A fim de desenvolver a competência da área 5 da Matriz de Referência de Matemática e sua Tecnologias do ENEM:

 

• Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.

 

Mais especificamente, avaliar as habilidades:

 

• Identificar relações algébricas que expressem relações entre grandezas (H19).
• Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos (H20).
• Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação (H22).

 

São propostos para essa aula os seguintes objetivos:

 

• realizar cálculos do perímetro de polígonos;
• generalizar perímetro de polígonos cujos valores dos lados são desconhecidos;
• observar e representar, tanto numericamente quanto algebricamente, sequências estabelecidas;
• aguçar a curiosidade por meio da “adivinhação” de números (com base nas expressões algébricas);

1 a 2 horas/aula de 50 minutos.

• Cálculo do perímetro de polígonos.

Esta é a segunda parte da aula de introdução ao cálculo algébrico. A primeira parte está disponível no link http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=58259 (acesso 17 out. 2014) que discute a utilização de expressões algébricas como forma de generalizar o perímetro e a área do quadrado e os perímetros de alguns polígonos. A segunda parte visa continuar incentivando o estudo de expressões algébricas enquanto forma de generalizar algumas situações, culminando em uma brincadeira de adivinhação numérica.

Professor(a), inicie a aula relembrando os polígonos trabalhados na aula anterior e lance a primeira atividade, para que os(as) alunos(as) possam retomar a ideia de generalização.

 

Atividade 1: Escreva uma expressão para representar o perímetro de cada polígono abaixo.

 

 

Figura 1: Perímetro dos polígonos

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Resposta esperada: 

• Perímetro do octógono: x + 1 + x + 2 + x + 1 + x + 2 + x + 1 + x + 2 + x + 1 + x + 2 = 8 . x + 12
• Perímetro do pentágono: 2 . y + 3 . y +2 . y + 3 + 3 . y + 2 = 10 . y + 7

 

Essa atividade é relevante, pois possibilita aos alunos retomarem os conceitos estudados na aula anterior (Cálculo Algébrico – Parte 1: generalizando expressões algébricas para o perímetro e para a área).

Proponha agora atividades que auxiliarão na comparação entre representações numéricas e algébricas. Segue alguns exemplos:

 

Atividade 2: Observe a figura abaixo e complete o quadro com a representação numérica que representa o valor a ser pago pelas compras das respectivas quantidades de livros.

 

 

Figura 2: Oferta de livros

Fonte: http://3.bp.blogspot.com/_B2yYllp5ry0/TO5jF3phpAI/AAAAAAAAArM/PGsDl-OKxhQ/s1600/header_livros_9_90.jpg (acesso 09 out. 2014)

 

 

Quadro 1: Representação numérica e valor a ser pago

Quantidade de livros	Representação numérica	Valor a ser pago (R$)
1
2
3
b

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Resposta esperada: Espera-se que a representação numérica não apresente o resultado final (esse deve ser apresentado na coluna “Valor a ser pago”). Portanto, para 1 livro, a representação numérica é 1 x 9,90. E assim sucessivamente, até que para “b” livros se crie a expressão b x 9,90.

 

Atividade 3: Se cada CD de música, na promoção, custa R$ 5,50. Crie em seu caderno um quadro semelhante ao da atividade anterior que exponha o valor a ser pago na compra de 1, 2, 3, 4, 5, n CDs.

 

Resposta esperada: Essa questão é semelhante à anterior, contudo o(a) aluno deve elaborar o quadro no caderno.

 

Como atividade, para posterior avaliação, sugere-se uma pequena pesquisa sobre formas de aferir a pulsação utilizando as próprias mãos. Posteriormente, a partir da contagem por alguns segundos, preencher um quadro com tais informações e, por fim, criar uma expressão que represente a pulsação para qualquer que seja o tempo.

 

Atividade 4: Essa atividade exige muita atenção e concentração. Ela será dividida em três etapas.

 

• Etapa 1: Pesquise e registre uma ou mais formas de aferir os batimentos cardíacos (não se esqueça de registrar a fonte da pesquisa).
• Etapa 2: Com base no que pesquisou na etapa 1, execute a contagem em seu próprio corpo, contabilizando 10 segundos.
• Etapa 3: Crie uma expressão que resulte na quantidade de batimentos cardíacos para qualquer quantidade de tempo que se desejar.

 

Resposta esperada: Quantidade de batimentos registrados na etapa 2 vezes “b”, tal que “b” é a quantidade de dezenas de segundos.

 

OBSERVAÇÃO: Pode-se solicitar que a expressão seja adaptada para minutos, ou que “aceite” unidades de segundos.

 

A partir daí, é o momento de iniciar as discussões a respeito do título dessa aula, ou seja, a atividade de adivinha. No entanto, antes de propô-la, é necessário trabalhar um pouco mais as expressões algébricas, pois serão necessárias. Para tanto, inicie solicitando que os(as) alunos realizem a seguinte atividade:

 

Atividade 5: No quadro abaixo, preencha primeiramente a coluna com a representação numérica referente ao que se pede na coluna “Indicações”. Posteriormente, com base nas duas primeiras colunas, preencha a última com as respectivas representações algébricas.

 

COMENTÁRIO: Lembre-se que as indicações a partir da 3ª linha da tabela são independentes.

 

 

Quadro 2: Representações numéricas e algébricas

Indicações	Representação numérica	Representação Algébrica (generalizando)
Pensando em um número
Duas vezes o número pensado
O número pensado, mais 1 unidade
O número pensado, mais 3 unidades
O dobro do número pensado, mais 3 unidades
O triplo do número pensado, mais 2 unidades
O número pensado, mais 4 unidades
O número pensado mais o seu triplo
A metade do número pensado
A quinta parte do número pensado
O inverso do número pensado
O oposto do número pensado
O quadrado do número pensado
A soma do quadrado do número pensado com    seu triplo

Fonte: Arquivo do autor

 

 

COMENTÁRIO: Professor(a), modifique o quadro da forma que desejar, acrescentando ou retirando “indicações”. Além disso, oriente os(as) alunos(as) a preencherem primeiramente a coluna com as representações numéricas. Posteriormente, solicite que preencham a última coluna. Espera-se que alguns ou vários possam verificar que a representação algébrica é semelhante à numérica, contudo utiliza um símbolo diferente de um número, no caso uma letra, para designar um dado que não está posto.

 

Professor(a), conclua ressaltando que o propósito  da representação algébrica é escrever de uma maneira que se possa representar qualquer número pensado por qualquer dos(as) alunos(as) da turma, bastando substituir o símbolo escolhido para obter o resultado da representação numérica.

A atividade 5 coloca propostas individuais, ou seja, não gera recursivamente expressões numéricas e algébricas maiores. De fato, o propósito é iniciar por aquilo que se entende como mais simples. Concluída essa atividade, proponha a atividade 6, com um pequeno quadro no qual as expressões propostas em cada uma das linhas (a partir da segunda), depende da anterior.

 

Atividade 6: Complete as sequências abaixo.

 

 

Quadro 3: Representações numéricas e algébricas

 

Sequência	Representação numérica	Representação Algébrica (generalizando)
Pense em um número	2	m
Acrescente 5 unidades	2 + 5	m + 5
Multiplique o resultado por 2	(2 + 5) . 2	(m + 5) . 2
Junte 6 unidades	[(2 + 5) . 2] + 6	[(m + 5) . 2] + 6
Divida o resultado obtido anteriormente    por 2	{[(2 + 5) . 2] + 6} 2	{[(m + 5) . 2] + 6} 2
Subtraia o número pensado.	{[(2+5).2]+6} – 2 2	{[(2+5).2]+6} – m 2
Qual é o resultado da sequência?	{[7 . 2]+6} - 2 = 8                     2	{[(2+5).2]+6} – m 2

Fonte: Arquivo do autor

 

 

OBSERVAÇÃO: O quadro aparece preenchido para a apreciação do(a) professor(a).

 

COMENTÁRIO: Tal como anteriormente, oriente os(as) alunos(as) a preencherem primeiro a coluna com a representação numérica. Fique atento com os(as) que colocam apenas o resultado, isso comprometerá a comparação com a representação algébrica.

 

Essa atividade é importante, pois, utiliza uma sequência para criar uma expressão numérica e  apresentá-la lado a lado com uma expressão algébrica. Além disso, exercita a utilização dos parênteses, colchetes e chaves.

Proponha outras atividades nesse formato e, logo após, solicite que, em folha destacada, cada estudante crie um pequeno quadro, semelhante aos anteriores, com uma sequência. Quando todos(as) concluírem, solicite que troquem com um(a) colega para que esse(a) possa preenchê-lo. Quando concluírem, solicite que cada um(a) retorne àquele(a) que criou a sequência para a correção, sinalizando os possíveis erros. Por fim, peça que anote em cada folha o nome da dupla e as recolha. Essa será a atividade avaliativa dessa aula.

Para finalizar, proponha a adivinhação proponha a adivinhação do resultado de uma sequência de operações a partir de um número desconhecido, pensado pelo aluno. Afirme que irá proferir o resultado da sequência desenvolvida pelo(a) aluno(a), mesmo sem saber qual foi o número pensado inicialmente. Sabe-se que esse resultado é obtido pela construção e posterior desconstrução de uma expressão algébrica.

 

OBSERVAÇÃO: Caso não conheça essa brincadeira, acompanhe abaixo os passos para o momento de explicação do método.

 

Após a adivinhação construa um rascunho na lousa expondo o segredo por trás do método. Veja abaixo um exemplo:

 

 

Quadro 4: Construção da expressão

Sequência	Construção da expressão algébrica
Pense em um número	t
Adicione 3 unidades	t + 3
Dobre o resultado	(t + 3) . 2
Subtraia 1 unidade	[(t + 3) . 2] – 1 = 2.t + 5

Fonte: Arquivo do autor

 

 

Em seguida, desconstrói-se a expressão algébrica. Observe o quadro 5.

 

 

Quadro 5: Desconstrução da expressão algébrica

Sequência	Construção da expressão algébrica
Retire o dobro do número pensado	2.t + 5 – 2.t = 5

Fonte: Arquivo do autor

 

 

O resultado, a partir do número que você pensou é o número 5!

As sequências podem mudar conforme a imaginação de cada um. O importante é não deixar a pessoa com quem se faz a brincadeira perceba o método. Isso pode ser dificultado ao construir uma expressão de tamanho considerável. Além disso, a desconstrução utilizando números diferentes daqueles utilizados durante a construção é um fator que pode contribuir para a eficácia da adivinhação. Perceba que ao adicionar 3 ao número pensado, para somente então dobrar o número, contribui para que a pessoa não perceba que o dobro do número pensado pode ser contabilizado na forma 2.t, portanto, ao subtrair essa quantidade, os riscos do método ser descoberto são reduzidos.

 

COMENTÁRIO: Professor(a), esse momento pode se tornar uma atividade para ser feita com a família. Pode-se solicitar um registro da construção e desconstrução da expressão conforme for feita com os familiares.

 

Espera-se que com essa aula os(as) alunos(as) possam ter observado a álgebra como um conteúdo próximo de nosso cotidiano e  que também pode ser divertida. Além disso, com a conclusão da aula, é aguardado que os alunos se estimulem pela curiosidade, se envolvendo mais com o conteúdo apresentado. 

Brincadeiras Matemáticas – Será que motivam?

Disponível em: http://r1.ufrrj.br/novostalentos/cariboost_files/Primeiraaula.pdf (acesso 09 out. 2014).

 

Artifício para ler o pensamento

Disponível em: http://mathluiz.blogspot.com.br/2011/07/artificio-para-ler-o-pensamento.html (acesso 09 out. 2014).

O processo de avaliação poderá ocorrer em todas as etapas, mediante a participação e o envolvimento dos(as) alunos(as). Sugere-se ainda a avaliação individualizada com base nas atividades 4 e 6.