Esta aula busca desenvolver as competências da área 2 da Matriz de Referência de Matemática e sua Tecnologias do ENEM, que é:

 

• Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.

 

Mais especificamente, desenvolver as habilidades de:

 

• Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.

 

Para isto são propostos para essa aula os seguintes objetivos:

 

• trabalhar as coordenadas no plano cartesiano a partir de pontos que se movimentem na janela de visualização do software GeoGebra;
• introduzir a ideia de variável utilizando a ferramenta “controle deslizante” do software GeoGebra;

2 horas/aula de 50 minutos

Relações entre elementos de dois conjuntos.

Essa aula foi desenvolvida para se passar no laboratório de informática, pois será necessário utilizar o software GeoGebra, disponível em http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/download/ (acesso 23 jul. 2014). Caso o laboratório não esteja disponível, é importante providenciar um projetor e um computador para a sala de aula.

 

A aula

 

O objetivo dessa aula é trabalhar as coordenadas no plano cartesiano a partir de pontos que se movimentem na janela de visualização do software GeoGebra. Para tanto, sugere-se inicialmente o trabalho com relações entre elementos de dois conjuntos utilizando o mesmo programa de computador. Esse tema foi abordado na aula “Funções:  construindo relações entre conjuntos no papel e no GeoGebra – Parte 1”, disponível no portal do professor no link http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=57094 (acesso 07 set. 2014). A aula citada abordou os pontos no plano, mas não menciona a ideia de par ordenado (x,y) estabelecendo a noção de coordenadas.

Essa aula será dividida em dois momentos. O primeiro lidará com a mudança das coordenadas de um ponto criado na janela de visualização a partir da mudança manual. O segundo momento contemplará a criação de controles deslizantes para gerar a movimentação do ponto.

 

 

PRIMEIRO MOMENTO: MANIPULANDO MANUALMENTE AS COORDENADAS DO PONTO

 

Antes de iniciar qualquer discussão, instrua os(as) estudantes a ativarem a exibição da malha na janela de visualização do programa. Para isso basta clicar com o botão direito sobre a janela em que se encontram os eixos coordenados e clicar na opção “Malha”.

 

 

Figura 1: Exibir malha

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Professor(a), esse momento é importante para que o(a) aluno possa testar várias possibilidades e conhecer a ideia das coordenadas. Inicie solicitando que os(as) estudantes criem um ponto, tal como (1,3).

 

- Crie o ponto (1,3).

 

COMENTÁRIO: Supõe-se que todos(as) saibam criá-lo, uma vez que já o fizeram na aula “Funções:  construindo relações entre conjuntos no papel e no GeoGebra – Parte 1”. Caso tenha optado por não utilizá-la como base, basta solicitar que digitem (1,3) no campo “Entrada” na parte inferior da tela e, posteriormente, apertarem a tecla “Enter”.

Espera-se que se obtenha a seguinte imagem (figura 2):

 

 

Figura 2: Ponto (1,3)

Fonte: Arquivo do autor

 

 

A partir daí, solicite:

 

- Crie outro ponto, de mesma altura e com um deslocamento de uma unidade para a direita. Lembre-se, você já sabe criar os pontos, tente utilizar os números digitados para resolver essa situação.

 

COMENTÁRIO: A ideia é deixar os(as) alunos(as) em um processo de tentativa e erro, modificando os valores digitados até encontrarem a solução.

 

Resposta esperada: Espera-se uma configuração como a da figura 3.

 

 

Figura 3: Segundo ponto

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Projete e socialize os resultados e introduza mais uma solicitação, com deslocamento com a quantidade de unidades que preferir para ter certeza que os(as) alunos(as) verificaram que se deve adicionar (nesse caso) as unidades junto à primeira coordenada do par ordenado, quando se quer movimentar o ponto para a direita. Feito isso, solicite:

 

- Crie outro ponto com deslocamento de 3 unidades para a esquerda do ponto A, de modo que o novo ponto tenha a mesma altura dos anteriores.

 

COMENTÁRIO: O propósito é verificar que não há problemas ao lidar com números negativos.

 

Resposta esperada: Espera-se obter uma configuração semelhante à ilustrada na figura 4.

 

 

Figura 4: Ponto com abscissa negativa

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Conclua com a turma sobre os deslocamentos para a direita ou esquerda e o efeito disso sobre os pares ordenados: a abcissa do ponto é modificada, diminuindo quando o ponto é deslocado para a esquerda e aumentando quando o deslocamento é feito para a direita. Insista sempre em observar juntamente aos estudantes as projeções desses pontos sobre os eixos “x” e “y” de modo que eles possam compreender que os números presentes nos pares ordenados têm uma relação com os eixos. Um questionamento interessante para encerrar os deslocamentos para a direita e esquerda é:

 

- O que ocorreu ao deslocar o ponto se observarmos os números da reta?

 

Resposta esperada: o primeiro número que escrevemos no par ordenado é o mesmo da reta abaixo do ponto.

 

Feito isso, inicie as indagações acerca dos deslocamentos para cima e para baixo.

 

- Já que dominamos os deslocamentos para a direita e esquerda, como poderíamos criar um novo ponto que esteja duas unidades acima do ponto A, e que se for “empurrado” para baixo acabe coincidindo com o ponto A?

 

COMENTÁRIOS:

 

• A ideia é ter uma situação em que o novo ponto permaneça na mesma abscissa de A.
• O início do primeiro momento foi constituído por tentativas que, certamente, possibilitaram mudanças na ordenada dos pontos, ou seja, supõe-se que, tanto pelas tentativas, quanto pela lógica de alteração nos pares ordenados, esse questionamento seja mais facilmente respondido.

 

Resposta esperada: Espera-se uma configuração tal como a da figura 5 (observe o ponto D).

 

 

Figura 5: Mudança na ordenada

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Instigue os(as) alunos com mais alguns questionamentos, tais como:

 

- Qual seria o par ordenado que representa um ponto exatamente 4 unidades abaixo do ponto C?

 

Resposta esperada: (-2, -1)

 

COMENTÁRIO: Caso veja a necessidade coloque mais algumas situações, de modo que ao final, toda a turma possa ter compreendido como localizar os pontos a partir de pares ordenados.

A utilização do GeoGebra para essa aula é fundamental pois o mesmo permite uma série de tentativas de se criar pontos, de modo que criar e apagar não demanda grande trabalho. Caso optasse pelo papel quadriculado o(a) estudante já teria que ter princípios sobre as localizações no plano cartesiano.

 

 

SEGUNDO MOMENTO: UTILIZANDO BARRAS DESLIZANTES PARA OS DESLOCAMENTOS DOS PONTOS

 

Esse momento tornará mais dinâmico o movimento do ponto. Também servirá como base para que em aulas futuras introduza a ideia de função, uma vez que trabalhará com variáveis.

 

Caso prefira solicite aos alunos(as) que criem novos arquivos no GeoGebra, no entanto, é perfeitamente possível continuar trabalhando com aquele utilizado no primeiro momento.

 

Solicite aos estudantes que insira um “Controle Deslizante”.

 

 

Figura 6: Controle deslizante

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Clique sobre a tela e surgirá uma janela para a configuração. Observe os campos “Nome”, “min”, “max” e “Incremento” de modo a configurá-los conforme a preferência. Sugere-se inicialmente deixar “min” como -10, “max” como 10 e o “Incremento” como 1.

 

 

Figura 7: Propriedades do controle deslizante

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Cria-se então o controle deslizante.

 

Figura 8: Controle deslizante na janela de visualização

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Saliente com os(as) alunos(as) que esse é um recurso que sozinho não influencia em nada, mas que pode ser utilizado como ferramenta para a criatividade como, por exemplo, para movimentar um ponto. No primeiro momento eles constataram que a mudança no primeiro valor do par ordenado caracterizava os movimentos para a direita e esquerda. Relembre isso e questione:

 

- E se pudéssemos fazer esse movimento sem ter que criar novos pontos?

 

Continue dizendo que o controle deslizante pode ajudar. Sugira que experimentem criar um novo ponto de altura 2 de modo que, ao invés de escreverem um número, escreverem o nome do controle deslizante no mesmo local que contataram a mudança para a direita e esquerda.

 

Caso seja necessário intervenha mostrando como escrever o novo ponto: (direitaesquerda,2). O resultado será um ponto com a abscissa que depende do valor colocado no controle deslizante.

 

 

Figura 9: Ponto E que depende do controle deslizante

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Solicite aos estudantes que movam o controle deslizante e observem o comportamento do ponto. É possível ainda alterar as propriedades do controle deslizante no que diz respeito ao “Incremento”, de modo a diminuí-lo e, posteriormente, fazer nova observação sobre o comportamento do ponto. Em seguida, proponha a seguinte atividade:

 

- Crie um ponto que se movimente na janela de visualização a partir de dois controles deslizantes, um que o mova para a direita e esquerda e outro que faça movimentos para cima e para baixo. Esses mecanismos devem ser criados em um novo arquivo para ser salvo, pois servirão de atividade para avaliação.

 

Além da atividade com fim avaliativo, pode-se deixar o seguinte desafio:

 

- Utilizando controles deslizantes crie uma forma de mover o ponto na diagonal.

 

Resposta esperada: é claro que podem surgir mais de uma forma de se concluir o desafio, no entanto, basicamente é necessário apenas um controle deslizante. Suponhamos que se crie o controle deslizante “diagonal”, basta criar um ponto do tipo (diagonal,diagonal).

 

Esperamos que essa aula possa auxiliar nos estudos dos pares ordenados e do significado que os mesmos possuem no plano cartesiano.

Controle deslizante no GeoGebra

Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=FujHk1LP57k (acesso 10 set. 2014).

Feita de maneira continua ao longo da aula, a avaliação deve envolver a participação dos(as) alunos(as). O(a) professor(a) deve salvar cópia dos arquivos do GeoGebra, bem como solicitar a entrega dos registros do desafio, sendo eles digitais ou manuscritos.