• Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais, conforme competência da área 1 da matriz de referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM;
• Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações - naturais, inteiros, racionais ou reais, conforme habilidade H1 da matriz de referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM;
• Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas, conforme habilidade H4 da matriz de referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM. 

 

1 a 2 horas/aulas (50 minutos cada)

Conhecer a tabuada da multiplicação.

Sugere-se que a presente proposta de aula seja aplicada para introdução ou como processo de intervenção didática no processo de ensino e aprendizagem do algoritmo usual da multiplicação. A expectativa é que a abordagem proposta facilite o entendimento dos alunos ao operar a multiplicação com números com mais de uma ordem numérica. Dessa forma, sugere-se ao professor trabalhar com o método de cálculo da multiplicação denominado de gelosia concomitantemente com o algoritmo usual.

Para que os alunos se familiarizem com o método de cálculo de gelosia, aconselha-se ao professor a leitura e uma possível aplicação da aula “O método de gelosia como algoritmo da multiplicação de números naturais”. Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/verAula.html?aula=53678>.

 

Para iniciar a aula proponha a multiplicação 13 x 15.

Em seguida, questione os alunos:

 

- Quais são as ordens numéricas dos fatores dessa multiplicação?

- Quais são os valores correspondentes aos algarismos dos fatores dessa multiplicação?

 

Comentário: Professor, caso necessário, permita que os alunos discutam entre si e exponham suas considerações. Espera-se que os alunos considerem que as ordens numéricas dos fatores da multiplicação são as ordens das unidades e das dezenas. E que os valores dos algarismos correspondem, no caso do número 13, a 1 dezena e 3 unidades, assim, uma dezena corresponde a 10 unidades. Da mesma forma, o número 15 corresponde a 1 dezena e 5 unidades.

 

Em seguida, peça aos alunos que escrevam um dos fatores, horizontalmente, com um espaço entre as ordens numéricas e o outro fator, deve ser escrito, verticalmente, em ordem decrescente, de acordo com as ordens numéricas. Concomitantemente, solicite que os alunos “armem” o cálculo usando o algoritmo usual. Assim, os alunos deverão registrar os números conforme ilustrado a seguir (Figura 1): 

 

Posteriormente, oriente os alunos a desenharem quadrados em torno dos algarismos no método de gelosia e, ainda, que identifiquem as ordens numéricas de cada algarismo nos dois procedimentos: unidades (U), dezenas (D), centenas (C), unidades de milhares (Um) e assim, sucessivamente. Deste modo, os algarismos serão organizados de forma a facilitar a construção de um quadro, conforme ilustrado a seguir (Figura 2):

 

A seguir, solicite que os alunos completem o quadro completando o desenho como se fosse uma malha quadriculada, conforme ilustrado a seguir (Figura 3).

 

Depois de completar a malha, peça aos alunos que tracem as diagonais dos quadrados em branco de forma a ultrapassar os limites dos quadrados e no algoritmo usual que tracem linhas verticais para separar as ordens numéricas, assim, os discentes terão uma construção como a representada na figura 4.

  

Buscando refletir sobre a compreensão do processo multiplicativo, propõe-se questionar os alunos:

 

- Ao multiplicar 5 x 3, com qual/is ordem/ns numérica/s estamos operando?

- Ao multiplicar U por U, quais são as possibilidades de ordens numéricas do produto?

 

Comentário: A expectativa é que os alunos percebam que ao realizar esta multiplicação, opera-se a ordem das unidades e apontem como possibilidades das ordens numéricas, ao multiplicar unidade por unidade, a Unidade e/ou a Dezena.

 

Na sequência, solicite que os alunos identifiquem as possíveis ordens numéricas do produto na malha construída, conforme ilustrado a seguir (Figura 5).

 

Comentário: Recomenda-se que a identificação das ordens numéricas na malha seja acompanhada pelo professor, com questionamentos que levem os alunos a compreenderem a estrutura organizacional do sistema de numeração decimal. Para isso, sugere-se inquirir os alunos com perguntas, tais como: Ao multiplicarmos U x U, o resultado pode ser da ordem das Centenas? Quais os maiores valores que se pode operar na ordem das Unidades? Espera-se com estes questionamentos que os alunos percebam que os maiores valores possíveis para operar na ordem das Unidades é 9 x 9 e, portanto, o maior produto é 81, não composto por nenhuma centena. Perguntas dessa natureza podem ser realizadas para a identificação das ordens numéricas do quadro em malha do método de gelosia. Acredita-se que a compreensão das possíveis ordens numéricas dos produtos se torna mais fácil se os alunos perceberem a projeção cartesiana, linha por coluna, do método da gelosia e a identificação das ordens numéricas do resultado na parte inferior da malha quadriculada.

 

Após os procedimentos anteriores, questione os alunos:

 

- Quais são as ordens numéricas que compõem o produto de 5 x 3?

 

Comentário: Espera-se que os alunos considerem que o produto, 5 x 3, seja composto por 1 dezena e 5 unidades.

 

Dessa forma, solicite que registrem o produto de 5 x 3, na malha e no algoritmo usual, observando as suas ordens numéricas (Figura 6).

 

Depois, questione aos alunos:

 

- Quais são as ordens numéricas que compõem o produto de 5U x 1D?

 

Comentário: Espera-se que os alunos considerem que o produto, 5 x 1, seja composto por 5 dezenas.

 

Novamente, solicite o registro o produto de 5U x 1D, na malha e no algoritmo usual, observando as suas ordens numéricas (Figura 7).

 

Professor, chame a atenção dos alunos para o espaço em branco na parte superior da diagonal na malha quadriculada. Acredita-se que seja oportuno, para reforçar a compreensão dos alunos, que o professor questione porque o espaço ficou em branco e com qual valor ele pode ser preenchido. Confia-se que os alunos ponderem que o espaço em branco está relacionado à ordem das Centenas e que o produto de 5U x 1D, não tem nenhuma Centena, e assim, o espaço pode ser preenchido com o valor zero e que no algoritmo usual pode-se acrescentar a ordem das centenas, conforme ilustrado a seguir (Figura 8).

 

 

A seguir, questione aos alunos:

 

- Quais são as ordens numéricas que compõem o produto de 1D x 3U?

 

Comentário: Espera-se que os alunos considerem que o produto, 1 x 3, seja composto por 3 dezenas.

 

Dessa forma, os alunos devem registrar conforme ilustrado a seguir (Figura 9).

 

Depois, instigue os alunos com as seguintes questões:

 

- Ao multiplicar 1 x 1, com qual/is ordem/ns numérica/s estamos operando?

- Ao multiplicar D por D, quais são as possibilidades de ordens numéricas do produto?

 

Comentário: Acredita-se que os alunos apontem que as possibilidades das ordens numéricas do produto de D por D, podem gerar resultados da ordem das Dezenas, Centenas e/ou das Unidades de milhar. Para subsidiar esta discussão, o professor pode suscitar questões, tais como: Quais ordens numéricas podem ser obtidas multiplicando D por D? Qual a ordem numérica obtida operando-se com os menores valores das Dezenas? E como os maiores valores? Assim, espera-se que os alunos indiquem que os menores valores que podem ser operados na ordem das dezenas é 10 x 10 e o maior é 99 x 99, assim, os resultados possíveis, 100 e 9801, podendo, assim, obter valores da ordem das Centenas e das Unidades de milhar.

 

Portanto, acredita-se que os alunos avaliem que o produto 1 D x 1 D é 1 C, pois 10 x 10 = 100 e, ainda, no algoritmo usual pode-se acrescentar a ordem das Unidades de milhar. Assim, registrem conforme ilustrado a seguir (Figura 10).

 

 

Para calcular o resultado da multiplicação, basta somar os valores registrados em cada ordem numérica. Assim, obtém-se (Figura 11):

 

Comentário: Professor, aproveite o momento para instigar a curiosidade dos alunos sobre este procedimento de cálculo, apresentando o método de Gelosia como processo histórico do desenvolvimento do conhecimento matemático. Pode-se, ainda, solicitar que os alunos realizem uma busca sobre esse processo e elaborem uma exposição para ser apresentada à turma, inclusive, buscando explicações de por que o método funciona.

 

Como atividade final, o professor pode apresentar outras multiplicações para serem realizadas utilizando o método. O professor, pode, também, aumentar o nível de dificuldade propondo números com mais ordens numéricas: tais como: 45 x 87; 127 x 69; 367 x 842.

 

Para aplicação do método de gelosia com trocas de ordens numéricas, como exemplo, sugere-se realizar a multiplicação de 54 x 27, como demonstrado a seguir (Figura 12):

 

Verifica-se, no exemplo, que ao somarmos as dezenas, o resultado é maior do que 10 dezenas, pois: 8 + 2 + 5 = 15 dezenas. É importante, nesse momento, questionar os alunos sobre qual troca pode-se realizar com o resultado obtido. O questionamento visa levar os alunos a perceberem que 10 dezenas podem ser “trocadas” por 1 centena. Dessa forma, tem-se 1 centena e 5 dezenas, por isso o “vai-um”, conforme destacado na ilustração a seguir (Figura 13).

 

Comentário: Aconselha-se a não utilizar a expressão “vai-um” em sala de aula, pois conforme aponta Beline (2010, p. 6), essas expressões “muitas vezes são utilizadas de forma automática e recorrente, sem devida preocupação ou reflexão sobre seu sentido no processo operacional em estudo”.

 

 

 

ENRIQUEÇA SUA AULA

 

Como recurso enriquecedor desta proposta de aula, indica-se uma abordagem posterior do método de gelosia articulado com o método prático do algoritmo usual convencional e o material dourado. Para isso, pode-se explorar o vídeo apresentação do método de gelosia articulado ao algoritmo convencional da multiplicação, buscando relacionar as duas formas de cálculo para facilitar a compreensão dos alunos na aprendizagem dos alunos dos métodos de cálculo do processo multiplicativo. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=mjln1zzn52U&feature=youtu.be>. Acesso em: 03 nov. 2013.

 

Recomenda-se, como recurso complementar, a leitura do artigo “História da Matemática: Algoritmos da Multiplicação” de autoria de Guilherme Saramago de Oliveira, onde o autor aborda procedimentos de cálculo da multiplicação utilizados no passado, tais como: o método egípcio; o método gelosia; a técnica camponesa; entre outros. Aconselha-se, ainda, o vídeo sobre o método de gelosia, em que o autor explica passo a passo como aplicar o método.

Outro recurso disponível na Internet que pode ser utilizado pelo professor é o jogo sobre multiplicação, disponível em: <http://www.escolovar.org/mat_multiplicacao_missingdigits.swf>. Acesso em: 02 nov. 2013. Neste jogo, o professor pode escolher o tipo de multiplicação, se unidade com unidade, dezena com unidade, além da possibilidade de se optar por fatores da ordem das centenas por dezenas, inclusive escolhendo os algarismos das ordens numéricas. Após a escolha da opção, o endereço apresenta uma multiplicação em que há algarismos “desconhecidos” e o objetivo é escolher o algarismo para completar corretamente a multiplicação. Após a definição do algarismo outro cálculo é apresentado. Os acertos são apresentados na cor verde em um contado na parte inferior da página, os erros são representados na cor vermelha.

O professor pode, ainda, articular o método de gelosia com o algoritmo convencional e o material dourado como proposta para construção dos significados no processo multiplicativo. Para isso, recomenda-se elaborar a presente proposta de aula articulada com a proposta intitulada de “O Material Dourado e a construção de significados para o algoritmo da multiplicação de números”, disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=50470>. Acesso em: 30 out. 2013.

Recomenda-se no processo de avaliação que o professor observe o interesse, a motivação e o envolvimento dos alunos na realização das atividades, na discussão e emissão de opinião durante os questionamentos propostos.

O professor pode, ainda, adotar como critério avaliativo formal a aplicação do método de gelosia dos alunos que pode ser recolhida para que o professor observe se os objetivos pretendidos foram alcançados.

É importante que todo o processo avaliativo possibilite ao professor perceber se os objetivos pretendidos inicialmente foram alcançados e quais as mudanças necessárias a serem adotadas em situações semelhantes.

 

 

Referências

 

BELINE, W. Análise de conteúdo e os sentidos do procedimento “vai um” na operação de adição para formandas em pedagogia. In: ENCONTRO DE PRODUÇÃO CINENTÍFICA E TECNOLÓGICA, 5., 2010, Campo Mourão. Anais... Campo Mourão: FECILCAM, 2010. Disponível em: <http://www.fecilcam.br/nupem/anais_v_epct/PDF/ciencias_exatas/02_BELINE.pdf>. Acesso em: 03 nov. 2013.