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Sequências e Progressões Aritméticas presentes em situações cotidianas – parte 2

 

18/08/2014

Autor e Coautor(es)
MARIO LUCIO ALEXANDRE
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UBERLANDIA - MG ESC DE EDUCACAO BASICA

Angela Cristina dos Santos, Antomar Araújo Ferreira, Kelen Cristina Pereira de Souza

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Médio Matemática Números e operações
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula

A fim de desenvolver as competências das áreas 1 e 6 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que são, respectivamente:

 

  • Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
  • Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.

 

Mais especificamente, busca avaliar as habilidades:

 

  • Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem (H2).
  • Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos (H3).
  • Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos (H25).

 

Para isso são propostos para essa aula os seguintes objetivos:

 

  • reconhecer os padrões que regem uma sequência, mais especificamente no caso de uma progressão aritmética (P.A.);
  • fazer inferências de resultados futuros a partir de uma P.A;
  • calcular termos quaisquer de uma P.A.
Duração das atividades
1 a 2 horas/aula de 50 minutos
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno
  • Operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão).
  • Organização de dados em quadros.
  • Sequências.
Estratégias e recursos da aula

A aula

 

Essa aula, como seu próprio título indica, representa a continuidade da aula Sequências e Progressões Aritméticas presentes em situações cotidianas – parte 1, disponível no Portal do Professor no endereço http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=57046 (acesso em 16 ago. 2014).

 

Professor(a), esta parte caracteriza-se pelo estudo das progressões aritméticas. Para iniciar as explicações sugerimos que seja apresentado aos estudantes um novo exemplo, para só em seguida formalizarmos o conceito de progressão aritmética.

 

Uma sugestão é apresentar o seguinte exemplo, onde você professor deve pedir aos alunos que montem o quadro:

 

Com o objetivo de juntar dinheiro para comprar um notebook, uma pessoa resolve economizar R$ 50,00 de seu salário todo mês, guardando o dinheiro em casa. Assim, o saldo ao final de cada mês poderia ser expresso conforme o quadro a seguir:

 

 

Quadro 1: Valor economizado

Mês

Valor (em reais)

1º mês

R$ 50,00

2º mês

R$ 100,00

3º mês

R$ 150,00

.

.

.

.

.

.

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Agora questione os(as) alunos(as):

 

- O que pode-se observar com o saldo à medida que os meses vão passando?

 

Padrão de resposta esperada: Pode-se observar, de acordo com o quadro 1, que a cada mês que passa o saldo do dinheiro guardado está aumentando.

 

Professor(a), para que os(as) alunos(as) possam interpretar o que está acontecendo nessa situação faça os seguintes questionamentos a eles:

 

- Como saber o saldo ao final do 2º mês?

 

Padrão de resposta esperada: Espera-se que os alunos(as) respondam que somou o saldo do 1º mês anterior com os R$ 50,00 que foi guardado no 2º mês.

 

- E para saber o saldo ao final do 3º mês, qual foi o cálculo utilizado?

 

Padrão de resposta esperada: Novamente, espera-se que os(as) estudantes respondam que somou o saldo do 2º mês com os R$ 50,00 que entrou no 3º mês.

 

- Como escrever os dados da tabela de modo a representar uma sequência, em que possa saber o saldo ao final de cada mês?

 

Padrão de resposta esperada: Relembrando as escritas das sequências apresentadas nas aulas anteriores, o resultado aqui esperado é (R$ 50,00; R$ 100,00; R$ 150,00; ...), ou simplesmente, (50; 100;150; ...)).

 

Após obter a sequência que se refere à situação do exemplo, ressalte o conceito formal dos termos, ou seja, quem é o a1, a2, a3, e assim sucessivamente. Assim teremos:

 

 

 

Em seguida, faça mais alguns questionamentos:

 

- Como descobrir o saldo ao final do 11º mês?

 

Padrão de resposta esperada: Alguns alunos poderão tentar fazer os cálculos até encontrar o valor no 11º mês, contudo a ideia é apenas analisar como o cálculo deverá ser feito e não o resultado em si. Assim, uma possível resposta seria somar o saldo do 10º mês com os R$ 50,00 que entraria no 11º mês.

 

- Observando os valores presentes na sequência podemos afirmar que ela está crescendo, decrescendo ou permanecendo constante?

 

Padrão de resposta esperada: A resposta desejada será que os valores estão crescendo.

 

- Qual é o padrão que está sendo seguido nesta sequência, ou seja, como os valores estão se modificando?

 

COMENTÁRIO: Professor(a), caso seja necessário, relembre o padrão que foi descoberto na sequência dos anos das edições da copa do mundo.

 

Padrão de resposta esperada: Espera-se que o(a) estudante responda que o padrão da sequência é aumentar de 50 em 50.

 

- Se os valores estão aumentando de 50 em 50 reais, então se você souber que ao final do 15º mês o saldo era de R$ 750,00, é possível calcular qual o saldo do mês anterior, ou seja, do 14º mês?

 

COMENTÁRIO: Este é um dos questionamentos mais importantes até o momento, pois será possível verificar se o(a) aluno(a) compreendeu os questionamentos anteriores, ou seja, se ele conseguiu entender que a sequência possui valores crescentes e que estes valores crescem de 50 em 50 reais. Assim, ele conseguirá encontrar o valor do 14º mês que será de R$ 700,00, realizando a operação de subtração entre o valor do 15º mês e os 50 reais que entraram neste mesmo mês.

 

Padrão de resposta esperada: R$ 750,00 – R$ 50,00 = R$ 700,00

 

Após concluir os questionamentos inicie a parte de formalização do conteúdo de progressões aritméticas, ainda utilizando o exemplo anterior. Informe aos alunos(as) que a sequência estudada no exemplo anterior se trata de uma progressão aritmética, uma vez que ela possui todas as características necessárias para assim ser classificada.

Em seguida, questione:

 

- Mas, quais são essas características?

 

Exponha-as aos estudantes:

 

  • Ser uma sequência.
  • Possuir um padrão numérico que é seguido ao longo de toda a sequência. No caso do exemplo anterior, o padrão é aumentar de 50 em 50.
  • O padrão a ser seguido poderá ser obtido calculando a diferença entre um termo (a partir do 2º termo disposto na sequência) e seu sucessor. No exemplo pode-se utilizar o valor do 3º termo - 150 - e subtrair do valor do 2º termo - 100 -, assim o resultado encontrado - 50 -  confere com o padrão utilizado para formar a sequência.

 

Sintetize, após os comentários que, em outras palavras, pode-se afirmar que uma Progressão Aritmética, que também pode ser chamada de P.A., é:

 

“a sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma constante r ao termo anterior.” (Disponível em http://www.infoescola.com/matematica/progressao-aritmetica/ . Acesso 11 ago. 2014)

 

Continue tecendo os comentários, tais como sobre a constante citada. Enfatize que a constante é chamada de razão, que também pode ser representada pela letra ‘r’. Logo, no exemplo da compra do notebook a razão é o valor R$ 50,00. Foi constatado que os valores da sequência estavam crescendo, pois a cada novo termo aumentava-se 50 reais, que representava também a razão (r) da P.A. Assim, é possível afirmar que a P.A é CRESCENTE, e essa conclusão é comprovada também pelo valor da razão. Em suma:

 

- Se r > 0, então a P.A será CRESCENTE.

 

Porém, é importante mostrar aos alunos(as) que não existe apenas essa classificação entre as P.A’s. Uma progressão aritmética pode ser também DECRESCENTE ou ainda CONSTANTE. Sugerimos que sejam analisadas as duas situações a seguir para se verificar quando a P.A. é decrescente e quando ela é constante:

 

Situação 1:

“Ao comprarmos um determinado produto a prazo, normalmente, temos que pagar parcelas mensais durante certo tempo. O que ocorre nesse tipo de situação é que a cada parcela paga o valor da nossa dívida vai diminuindo. Consideremos então a compra de uma máquina de lavar que custa R$ 950,00 na venda a prazo, parcelada em 10 vezes. Assim, serão dez parcelas de R$ 95,00 cada.”.

Proponha a construção da sequência que representa a situação da dívida com a loja a cada mês, durante os dez meses. A sequência esperada é:

 

(950; 855; 760; 665; 570; 475; 380; 285; 190; 95; 0)

 

Nesta sequência, o valor de R$ 950,00 representa o termo a0 que significa o mês em que se realizou a compra. Sendo assim, após um mês será paga a primeira parcela da compra, logo a dívida ira diminuir para R$ 855,00, e este será o termo a1. Neste caso, os valores da  sequência estão diminuindo. Apesar de sabermos que o valor da parcela é de R$ 95,00, podemos calcular a razão da progressão conforme é afirmado na definição, ou seja, fazendo a diferença entre um termo (a partir do 2º termo) e seu antecessor. Temos então o seguinte cálculo:

 

r = 855 – 950              →        r = - 95

 

Professor(a), é importante mostrar ao estudante a atenção que se deve ter com os sinais, que, na verdade, resulta da operação entre os valores. Ao analisar apenas a razão da progressão, é justamente o sinal de menos que nos dirá que a P.A. é decrescente. Neste momento, você poderá informar aos alunos(as) que a seguinte afirmação é verdadeira:

 

Se r < 0, então a P.A será DECRESCENTE.

 

Assim, tem-se uma situação do cotidiano para exemplificar uma P.A. decrescente.”

 

Situação 2:

“Uma pessoa durante um tratamento de saúde necessita ingerir dois comprimidos de medicamento ao dia. O tratamento sugerido tem duração de 20 dias.”.

Proponha a construção da sequência que representa a quantidade de comprimidos consumidos a cada dia durante o tratamento é:

 

                        (2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2)

 

Leve os(as) alunos(as) a perceberem que os valores da progressão permanecem CONSTANTES, o que consequentemente classifica esta sequência como uma P.A. constante. Contudo, há outra forma de comprovar a classificação dessa progressão: calculando a razão, temos:

 

r = 2 – 2          →        r = 0

 

Professor(a), informe aos alunos(as) que sempre que se tratar de uma P.A. constante, o valor da razão será igual a zero. Em outras palavras temos:

 

- Se r = 0, então a P.A. é CONSTANTE.

 

Assim, conclui-se, com exemplos, as classificações de progressões aritméticas que podem existir.”

 

Após a análise desses exemplos, questione aos estudantes:

 

O que é necessário conhecer para determinar os termos de uma P.A?

 

Resposta esperada: Espera-se que os alunos(as) respondam que é preciso conhecer a razão que determina a sequência e, ao menos, um de seus termos seguido da posição que esse termo assume.

 

COMENTÁRIO: Instigue-os a chegarem a esta conclusão, para que, em seguida, seja apresentada uma generalização de como se obter um termo qualquer da progressão, ouseja, o n-ésimo termo que mencionamos nas aulas anteriores.

 

Atividade complementar - Determine a razão, o primeiro termo e o quinto termo de cada uma das progressões aritméticas. Posteriormente escreva se é uma progressão crescente, decrescente ou constante.

 

a) (-1, -1, -1, ...)

Resposta esperada: Razão igual a zero, primeiro termo igual a -1, quinto termo igual a -1. Constante.

 

b) (-12, -9, -6, ...)

Resposta esperada: Razão igual a 3, primeiro termo igual a -12, quinto termo igual a zero. Crescente.

 

c) (20, 27, 34, ...)

Resposta esperada: Razão igual a 7, primeiro termo igual a 20, quinto termo igual a 48. Crescente.

 

d) (5, 3, 2, ...)

Resposta esperada: Razão igual a -2, primeiro termo igual a 5, quinto termo igual a -2. Decrescente.

 

 

Espera-se que com essa aula o(a) estudante possa identificar uma progressão aritmética e classificá-la como crescente, decrescente e constante.

Recursos Complementares

Sequências

http://www.infoescola.com/matematica/sequencias/. Acesso 20 jul. 2014.

 

Completando os números

http://www.escolagames.com.br/jogos/completandoNumeros/. Acesso 11 ago. 2014.

 

Sequências numéricas

http://rachacuca.com.br/quiz/2562/sequencias-numericas/. Acesso 11 ago. 2014.

 

Atividades

http://www.profcardy.com/exercicios/home.php?id=1058. Acesso 20 jul. 2014.

 

RIBEIRO, Jackson. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia. São Paulo: Scipione, 2010. 385 p.

Avaliação

O processo de avaliação poderá ocorrer em todas as aulas, mediante a participação e o envolvimento dos alunos. Ao final de cada um dos dois momentos, pode ser proposto aos alunos(as) a resolução de atividades avaliativas. Outra sugestão de avaliação é a aplicação de um teste que resume os conceitos estudados nas aulas.

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