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Onde estão os juros? Parte 2

 

29/01/2015

Autor e Coautor(es)
SILENE RODOLFO CAJUELLA
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UBERLANDIA - MG ESC DE EDUCACAO BASICA

Juros simples e Compostos

Raquel Fernandes Gonçalves Machado, Edilamar Ferreira, ANTOMAR ARAUJO FERREIRA, Maísa Gonçalves da Silva, Marcia Aparecida Mendes, Gislaine Saraiva, Antomar Araújo Ferreira

Angela Cristina dos Santos; Anielle Glória Vaz Coelho

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Educação Profissional Gestão e Negócios Técnico em Operações Comerciais
Ensino Fundamental Final Matemática Números e operações
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula

A fim de desenvolver as competências da área 4 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano, são propostos para essa aula os seguintes objetivos:

  • Utilizar conceitos da matemática para analisar vantagens e desvantagens nas transações comerciais.
  • Compreender juro como uma compensação em dinheiro que se paga ou que se recebe.
  • Definir claramente os termos capital, taxa e montante, para facilitar o entendimento do conteúdo dos problemas propostos.
  • Identificar o capital, a taxa de juros e o tempo.
  • Resolver problemas envolvendo juros simples.
  • Centralizar as explicações no termo juros (compensação em dinheiro que se paga ou que se recebe).
Duração das atividades
2 horas/aula de 50 minutos
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Para a introdução do tema central “Juros Simples Comerciais, Exatos e Regra dos Banqueiros”, faz-se necessário, num primeiro momento fazer uma sondagem sobre os conhecimentos prévios dos alunos sobre a Matemática Financeira, para, em seguida, passar do senso comum para o conhecimento científico. Para isso, deve haver uma interação do aluno na construção dos conceitos.

A matemática financeira trata, em essência, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. O seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa em diferentes momentos.

A matemática financeira fornece instrumentos para o estudo e avaliação das diversas formas de aplicação de dinheiro bem como de pagamento de empréstimos.

Estratégias e recursos da aula

Sugerimos que inicie trabalhando a parte 1, disponível no portal do professor nas aulas "Onde estão os juros? Parte 1", disponível em http://migre.me/mosLK. Acesso em 21 out. 2014.

 

1º MOMENTO

Inicie a aula fazendo perguntas aos alunos, por meio de uma pesquisa, utilizando um questionário. Os alunos deverão se organizar em duplas, caso não seja possível, as atividades podem ser desenvolvidas individualmente.

 

Observações: 

1. O computador e o projetor multimídia utilizados na exibição do vídeo poderão ser empregados também para a veiculação do questionário. Nesse caso, cada aluno deverá registrar as questões em seu caderno.

2. Se não for possível utilizar o Laboratório de Informática, o professor pode também “copiar” e “colar” o Questionário no documento de um editor de texto – como, por exemplo, o software Microsoft Word – e imprimi-lo em uma transparência para exibição em um retroprojetor em sala de aula. Nesse caso, cada aluno deverá registrar as questões em seu caderno. Outra opção é entregar a cada aluno uma via impressa do questionário.

3. Se necessário, leve revistas, jornais, livros e outros materiais, onde os alunos poderão pesquisar.


Questionário de Investigação

1.    Procure no dicionário o significado da palavra JURO e registre.

2.    No seu dia a dia, onde vocês utilizam juros?

3.    Escreva uma frase contendo a palavra JUROS.

4.    Procure em revistas, jornais, livros e outros materiais, frases, manchetes ou outros textos contendo juros.

5.    Existe apenas um tipo de juro? Se não, pesquise outros e seus respectivos significados.


Comentário: Os alunos deverão responder o Questionário por escrito, registrando as respostas no caderno. Depois disso, o professor pode, para cada questão, sortear uma dupla para apresentar oralmente a resposta elaborada pela mesma. O professor deve ficar atento a possíveis equívocos, cabendo a ele, sempre que necessário, intervir ou complementar as respostas.

 

Logo após, disponibilize para os alunos, o quadro 1, contendo os conceitos de juros simples comerciais, exatos e regra dos banqueiros e discuta sobre cada um deles.

 

Quadro 1 - Juros Simples Comerciais, Exatos e Regra dos Banqueiros

Juros Simples Comerciais, ordinários ou bancários.

Nos juros simples comerciais ou ordinários, para estabelecer a conformidade entre a taxa e o período utilizam-se o ano comercial. Logo, em juros comerciais todos os meses têm 30 dias e o ano têm 360 dias, não importando o calendário civil.

 

Juros Simples Exatos

 Já os juros simples exatos apoiam-se no calendário civil para calcular o número de dias entre duas datas. Sendo que o mês segue o número de dias do calendário, e o ano civil possui 365 dias ou 366 em ano bissexto.

 

Juros Simples pela regra dos banqueiros

 Os bancos geralmente utilizam uma combinação entre os conceitos de juros comerciais e exatos, denominado juros pela regra dos banqueiros. Sendo que para calcular o número de dias entre duas datas, utiliza-se o conceito de juros exatos, ou seja, calendário civil, já para calcular o número total de dias de um ano ou mês, utiliza-se o conceito de juros comerciais, ou seja, um mês têm 30 dias e um ano têm 360 dias. Este conceito é geralmente empregado em transações financeiras de curto prazo.

Fonte: Disponível em http://migre.me/mosTn. Acesso em 01 out. 2014.

 

Após esse momento, faz-se necessário que o professor resolva algumas questões propostas como atividades de contextualização dos conteúdos. Segue abaixo um exemplo.

 

1ª questão: 

(KUHNEN, 2008) Calcular os juros ordinários, juros, exatos e juros pela regra dos banqueiros de um capital de R$ 100 000,00 aplicados de 15/07/2008 a 15/09/2008 em um banco que cobra juros simples de 30% ao ano.

a) Pelo juro ordinário ou comercial;

b) Pelo juro exato;

c) Pela regra dos banqueiros.

 

Resposta esperada:

 a)

 

 

b)

 

c)

 

2º MOMENTO

Agora, o professor apresenta o segundo tema central da aula, Juros Compostos. Para formar o conceito de juros compostos é necessário rever o sistema de capitalização simples, para que, em seguida, possa traçar um paralelo entre os dois regimes de capitalização.

No regime de juros simples o cálculo do montante no final de cada período é sempre feito em relação ao capital inicial, ou seja, o valor do juro é constante em cada período. Já o regime de juros compostos, que retrata melhor a realidade, considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao final formando o montante (capital + juros) do período. Este montante, por sua vez, passará a render juros no período seguinte formando um novo montante (constituído do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre os juros formados em períodos anteriores), e assim por diante.

Tecnicamente, o regime de juros compostos é superior ao de juros simples, principalmente pela possibilidade de fracionamento dos prazos. No critério composto, a equivalência entre capitais pode ser apurada em qualquer data, retratando melhor a realidade das operações que o regime linear.

 

Quadro 2 - Juros Compostos

O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.

Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.

 

Após três meses de capitalização, temos:

1º mês: M =P.(1 + i)

2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

Simplificando, obtemos a fórmula:

 

M = P . (1 +  i) n

 

Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.

Para calcularmos apenas os juros, basta diminuir o principal do montante ao final do período:

 

J = M - P

Fonte: Disponível em http://migre.me/mosWD. Acesso em 01 out. 2014.

    

Nesse momento, faz-se necessário que o professor resolva algumas questões propostas como atividades de contextualização dos conteúdos, por exemplo:

 

1ª questão:

Calcule o montante de um capital de R$ 6 000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.
(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)

Resposta esperada:

P = R$ 6 000,00
t = 1 ano = 12 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
M = ?

  

Usando a fórmula M=P.(1+i) n, obtemos:

M  =  6000.(1+0,035)12  =  6000. (1,035)12
Fazendo  x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:

log x = log 1,03512    =>   log x = 12 log 1,035    =>   log x = 0,1788    =>   x = 1,509

Então  M = 6000.1,509 = 9054.

Portanto o montante é R$ 9 054,00.

 

2ª questão:

Suponha que o administrador de uma fazenda investe R$ 5 000,00 numa conta de poupança com taxa anual de juros de 8%, com os juros compostos anualmente. Qual é o saldo composto depois de 5 anos?

 

3ª questão:

Um consumidor tem três opções de pagamento na compra de vestuário.
a) À vista, com 3% de desconto.
b) Em duas prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira um mês após a compra.
c) Em três prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira no ato da compra.

Qual a melhor opção para o consumidor, se o dinheiro vale, para ele, 2,5% ao mês?

 

3º MOMENTO

Para verificar se as competências e habilidades citadas no início que foram desenvolvidas o professor pode propor também atividades de contextualização dos conteúdos como:

 

1ª questão:

Ao tomar emprestada uma quantia de R$ 2 000,00, o Sr. Antônio da padaria tem duas propostas: a primeira, à taxa de 5% ao mês, durante 8 meses; a segunda, à taxa de 4 % ao mês, durante 11 meses; ambas a juros simples. Em qual das propostas o Sr. Antônio pagará menos juros pelo empréstimo? Mostre.

 

2ª questão:

Carlos adquiriu, no dia 23 de fevereiro de 2005, um aparelho de TV em cores que à vista, custava R$ 650,00. Como não tinha todo o dinheiro, pagou R$ 200,00 de entrada e assumiu o compromisso de pagar mais uma parcela de R$ 540,00, através de um boleto bancário, com vencimento 60 dias após a compra. Analise a situação e responda:

a)      Qual a taxa mensal de juros simples ordinários do financiamento?

b)      Após quanto tempo da compra deveria vencer a parcela de R$ 540,00 para que a taxa de juros simples do financiamento fosse de 2,5% ao mês?

c)       A loja descontou o título no Banco Alfa à taxa de 3,5% a.m. no regime de juros simples, 35 dias antes do vencimento. Qual foi o valor do desconto e qual o valor líquido creditado na conta da loja?

d)      Suponha que Carlos não conseguiu cumprir seu compromisso e no título estava escrito a instrução bancária “APÓS O VENCIMENTO JUROS DE MORA DE 3,0% AO MÊS E MULTA DE 0,5% SOBRE O VALOR NOMINAL DO TÍTULO”. Determine o valor pago por Carlos pelo boleto bancário, se a dívida foi quitada dia 05 de maio de 2005, supondo o regime de juros simples.

 

3ª questão:

Joaquim toma um empréstimo de R$ 1 500,00 a juros de 2% ao mês. Qual será a dívida de Joaquim três meses depois?

 

4ª questão:

Investindo seu capital a juros mensais de 2% ao mês, em quanto tempo você dobrará o seu capital inicial?

Recursos Complementares

FRANCO, Gustavo. Onde estão os juros? Veja, São Paulo, v. 1871, n. 37, p. 129, set. 2004.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Ensino Médio. São Paulo: Ática, 1999. v. 1.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília: MEC, 1999.

______. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. PCN + Ensino Médio: orientações educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais: Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília: MEC/SEMTEC, 2002.

MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2002.

MERCHEDE, Alberto. Matemática financeira: para usuários do Excel e da calculadora HP-12C. São Paulo: Atlas, 2001.

SANTOS, Pedro. Matemática financeira em multimídia. São Paulo: Estuda, 2004. 1 CD-ROM + Manual de utilização e show de exercícios.

VASCONCELOS, Flávio Carvalho de. Matemática financeira com a ajuda do computador. São Paulo: Ícone, 1987.

Avaliação

Observe o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente, na realização dos processos solicitados, sua motivação e empenho na execução das atividades e no desenvolvimento de atitudes na interação, cooperação e organização do trabalho. Sugere-se, ainda, que o professor avalie os registros das atividades propostas, inclusive do questionário. Permita que os alunos apresentem para os demais colegas suas pesquisas e avalie oralmente cada momento proposto.

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