a) Qual é o nome do polígono inscrito?
b) Quantas diagonais saem de um único vértice desse polígono? Como é feito o cálculo?
c) Calcule quantos triângulos podem ser formados com as diagonais saindo de um único vértice.
d) Calcule o valor da soma dos ângulos internos do polígono inscrito.
Observação: As situações acima são exemplos que podem ser apresentadas aos alunos. O professor pode utilizá-las, modificá-las, acrescentar mais situações ou elaborar outras que achar mais conveniente.
Entregue a cada dupla dois polígonos diferentes como na figura 5.
Figura 5: Exemplo de polígonos
Fonte: Arquivo do autor
Observação: Os polígonos devem ser feitos em cartolina ou em outro papel mais firme.
Professor, entregue a cada dupla, desenhados em uma folha de papel, dois polígonos diferentes. E, em seguida, solicite que:
1) Recortem os ângulos externos.
2) Colem no caderno os ângulos recortados juntando-os.
Questione-os:
“_ O que você observaram? Que ângulo foi formado e qual a sua medida?
Figura 6: Montagem de um ângulo, usando os ângulos externos.
Fonte: Arquivo do autor
Observação: Se necessário, pegue uma figura em tamanho maior e diferente dos que foram entregues e indique como fazer, recortando, por exemplo, um dos ângulos.
Solicite aos alunos que registrem a conclusão no caderno. Em seguida, entregue algumas situações problemas para serem resolvidas pela dupla.
Novamente, entregue as respostas das situações problemas e peça-lhes para corrigirem as que erraram. Se necessário dê dicas para essa correção.
Comentário: Ao dar o tempo para a correção, verifique se cada uma das duplas fez correção adequada.
Sugestões de situações problemas.
1) Qual é o polígono em que a soma das medidas dos ângulos internos é o quádruplo da soma das medidas dos ângulos externos?
2) A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é 720º. Descubra quanto mede cada um dos seus ângulos internos.
Padrão de respostas esperadas para as situações problemas:
1) Decágono. 2) 260º
Entregue uma cartolina para dupla e peça para os alunos construírem e recortarem um polígono de 11 lados e de 12 lados. A seguir, solicite que calculem o número de triângulos e a soma dos ângulos internos e externos de cada um deles e que verifiquem o resultado no desenho.
O professor pode utilizar como recurso os livros: “Brincando com Origami”, de Antônio Carlos Genova”, e “Os poliedros de Platão e os Dedos da Mão”, de Nilson José Machado, que fornecem textos interessantes sobre polígonos e atividades estimuladoras que podem, inclusive, ser inseridas em aula.
Para trabalhar com o livro “Os poliedros de Platão e os Dedos da Mão”, o professor pode ainda utilizar a sequência didática, fornecida pelo recurso disponível em <http://sites.aticascipione.com.br/ap/paradidaticos/vivendo_matematica/poliedros/poliedros.htm>, acesso em 15 de out. 2013. Nesse recurso, o aluno pode clicar, no índice, sobre os capítulos do livro. Com essa ação ele é redirecionado e poderá ler sobre o tema, responder questões e resolver problemas. Esse recurso também aborda outros assuntos que poderão ser explorados pelo professor.
A avaliação deverá ser feita de modo contínuo, cumulativa e sistemática em todo o processo. Deve-se observar a participação efetiva do aluno em dupla e individualmente em todas as atividades propostas.
O professor poderá também, adotar como critério para avaliação:
Bibliografia
MACHADO, N.J.Os poliedros de Platão e os dedos da mão. São Paulo: Editora Scipione, 1996.(Coleção Vivendo a Matemática).
GENOVA, A. C. Brincando com Origami - Aprendendo com Dobraduras. 7. ed. São Paulo: Editora Global, 2002.
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