A fim de desenvolver as competências da área 5 da Matriz de Referência Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações geométricas, bem como as habilidades de interpretação de gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H20) e ainda a utilização de conhecimentos algébricos/geométricos como recursos para a construção de argumentação (H22), é proposto como objetivo dessa aula, possibilitar ao aluno desenvolver a noção intuitiva de ponto e a percepção de que esse ente geométrico não possui dimensões.

2 horas/aula (50 minutos cada).

Noção de dimensões de uma figura plana.

Esta proposta de trabalho é continuação da aula "O GeoGebra como ferramenta para a compreensão da noção de ponto, reta e plano – parte 1: estudando a noção de plano", disponível em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=56785, acesso em 28 jul. 2014.

 

Comentário: Parte dessa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla, para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

 

O Software GeoGebra – Apresentação:

 

Nesta aula, as noções de ponto, reta e plano serão estudadas com o auxílio do software GeoGebra. Segundo Humberto José Bortolossi(s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.

O software encontra-se disponível para download no site <http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm>, acesso em 13 de abr. de 2014.

 

Figura 1: Apresentação do Software GeoGebra.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Professor(a), comece a aula questionando aos alunos sobre o que eles entendem por ponto. Podem surgir vários exemplos sobre o que seriam um ponto, a cabeça de um prego ou uma ervilha, por exemplo.

 

Apresente o quadro a seguir, comentando que as duas figuras desenhadas  é a forma com que, geralmente, se representam pontos (figura 3):

 

Figura 2: Representação de ponto.

Fonte: Arquivo do autor

 

 Em seguida questione:

 

- Comparando os dois pontos, qual deles é maior?

  Espera-se que os aluno respondam que é o ponto A.

 

Comentário:  Professor(a), caso prefira você pode solicitar que os alunos representem um ponto e continuar a aula pedindo que façam a comparação a partir de seus desenhos.

 

Comente com eles que diferenciamos estes pontos segundo seu "tamanho", se for possível comparar suas dimensões e que a discussão agora é para determinar quantas e quais são as dimensões de um ponto (comprimento, largura, altura).

 

Tome alguns dos exemplos dados pelos alunos, ou então considere a cabeça de um prego, e volte a questionar:

 

- Se olharmos a cabeça de um prego, a vários metros de distância, o que veremos?

- Ao aproximarmos, olharmos mais de perto, o que acontecerá?

- Ao olharmos muito próximos, ou com uma lupa, o que veremos?

  Espera-se que os alunos digam que, a princípio, veremos apenas um “pequeno ponto”. À medida em que aproximamos, este “ponto” vai ficando cada vez maior.

 

Questione, então:

 

- Então a cabeça de um prego pode representar pontos distintos: grandes e pequenos?

  Espera-se que essa questão gere dúvidas então, informe-lhes que, para saná-las ou  minimizá-las,  tentar-se-á visualizar a situação no plano da tela do GeoGebra.

 

Peça  aos estudantes que construam  um ponto no GeoGebra, de preferência próximo à origem (0.0). Para isto, basta selecionar a opção Novo ponto (destacado na figura 3) e então clicar sobre o local desejado (figura 4).

 

Figura 3: Construir um novo ponto.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Figura 4: Ponto A próximo à origem.

Fonte: Arquivo do autor.

 

 

Em seguida, clique com o botão direito sobre o ponto A e selecione Propriedades dos Objetos, na caixa que abrirá, escolha a guia Estilo (figura 5) e depois coloque o tamanho do ponto no mínimo.

 

Figura 5: Diminuir o tamanho do ponto.

Fonte: Arquivo do autor.

 

 

Depois de construir o ponto, peça para os alunos aproximarem a imagem (dar zoom) e logo em seguida para distanciarem. Para isso, deverão manter a tecla Ctrl pressionada e rolar o mouse para cima (aproximar) ou para baixo (distanciar). Em seguida, volte a questionar.

 

- Quando ampliamos (ou reduzimos) a imagem, o que acontece com o ponto? Ele aumenta de tamanho?

  Espera-se que os alunos percebam que ao dar zoom, a imagem é aproximada, no entanto, o ponto continua do mesmo tamanho, ou seja, suas dimensões não são alteradas.

  Com isso, os alunos devem chegar à conclusão de que o ponto não tem dimensões, ou seja, é algo que não podemos ampliar ou reduzir o tamanho.

 

Observação:  Destaque para os alunos que geralmente, utilizamos letras maiúsculas do nosso alfabeto para representar pontos (A, B, P).

 

Professor(a), a ideia apresentada ainda pode não estar clara para os alunos, assim para facilitar a continuidade da aula, oriente-os para que ocultem os eixos cartesianos – para isso, devem clicar com o botão direito sobre um deles e escolherem a opção Eixos – e colocarem esse ponto no interior de qualquer polígono e repetir o procedimento de distanciamento e aproximação das figuras. Nessa atividade, os alunos perceberão que as dimensões do quadrilátero aumentam ou diminuem, dependendo da ação, mas que o ponto desenhado permanece da mesma forma (figura 6).

 

Figura 6: Diferença entre as dimensões.

Fonte: Arquivo do autor.

 

 

Volte então a questão:

 

- Comparando os dois pontos (A e B), qual é maior?

  Espera-se que agora eles respondam que nenhum, pois eles não têm “tamanho” e que os desenhos são apenas forma de representá-los.

 

Comente com os alunos que qualquer ponto, então é ADIMENSIONAL (não possui dimensão) .

 

Atividades de contextualização.

 

1-   Dê dois exemplos de objetos que lembrem um Ponto.

 

2-   Quando você observa as situações abaixo, qual delas dá a ideia de ponto?

a)      A cabeça de um alfinete.

b)      O piso de uma sala de aula.

c)      Um grão de areia.

d)     O encontro de duas paredes.

e)      Uma corda de violão bem esticada.

 

3-   Observe as imagens a seguir e diga se representam pontos ou não, justificando:

 

Figura 7: Imagens que representam e não representam ponto.

a)                   

 

b)       

     

 

c)       

d)      

Fonte: Imagens disponíveis em:

 

a) http://anosincriveisblog.wordpress.com/2014/05/25/bola-de-gude/. Acesso em 28 jul. 2014.

b) http://ensinarevt.com/conteudos/ponto-linha/. Acesso em 28 jul. 2014.

c) http://www.ipabrac.com.br/loja/produtos/2774/prego-26-x-72-cc-emb-1-kg. Acesso em 28 jul. 2014.

d) http://www.canstockphoto.com.br/fundo-retro-madeira-t%C3%A1bua-parede-prego-11305237.html. Acesso em 28 jul. 2014.

 

Observação: Deve ficar claro para os alunos que as figuras a e d apesar de serem usadas para representarem pontos, não o definem com clareza, pois possuem dimensões.

Para complementar o estudo de pontos, retas, planos, semirretas, semiplanos, acesse os sites:

• http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/geometria/geo-basico.htm#m112a02. Acesso em 18 de jul. de 2014.
• http://www.sofazquemsabe.com/2011/11/nocoes-fundamentais-da-geometria-ideias.html. Acesso em 18 de jul. de 2014.
• http://egeom.blogspot.com.br/2011/11/pontoreta-e-plano-conceitos-primitivos.html. Acesso em 18 de jul de 2014.

A avaliação deverá ser feita de modo contínuo, cumulativa e sistemática em todo o processo, observando a participação efetiva do aluno, individualmente ou da dupla nas atividades propostas.

O professor poderá também adotar como critério para avaliação:

• O envolvimento do aluno com as atividades.
• A motivação em apresentar suas respostas para a turma.
• A seriedade para a correção dos exercícios.