A fim de desenvolver as competências das áreas 1 e 6 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que são, respectivamente:

 

• Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
• Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.

 

Mais especificamente, busca avaliar as habilidades:

 

• Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem (H2).
• Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos (H3).
• Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos (H25).

 

Para isso são propostos para essa aula os seguintes objetivos:

 

• reconhecer os padrões que regem uma sequência, mais especificamente no caso de uma progressão aritmética (P.A.);
• fazer inferências de resultados futuros a partir de uma P.A;
• identificar a função de cada variável na fórmula do termo geral da P.A;
• calcular termos quaisquer de uma P.A.

1 a 2 horas/aula de 50 minutos

Operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão);

Organização de dados em quadros;

Sequências;

Noção de progressão aritmética.

Esta aula representa a continuidade das aulas Sequências e Progressões Aritméticas presentes em situações cotidianas – partes 1 e 2, disponíveis no Portal do Professor nos endereços:

 

• Sequências e Progressões Aritméticas presentes em situações cotidianas – parte 1: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=57046, (acesso 16 ago. 2014).

 

• Sequências e Progressões Aritméticas presentes em situações cotidianas – parte 2: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=57048, (acesso 16 ago. 2014).

 

Portanto, para alcançar os objetivos desta aula faz-se necessário trabalhar preliminarmente com as duas citadas acima.

 

A aula

 

Primeiramente, resgate a situação:

 

“A quarta edição da copa do mundo ocorreu em 1950, sendo seguida depois pelas edições de 1954, 1958, 1962, 1966, ...”.

 

Em seguida, leve os(as) alunos(as) a darem sequência ao preenchimento do quadro 2, baseado no exemplo dos anos da copa do mundo.

 

- Preencha o quadro com base na situação anterior, seguindo o modelo estabelecido.

 

 

Quadro 1: Anos das copas do mundo de futebol com base no ano anterior

Ano	Razão	Ano com base no termo anterior e na razão
1958	4	1958 = 1954 + 4

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Após o preenchimento e socialização das respostas entre os estudantes, coloque uma nova sequência indicando os termos conforme a sua posição.

 

- Dada a progressão (3, 5, 7, ...) de razão 2, observe o quadro anterior e preencha o próximo indicando os termos conforme sua posição na sequência.

 

 

Quadro 2: Sequência numérica

Posição	Representação do termo conforme a posição	Termo com base no termo anterior e na razão
1	a1	-
2	a2	5 = 3 + 2, ou seja, a2 = a1 + r
3	a3	7 = 5 + 2, ou seja, a3 = a2 + r
n

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Indague-os sobre como escrever um termo qualquer, ou seja, o n-ésimo termo, com base no que foi feito no quadro 2.

 

- Com base no que foi feito para preencher o quadro 2, como se pode escrever o n-ésimo termo (a_n)?

 

Resposta esperada: Esta generalização está na seguinte fórmula:

 

  a_n = a_n-1 + r                   (1)

 

COMENTÁRIO: Professor(a), relembre com os estudantes que o índice ‘n’ representa a posição que o termo assume dentro da sequência. Assim, o índice ‘n-1’ representa a posição anterior a ‘n’. Se necessário retome o quadro 2 observando com os estudantes o padrão encontrado.

 

Existe a necessidade de determinar uma maneira na qual não seja possível recorrer ao termo imediatamente anterior. Portanto, ampliando o quadro 2, é possível determinar uma fórmula que expresse o termo geral de uma progressão aritmética com base na quantidade de termos, no primeiro termo e na razão.

 

- De maneira semelhante ao que foi feito no quadro 2, preencha o quadro 3 com base no exemplo. Dessa vez a tentativa é escrever tudo baseado na razão e no primeiro termo.

 

 

Quadro 3: Construindo a fórmula para o termo geral da P.A.

Posição do termo	Razão	Termo anterior	Termo “atual” com base no primeiro termo
1	-	-	1954 ou seja, a1 = 1954
2	4	1954	1958 = 1954 + 4 ou seja, a2 = a1 + r
3	4	1958	1962 = 1954 + 8 = 1954 + (2 . 4) ou seja, a3 = a1 + 2.r
4	4	1966	1966 = 1954 + 12 = 1954 + (3 . 4) ou seja, a4 = a1 + 3.r
5
6
7

Fonte: Arquivo do autor

 

Depois de socializar as soluções dos estudantes para os 7 primeiros termos, questione sobre uma maneira de escrever outro, mais distante:

 

- Agora que perceberam o padrão tentem, mentalmente, pensar como o vigésimo terceiro termo poderia ser escrito.

 

Resposta esperada: 1954 + (22 . 4).

 

Esse é o momento para generalizar.

 

- Como poderíamos escrever o termo geral (a_n) em relação ao primeiro termo, à razão e à quantidade de termos?

 

Resposta esperada:

a_n = a₁ +(n-1). r            (2)

 

As fórmulas apresentadas anteriormente não restringem o uso apenas para se calcular um determinado termo da P.A. Elas também podem ser utilizadas caso se desconheça alguma das outras "variáveis", ou seja, "n", "r" ou a₁. Por exemplo, na fórmula (2), se for conhecido o termo que está na n-ésima posição (a_n), a razão (r) e o primeiro termo (a₁) é possível descobrir qual é esta posição (n). Ou então, se conhecemos a posição do termo (n), o próprio termo que está na posição (a_n) e a razão (r) se pode determinar o valor do primeiro termo da sequência (a₁).

Para verificar se os conceitos estudados nas aulas ficaram compreendidos, sugerimos algumas atividades que podem ser propostas aos estudantes.

 

Atividades Propostas:

 

1- (ENEM-2013- Adaptada) As projeções para a produção de arroz no período de 2012 – 2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.

 

Ano	Projeção da produção (t)
2012	50,25
2013	51,50
2014	52,75
2015	54,00

 

Determine a quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no ano 2021.

 

Resolução: Observe que tem-se uma progressão aritmética de razão 1,25. O período de 2012 a 2021 contabiliza 10 anos, portanto, n = 10, a₁ = 50,25, r = 1,25. Logo, pode-se concluir que:

 

a₁₀ = 50,25 +(10-1). 1,25

a₁₀ = 61,5

Total de 61,5 toneladas para o ano de 2021.

 

2- (ENEM-2011) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33.000 passagens; em fevereiro, 34.500; em março, 36.000. Esse padrão de crescimento se manteve para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?

 

A) 38.000

B) 40.500

C) 41.000

D) 42.000

E) 48.000

 

GABARITO: D

 

Resolução: Perceba que a sequência é uma progressão aritmética de razão 1500 em que o primeiro termo é 33000. Deve-se determinar o sétimo termo (julho).

 

a₇ = 33000 +(7-1). 1500

a₇ = 42000

Em julho do ano passado a empresa vendeu 42 mil passagens.

 

3- Um ciclista percorre 40 km na primeira hora; 34 km na segunda hora, e assim por diante, formando uma progressão aritmética. Quantos quilômetros percorrerá na sexta hora?

 

Resolução: Observe que o problema se caracteriza por uma progressão aritmética de razão – 6 e primeiro termo igual a 40. Pede-se o sexto termo.

a₆ = 40 +(6-1). (-6)

a₆ = 10

Na sexta hora o ciclista percorrerá 10 km.

 

 

COMENTÁRIO: Professor(a), incentive os(as) alunos(as) a não se prenderem a essas fórmulas, procurando sempre valorizar o raciocínio em primeiro lugar. Uma vez compreendido o conceito que envolve as progressões aritméticas, as fórmulas se tornam apenas um auxílio que, em alguns casos, pode até ser descartado.

 

Espera-se que essa aula tenha contribuído para minimizar a memorização de expressões e potencializar a interpretação sobre as progressões aritméticas.

Termo Geral de uma P.A.

http://soumaisenem.com.br/matematica/conhecimentos-algebricos/termo-geral-de-uma-pa. Acesso 2º jul. 2014.

 

Sequências

http://www.infoescola.com/matematica/sequencias/. Acesso 20 jul. 2014.

 

Completando os números

http://www.escolagames.com.br/jogos/completandoNumeros/. Acesso 11 ago. 2014.

 

Sequências numéricas

http://rachacuca.com.br/quiz/2562/sequencias-numericas/. Acesso 11 ago. 2014.

 

Atividades

http://www.profcardy.com/exercicios/home.php?id=1058. Acesso 20 jul. 2014.

 

RIBEIRO, Jackson. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia. São Paulo: Scipione, 2010. 385 p. 

O processo de avaliação poderá ocorrer em todas as aulas, mediante a participação e o envolvimento dos alunos. Ao final de cada um dos dois momentos, pode ser proposto aos alunos(as) a resolução de atividades avaliativas. Outra sugestão de avaliação é a aplicação de um teste que resume os conceitos estudados nas aulas.