Esta aula busca desenvolver as competências das áreas 2, 3 e 5 da Matriz de Referência de Matemática e sua Tecnologias do ENEM, que são respectivamente:

 

• Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.

• Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

• Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.

 

Mais especificamente, desenvolver as habilidades de:

 

• Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma (H8).
• Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas (H12).
• Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação (H22).

 

Para isto são propostos para essa aula os seguintes objetivos:

 

• Construir relações entre o número de pedaladas e o comprimento percorrido pela roda;
• Construir quadros que representem as relações entre quantidade de pedaladas e giros da coroa e roda traseira;

2 horas/aula de 50 minutos

Construção de quadros para representar relações;

Comprimento da circunferência: conceito e cálculo;

       Funções polinomiais de grau 1: conceito, imagem e domínio.

Além dos recursos geralmente presentes em sala de aula, como a lousa, será necessária a régua e um computador com projetor. Caso seja possível, é interessante que essa aula seja desenvolvida no laboratório de informática. Trazer uma bicicleta até a sala de aula também seria interessante para verificar em tempo real as medidas e movimentos.

 

A aula

 

Professor(a), essa é uma aula que estenderá as discussões sobre a aula  “Pedaladas e as marchas das bicicletas”, em que busca trabalhar algumas funções envolvidas com o tema. Para tanto sugerimos que, antes de continuar a leitura, consulte o link: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=56414 (acesso 16 jul. 2014).Como pode perceber, um dos últimos questionamentos envolve a relação entre a quantidade de giros da coroa dianteira e traseira. Vimos que um giro da coroa dianteira de raio R implica em uma determinada quantidade de giros da coroa traseira de raio r. Temos que,

 

 

Quadro 1: Coroas, giros e comprimentos

 

Coroa	Comprimento	Quantidade de giros	Comprimento total
Coroa dianteira	2.π.R	n	n.2.π.R
Coroa traseira	2.π.r	?	?

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Retomando a resolução, podemos nos perguntar, quantas vezes o comprimento da coroa menor cabe no comprimento da coroa maior, para isso basta dividirmos:

 

 

Obtendo R/r.

 

Leve os(as) alunos(as) a concluírem que ao completar n voltas, a coroa dianteira, por meio da corrente, faz com que a coroa traseira gire, n.(R/r) vezes.

 

Sugerimos questionamentos de respostas rápidas, do tipo: dado que R = 6 cm e r = 3 cm, quantas voltas a roda traseira irá completar ao dar 2 pedaladas, ou seja, quando a coroa dianteira completar duas voltas?

 

Nessa aula, pretendemos construir a função que relaciona a distância percorrida pela bicicleta com a quantidade de pedaladas (giros da coroa dianteira). Portanto, professor(a), após visualizar a aula que indicamos inicialmente, pondere por ministrá-la aos estudantes, ou por destacar alguns tópicos com os mesmos.

 

COMENTÁRIO: A partir desse momento, solicite que os(as) alunos(as) façam as anotações, de maneira organizada, em folhas destacadas, para que, posteriormente, possa  recolhê-las para avaliação.

 

Inicie questionando aos estudantes:

 

 

- Quando a coroa traseira completa um giro, quantos giros a roda traseira completa?

 

Resposta esperada: A coroa e a roda traseira são circunferências concêntricas, portanto a quantidade de giros deve ser a mesma.

 

 

- A partir dessa resposta, tente obter uma relação matemática que expresse a quantidade de giros da roda em função da quantidade de giros da coroa traseira.

 

COMENTÁRIO: Incentive as discussões entre os(as) estudantes.

 

Resposta esperada: Podemos considerar os giros da roda como uma função g, tal que g(k) = k, sendo k a quantidade de giros da coroa traseira.

 

COMENTÁRIO: Aproveite as discussões para trazer a tona a ideia de domínio e imagem dessa função, para que se possa defini-la totalmente. Para isso questione:

 

 

- A quantidade de giros da coroa é limitada?

 

Resposta esperada: Não.

 

 

- A coroa pode girar uma quantidade de vezes representada por um número decimal?

 

Resposta esperada: Sim, por exemplo, 0,5.

 

 

Siga com mais uma pergunta.

 

 

- Faz sentido cogitarmos uma quantidade de giros negativa?

 

Resposta esperada: Faz sentido desde que consideremos que alguém empurrou a bicicleta para trás. No entanto, o usual é que a quantidade de giros inicia-se no zero, quando ainda não foi dada nenhuma pedalada.

 

COMENTÁRIO: Aproveite ao máximo esse questionamento, pois ele pode se tornar polêmico. Discuta a ideia de que a bicicleta não possui marcha ré, que pode ser empurrada para traz, mas que essa é uma possibilidade que pode ser desconsiderada, pois não é usual. Além disso, não temos distância negativa.

 

Como podemos ver, a quantidade de giros da coroa representa o domínio da função, além disso, percebemos que essa quantidade pode assumir qualquer valor a partir do zero. Logo questione:

 

 

- Qual o conjunto representa o domínio dessa função?

 

Resposta esperada: O conjunto dos números reais não negativos.

 

Siga com mais um questionamento para determinar o conjunto imagem.

 

 

- O conjunto imagem é determinado pelos resultados de g(k). Vimos que a roda e a coroa giram a mesma quantidade de vezes e que g(k) = k é justamente a quantidade de giros da roda em função da quantidade de giros da coroa traseira. Portanto, determine o conjunto imagem dessa função.

 

Resposta esperada: A partir de todas as características citadas, a análise para a imagem é a mesma do domínio, portanto, o conjunto imagem é na verdade todo o conjunto dos números reais não negativos.

Observadas as respostas, é possível concluir a lei de formação da função com domínio e imagem definidos. Com isso, exemplifique rapidamente essa lei de formação por meio de um quadro:

 

 

Quadro 2: Função g(k) = k

Giros da coroa traseira (k)	Giros da roda (g(k) = k)	Par ordenado (k,g(k))
k = 0	g(0) = 0	(0,0)
k = 0,2	g(0,2) = 0,2	(0,2 , 0,2)
k = 2	g(2) = 2	(2,2)
k = 7,43	g(7,43) = 7,43	(7,43 ,7,43)

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Professor(a), terminada essa etapa, retorne à discussão que envolve a relação entre a quantidade de giros da coroa dianteira e traseira. Concluímos inicialmente que, quando a coroa dianteira gira n vezes, a traseira gira n.(R/r) vezes.

 

 

- Solicite aos estudantes que, com base nessas conclusões, escrevam a lei de formação para a função que relaciona a quantidade de giros das duas coroas.

 

Resposta esperada: A quantidade de giros da coroa traseira (h(n)) em função dos giros da coroa dianteira pode ser escrito na forma h(n) = n.(R/r), tal que “R” e “r” são constantes que representam, respectivamente, o raio da coroa maior e da menor.

 

OBSERVAÇÃO: Veja que “R” e “r” são constantes que pertencem a um conjunto que contém os raios das coroas maiores e menores de diversos modelos e marcas de bicicletas, ou seja, podem mudar conforme a bicicleta escolhida, bem como conforme a marcha desejada.

 

 

- A partir dessa resposta solicite que os(as) estudantes formalizem o conjunto domínio e imagem da função.

 

Resposta esperada: Ambos os conjuntos são formados por números reais não negativos, pois o raciocínio é o mesmo empregado na relação entre os giros da coroa e roda traseira.

 

 

- Por fim, solicite a construção de um quadro. Escolha as medidas dos raios das coroas e construa um quadro como fizemos anteriormente.

 

OBSERVAÇÃO: Os valores dos raios abaixo são fictícios, no entanto é interessante obter as medidas reais de uma bicicleta que se possa levar para a sala de aula.

 

Resposta esperada: Dado que R = 8 cm e r = 4 cm temos, h(n) = n.(R/r) = n.(8/4) = 2.n

 

 

Quadro 3: Função h(n)

Giros da coroa dianteira (n)	Giros da coroa traseira (h(n) = 2.n)	Par ordenado (n, h(n) = 2.n)
n = 0	h(0) = 2.0 = 0	(0 , 0)
n = 0,2	h(0,2) = 2.0,2 = 0,4	(0,2 , 0,4)
n = 2	h(2) = 2.2 = 4	(2 , 4)
n = 7,43	h(7,43) = 2.7,43 = 14,86	(7,43 , 14,86)

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Inicie a última parte da aula, que culmina na questão problematizadora: encontrar uma função que relacione o número de pedaladas com a distância percorrida.

 

Questione sobre a relação entre o número de giros da coroa dianteira e da roda traseira. É possível relacionar diretamente a quantidade de pedaladas com o número de giros da roda traseira?

 

COMENTÁRIO: Deixe os(as) estudantes dialogarem. Caso ninguém manifeste alguma ideia, lembre-os de que temos a coroa traseira fazendo essa ligação: Coroa dianteira que se liga à coroa traseira, que por sua vez é concêntrica à roda traseira.

 

Resposta esperada: Sim, a relação é possível de ser expressa em uma função. Acompanhe o raciocínio.

 

• Vimos inicialmente que, a coroa e roda traseira são concêntricas, portanto, quando a coroa traseira gira k vezes a roda traseira também o faz. Obtivemos g(k) = k.

• Temos também que, ao girar a coroa dianteira n vezes a coroa traseira gira n.(R/r) vezes. Obtivemos h(n) = n.(R/r).

• Usamos como base o fato que a pedalada é o giro da coroa dianteira que, por meio da corrente, gira a coroa traseira que por sua vez gira a roda traseira.

• A partir dessas três configurações concluímos que ao girar n vezes a coroa dianteira, a roda traseira irá girar n.(R/r) vezes, que por sua vez transfere essa quantidade de giros para a roda traseira (pois são concêntricas). Daí, é possível construir a lei de formação:

                        p(n) = n.(R/r),

              tal que p(n) é a função desejada, ou seja, que relaciona a quantidade de pedaladas com quantidade de giros da roda.

 

 

Por fim, o desafio da aula:

 

- Com a lei de formação p(n) determine a distância percorrida pela bicicleta em função do número de pedaladas.

 

COMENTÁRIO: Essa atividade pode ser colocada como desafio. Determine um tempo para que os(as) estudantes possam formular um raciocínio e solicite que coloquem na folha em destaque. Recolha a folha e resolva na lousa.

 

A ideia é que basta multiplicar a quantidade de giros da roda pelo seu comprimento. Logo, dada uma roda de raio R’, tem-se o comprimento como 2.π.R’. Multiplicando pela quantidade de giros da roda, é possível escrever uma nova função D(n) = n.(R/r).2.π.R’.

 

Espera-se que, com essa aula, os(as) alunos(as) possam ter percebido mais situações em que verificam a matemática em nosso cotidiano. A Modelagem Matemática, a partir das funções, pode surgir em diversos momentos em sala de aula como proposta de ensino. Entende-se que construir um modelo matemático, tal como essa aula sugere, é uma maneira interessante de aproximar os(as) estudantes dos estudos acerca de matemática.

Comprimento e Área do Círculo

http://www.youtube.com/watch?v=iii3RHotIkI. Acesso 05 jul. 2014.

Feita de maneira continua ao longo da aula, a avaliação deve envolver a participação dos(as)alunos(as). O(a) professor(a) deve recolher os registros dos cálculos e respostas aos questionamentos propostos em aula.