• Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais, conforme competência da área 1 da matriz de referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM;
• Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações - naturais, inteiros, racionais ou reais, conforme habilidade H1 da matriz de referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM;
• Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas, conforme habilidade H4 da matriz de referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM.

Conhecer a tabuada da multiplicação.

A presente sugestão de aula se configura como uma proposta para introdução ou como processo de intervenção didática no ensino e aprendizagem do algoritmo da multiplicação, pois não raro, o professor depara-se com erros dos alunos como o representado na ilustração a seguir (Figura 1).

Comumente, conforme aponta Oliveira (1999/2000, p. 173), este algoritmo é a forma como “é ensinado e cobrado dos alunos dos primeiros anos do Ensino Fundamental, em praticamente todas as escolas existentes em nosso país”. Porém, este mesmo autor, aponta que “a História da Matemática nos mostra que, ao longo dos tempos, a operação de multiplicação foi realizada de diferentes maneiras” (OLIVEIRA, 1999/2000, p. 174).

Coaduna-se com o entendimento de Oliveira (1999/2000, p. 174), assim,

Entendemos que o trabalho com outros algoritmos, utilizados no passado, valoriza a Matemática enquanto conhecimento social e permite ao aluno a comparação com aqueles que já conhece, seja identificando diferenças e semelhanças, seja percebendo as vantagens e desvantagens de cada um dos dispositivos de cálculo. Isto, com certeza, favorece uma melhor compreensão dos conteúdos permitindo que, numa dada operação o aluno escolha o algoritmo que considere mais adequado, mais interessante e, enfim, aquele com que tenha mais afinidades.

Dessa forma, sugere-se ao professor trabalhar com o método de cálculo da multiplicação, provavelmente, “desenvolvido pelos indianos e, da Índia, parece ter sido levado à China e à Arábia. [...] . Nos séculos XIV e XV alcançou a Itália e ali recebeu o nome de gelosia” (Barco, 1992).

Antes de demonstrar o método da gelosia, retome a multiplicação dos fatores iniciais: 13 x 15 e questione os alunos:

- Quais são as ordens numéricas dos fatores dessa multiplicação?

Comentário: Professor, caso necessário, permita que os alunos discutam entre si e exponham suas considerações. Espera-se que os alunos considerem que as ordens numéricas dos fatores da multiplicação são as ordens das unidades e das dezenas.

Em seguida, peça para que os alunos escrevam um dos fatores, horizontalmente, com um espaço entre as ordens numéricas e o outro fator, deve ser escrito, verticalmente, em ordem decrescente, de acordo com as ordens numéricas. Assim, os alunos deverão registrar os números conforme ilustrado a seguir (Figura 2):

A seguir, solicite que os alunos completem o quadro completando o desenho como se fosse uma malha quadriculada, conforme ilustrado a seguir (Figura 4).

Depois de completar a malha, peça aos alunos que tracem as diagonais dos quadrados em branco de forma a ultrapassar os limites dos quadrados, assim, os discentes terão uma construção como a representada na figura 5.

Após a identificação das ordens numéricas, da construção do quadro, da malha e das diagonais, inicie o processo multiplicativo. Solicite que os alunos registrem o produto da multiplicação de cada um dos algarismos no quadrado correspondente ao cruzamento de linha por coluna da malha desenhada. Esclareça, também, que as diagonais servem para separar os algarismos que venham a compor o resultado. Caso o produto seja formado por apenas um algarismo a parte superior da diagonal deve ser completada com zero, como no caso, da multiplicação de 1 x 3, demonstrado a seguir (Figura 6).

Assim, os alunos devem preencher todos os espaços da malha quadriculada desenhada com o produto dos algarismos correspondentes ao cruzamento da linha por coluna da malha desenhada, conforme figura 7.

Após o preenchimento da malha com o produto dos algarismos correspondentes, os alunos devem somar os valores que se encontram registrados em cada diagonal. Oriente os alunos a registrarem o resultado na extremidade inferior da diagonal, conforme demonstrado a seguir (Figura 8).

Comentário: Professor, caso seja utilizado outro exemplo em que a soma dos valores nas diagonais seja maior que uma dezena, deve-se realizar as trocas necessárias, assim, deve-se operar normalmente, como o “vai um”. Porém, aconselha-se a não utilizar esta expressão em sala de aula, pois conforme constata Beline (2010, p.6), essas expressões “muitas vezes são utilizadas de forma automática e recorrente, sem devida preocupação ou reflexão sobre seu sentido no processo operacional em estudo”. Um exemplo desse processo será abordado posteriormente.

Buscando refletir sobre o sentido no processo multiplicativo, propõe-se questionar os alunos:

- Ao multiplicar 5 x 3, com qual ordem numérica estamos operando?

- Quais são as ordens numéricas que compõem o produto de 5 x 3?

Comentário: A expectativa é que os alunos percebam que ao realizar esta multiplicação, opera-se a ordem das unidades. E o produto é formado por 5 unidades e 1 dezena.

Professor, questione ainda:

- Ao multiplicar unidade com unidade, quais ordens numéricas podem compor o resultado?

Comentário: Espera-se que os alunos intuam que ao multiplicar unidade com unidade, as ordens possíveis para o produto são a unidade ou a dezena. Caso os alunos tenham dificuldade no entendimento do questionamento, o professor pode realizar outros questionamentos, como por exemplo: o produto de unidade por unidade pode compor uma centena? No produto de unidade por unidade, o resultado pode ser um número formado apenas por unidade? No produto de unidade por unidade, o resultado pode ser um número formado por unidade e dezena? Aconselha-se, também, a questionar a multiplicação das demais ordens: unidade com dezena, dezena com dezena.

O objetivo dos questionamentos é levar os alunos a compreenderem o processo multiplicativo de acordo com as ordens numéricas, fazendo com que os alunos realizem a previsão das ordens dos produtos, evitando-se, assim, ao multiplicarem unidade com dezena, que registrem o resultado como unidade. Dessa forma, consigam perceber o erro apresentado no início da presente proposta de aula. Julga-se importante que o professor permita a discussão entre os alunos e que estes, exponham suas considerações.

Solicite, então, que os alunos identifiquem as ordens numéricas do resultado obtido e registre como demonstrado na figura a seguir (Figura 9).

Comentário: Professor, aproveite o momento para instigar a curiosidade dos alunos sobre este procedimento de cálculo, apresentando o método de Gelosia como processo histórico do desenvolvimento do conhecimento matemático. Pode-se, ainda, solicitar que os alunos realizem uma busca sobre esse processo e elaborem uma exposição para ser apresentada à turma, inclusive, buscando explicações de por que o método funciona.  

Como atividade final, o professor pode apresentar outras multiplicações para serem realizadas utilizando o método. O professor, pode, também, aumentar o nível de dificuldade propondo números com mais ordens numéricas: tais como: 45 x 87; 127 x 69; 367 x 842.

Para aplicação do método de gelosia com trocas de ordens numéricas, como exemplo, sugere-se realizar a multiplicação de 54 x 27, como demonstrado a seguir (Figura 10):

Verifica-se, no exemplo, que ao somarmos as dezenas, o resultado é maior do que 10 dezenas, pois: 8 + 2 + 5 = 15 dezenas. É importante, nesse momento, questionar os alunos sobre qual troca pode-se realizar com o resultado obtido. O questionamento visa levar os alunos a perceberem que 10 dezenas podem ser “trocadas” por 1 centena. Dessa forma, tem-se 1 centena e 5 dezenas, por isso o “vai-um”, conforme destacado na ilustração a seguir (Figura 11):

ENRIQUEÇA SUA AULA

Como recurso enriquecedor desta proposta de aula, indica-se uma abordagem posterior do método de gelosia articulado com o algoritmo convencional e o material dourado. Para isso, pode-se explorar o vídeo apresentação do método de gelosia articulado ao algoritmo convencional da multiplicação, buscando relacionar as duas formas de cálculo para facilitar a compreensão dos alunos na aprendizagem dos alunos  dos métodos de cálculo do processo multiplicativo. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=mjln1zzn52U&feature=youtu.be>. Acesso em: 03 nov. 2013.

O professor pode, ainda, sugerir que os alunos utilizem o jogo online do "Nunca dez". Disponível em: <http://www.educacaodinamica.com.br/games/jogo_educacional.asp?jogo=Nunca10>. Acesso em: 03 nov. 2013. Acredita-se que esse jogo pode favorecer a compreensão da estrutura organizacional do sistema de numeração decimal.

Referências

Recomenda-se como recurso complementar, a leitura do artigo “História da Matemática: Algoritmos da Multiplicação” de autoria de Guilherme Saramago de Oliveira, onde o autor aborda procedimentos de cálculo da multiplicação utilizados no passado, tais como: o método egípcio; o método gelosia; a técnica camponesa; entre outros. Aconselha-se, ainda, o vídeo sobre o método de gelosia, em que o autor explica passo a passo como aplicar o método.

Outro recurso disponível na Internet que pode ser utilizado pelo professor é o jogo sobre multiplicação, disponível em: <http://www.escolovar.org/mat_multiplicacao_missingdigits.swf>. Acesso em: 02 nov. 2013. Neste jogo, o professor pode escolher o tipo de multiplicação, se unidade com unidade, dezena com unidade, além da possibilidade de se optar por fatores da ordem das centenas por dezenas, inclusive escolhendo os algarismos das ordens numéricas. Após a escolha da opção, o endereço apresenta uma multiplicação em que há algarismos “desconhecidos” e o objetivo é escolher o algarismo para completar corretamente a multiplicação. Após a definição do algarismo outro cálculo é apresentado. Os acertos são apresentados na cor verde em um contado na parte inferior da página, os erros são representados na cor vermelha.

O professor pode, ainda, articular o método de gelosia com o algoritmo convencional e o material dourado como proposta para construção dos significados no processo multiplicativo. Para isso, recomenda-se elaborar a presente proposta de aula articulada com a proposta intitulada de “O Material Dourado e a construção de significados para o algoritmo da multiplicação de números”, disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=50470>. Acesso em: 30 out. 2013.

Recomenda-se no processo de avaliação que o professor observe o interesse, a motivação e o envolvimento dos alunos na realização das atividades, na discussão e emissão de opinião durante os questionamentos propostos.

O professor pode, ainda, adotar como critério avaliativo formal a aplicação do método de gelosia dos alunos que pode ser recolhida para que o professor observe se os objetivos pretendidos foram alcançados.

É importante que todo o processo avaliativo possibilite ao professor perceber se os objetivos pretendidos inicialmente foram alcançados e quais as mudanças necessárias a serem adotadas em situações semelhantes.