Portal do Governo Brasileiro
Início do Conteúdo
VISUALIZAR AULA
 


Um estudo de matrizes por meio de situações cotidianas – Parte 3: somando e subtraindo matrizes e multiplicando matrizes por um escalar.

 

12/01/2015

Autor e Coautor(es)
SILENE RODOLFO CAJUELLA
imagem do usuário

UBERLANDIA - MG ESC DE EDUCACAO BASICA

Guilherme dos Santos Martins Dias, Angela Cristina dos Santos, Antomar Araújo Ferreira

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Médio Matemática Álgebra
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula

A fim de desenvolver as competências da área 6 da Matriz de Referência Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é:

  • Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação, tais como a utilização de informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências (H24);
  • A resolução de problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos (H25);
  • A análise de informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos (H26).

É proposto como objetivo para esta aula que o aluno seja capaz de somar e subtrair duas matrizes de mesma ordem e ainda multiplicar uma matriz por um escalar.

Duração das atividades
2 horas/aula (50 minutos cada).
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Conceito e ordem dematriz.

Estratégias e recursos da aula

Esta aula é continuação das aulas:

Um estudo de matrizes por meio de situações cotidianas – Parte 1: compreendendo e conceituando matriz. Disponível no portal do professor, no endereço <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=58306> (acesso em 17 nov. 2014).

Um estudo de matrizes por meio de situações cotidianas – Parte 2: classificando matrizes. Disponível no portal do professor, no endereço <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=58317> (acesso em 17 nov. 2014).

 

 

Professor(a), inicie a aula recordando com os alunos o conceito de matriz. Caso seja necessário, retome as aulas citadas anteriormente.

Após recordar o conceito, a representação e a notação de matriz e de seus elementos, apresente-os a seguinte situação:

 

SOMA DE MATRIZES.

 

SITUAÇÃO 1:

 

Uma empresa de lava jato oferece serviço a três tipos de carros: Carros pequenos, caminhonetes e vans. Estão inclusos nos serviços lavar, aspirar e encerar.  As tabelas abaixo mostram a quantidade de cada tipo de veículos que esteve no lava jato para realizar cada tipo de serviço em dois dias consecutivos de uma determinada semana.

 

 Tabela 1: Trabalho no lava jato em uma segunda-feira.

 

Carro

Caminhonete

Van

Lavar

10

3

2

Aspirar

7

3

2

Encerar

5

3

1

Fonte: Arquivo do autor

 

Tabela 2: Trabalho no lava jato em uma terça-feira.

 

Carro

Caminhonete

Van

Lavar

8

1

1

Aspirar

8

1

0

Encerar

6

0

1

Fonte: Arquivo do autor

 

Em seguida, peça para os alunos exibirem as duas matrizes que representam estes dois dias de trabalho no lava jato.

Espera-se que os alunos apresentem as seguintes matrizes:

fig1

 

Questione:

 

- Qual a ordem dessas matrizes?

Espera-se que os alunos percebam que ambas as matrizes têm ordem 3x3.

 

- Quantos carros foram lavados, ao todo, nesses dois dias?

Espera-se que os alunos percebam que foram lavados, ao todo, 18 carros.

 

­- Como este resultado foi obtido?

Espera-se que os alunos percebam que basta somar os primeiros elementos de cada matriz, isto é, os elementos  fig2 , já que estes representam os números de carros lavados na segunda e na terça, respectivamente.

 

- Quantas caminhonetes foram lavadas, ao todo, nesses dois dias?

A resposta esperada é 4.

 

- Como este resultado foi obtido?

Espera-se que os alunos percebam que basta somar os elementos  fig3 , das matrizes A e B, já que estes representam os números de caminhonetes lavadas na segunda e na terça, respectivamente.

 

- Quantas vans foram lavadas, ao todo, nesses dois dias?

A resposta esperada é 3.

 

- Como este resultado foi obtido?

Espera-se que os alunos percebam que basta somar os elementos  fig4 , das matrizes A e B, já que estes representam os números de vans lavadas na segunda e na terça, respectivamente.

 

Agora, peça para os alunos apresentarem uma matriz D, linha, que indique o número total de carros, caminhonetes e vans lavados nesses dois dias. Os alunos devem apresentar a seguinte matriz:

fig5

Em seguida, repita o processo para a quantidade de veículos aspirados e encerados. Os alunos devem apresentar as seguintes matrizes:

fig6 

 

Peça agora para os alunos construírem uma tabela indicando a quantidade de cada tipo de veículos que esteve no lava jato para realizar cada tipo de serviço nos dois dias e, em seguida, apresentarem a matriz C que represente esta tabela.

 

Espera-se que os alunos percebam que a tabela é a seguinte:

 

Tabela 3: Trabalho no lava jato na segunda e terça-feira.

 

Carro

Caminhonete

Van

Lavar

18

4

3

Aspirar

15

4

2

Encerar

11

3

2

Fonte: Arquivo do autor.

 

E a seguinte matriz:

fig7

Então questione:

 

- Qual a ordem dessa matriz?

Espera-se que os alunos vejam que esta matriz tem ordem 3x3, que é a mesma ordem das matrizes A e B.

 

- Como foi calculado o elemento fig8  ?

Espera-se que os alunos vejam que fig9 , ou seja, uma entrada de C que se encontra na linha i e coluna j, foi obtida somando as entradas de A e B que se encontram na linha i e coluna j dessas matrizes.

 

Comentário: É importante ficar claro para os alunos que, em cada um dos cálculos anteriores, os números somados representam o mesmo tipo de veículo e o mesmo tipo de serviço oferecido pelo lava jato. Dessa forma, em ambas as tabelas devem constar os mesmos tipos de veículos e os mesmos tipos de serviços, dispostos da mesma maneira na tabela. Assim, as matrizes devem ter a mesma ordem.

 

Afirme que C representa a matriz A + B e, em seguida, defina para os alunos que esta operação representa a soma das matrizes A e B.

 

A soma de duas matrizes A e B, de ordem m x n,  é uma matriz C = A + B obtida somando as entradas correspondentes das duas matrizes, isto é, fig10 . A ordem de C também será m x n.

 

Assim, a matriz soma C, resumidamente, pode ser calculada da seguinte forma:

fig11

 

 

 

Após compreenderem a soma de matrizes, apresente-lhes a seguinte situação:

 

SUBTRAÇÃO DE MATRIZES.

 

SITUAÇÃO 2:

 

João e Pedro têm contas em uma mercearia e um açougue. A tabela abaixo representa o valor que cada um deve em cada um dos estabelecimentos.

Tabela 4: Dívidas de João e Pedro.

 

João

Pedro

Mercearia

R$500,00

R$350,00

Açougue

R$350,00

R$200,00

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Certo dia, ambos foram ao açougue e à mercearia para pagar uma parte de suas dívidas. A tabela seguinte mostra o quanto João e Pedro pagaram em cada estabelecimento.

 

Tabela 5: Valores pagos por João e Pedro.

 

João

Pedro

Mercearia

R$300,00

R$250,00

Açougue

R$200,00

R$200,00

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Em seguida, peça para os alunos construírem duas matrizes que representem as duas tabelas acima. Espera-se que eles apresentem as seguintes matrizes:

  fig12

Questione:

 

- Qual a ordem dessas matrizes?

Espera-se que os alunos vejam que estas matrizes têm ordem 2x2.

 

- Quanto João ainda ficou devendo na mercearia?

Espera-se que os alunos percebam que João ainda ficou devendo R$200,00 na mercearia.

 

 - Como este resultado foi obtido?

Espera-se que os alunos percebam que como João devia R$500,00 e pagou R$300,00, ainda faltam R$200,00 para quitar a dívida.

 

Observação: Destaque para os alunos que R$500,00 é o elemento fig13  da matriz M e R$300,00 é o elemento fig14  da matriz M. Assim, o valor restante foi obtido calculando fig15.

 

- Quanto João ficou devendo no açougue?

Espera-se que os alunos percebam que João ainda ficou devendo R$150,00 no açougue.

 

- Como este resultado foi obtido?

Espera-se que os alunos percebam que como João devia R$350,00 e pagou R$200,00, ainda faltam R$150,00 para quitar a dívida.

 

Observação: Destaque para os alunos que R$350,00 é o elemento fig16 da matriz M e R$200,00 é o elemento fig17 da matriz M. Assim, o valor restante foi obtido calculando fig18 .

 

Peça agora para que os alunos construam uma matriz coluna que represente a dívida restante de João na mercearia e no açougue. A matriz que deverão apresentar é a seguinte:

fig19

 

Professor(a), repita o processo para o caso de Pedro. A matriz que deverão apresentar é:

fig20

Peça agora para os alunos construírem uma tabela, similar à tabela 4, contendo o valor das dívidas restantes de João e Pedro em cada estabelecimento. E depois a matriz que a represente.

Espera-se que os alunos apresentem a seguinte tabela:

 

Tabela 6: Dívidas de João e Pedro após pagarem uma parte da conta.

 

João

Pedro

Mercearia

R$200,00

R$100,00

Açougue

R$150,00

R$0,00

Fonte: Arquivo do autor.

 

E também a seguinte matriz:

fig21

Em seguida, questione:

 

- Qual a ordem dessa matriz?

Espera-se que os alunos vejam que esta matriz tem ordem 2x2, que é a mesma ordem das matrizes M e N.

 

- Como foi calculado o elemento fig22 ?

Espera-se que os alunos vejam que fig23 , ou seja, uma entrada de T, que se encontra na linha i e coluna j, foi obtida subtraindo as entradas de M e N que se encontram na linha i e coluna j dessas matrizes.

 

Comentário: É importante ficar claro para os alunos que, em cada um dos cálculos anteriores, os números subtraídos indicam a mesma pessoa e é referente ao mesmo estabelecimento. Dessa forma, em ambas as tabelas devem constar os mesmos estabelecimentos e as dívidas de João e Pedro. Assim, as matrizes devem ter a mesma ordem.

 

Afirme que T representa a matriz M – N e, em seguida, defina para os alunos que esta operação representa a subtração das matrizes A e B.

 

A diferença de duas matrizes A e B, de ordem m x n, é uma matriz C = A – B, obtida subtraindo as entradas correspondentes das duas matrizes, isto é, fig24 . A ordem de C também será m x n.

 

Assim, a matriz soma T, resumidamente, pode ser calculada da seguinte forma:

fig25

 

Após compreenderem a subtração de matrizes, apresente-lhes a seguinte situação:

 

MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL.

 

SITUAÇÃO 3:

 

Maria foi a uma loja de eletrodomésticos e comprou uma geladeira e um fogão e dividiu os valores em 10 parcelas. Os valores das parcelas de cada do produto está sendo representados na tabela abaixo.

 

Tabela 6: Dívidas de João e Pedro após pagarem uma parte.

 

Maria

Geladeira

R$150,00

Fogão

R$50,00

Fonte: Arquivo do autor.

Em seguida, peça para os alunos apresentarem a matriz que representa essa tabela. Espera-se que seja apresentada a seguinte matriz:

fig26

Questione:

 

- Qual o valor total da geladeira?

Espera-se que os alunos compreendam que para saber o valor total da geladeira, basta multiplicar o valor de cada parcela, pelo número total de parcelas, isto é, basta fazer 150,00 * 10 = 1500,00.

 

- Qual o valor total do fogão?

Da mesma forma, espera-se que os alunos cheguem a conclusão de que o valor do fogão é 50,00*10 = 500,00.

 

Em seguida, peça para os alunos construírem uma matriz coluna com os preços da geladeira e do fogão. Espera-se que os alunos apresente a seguinte matriz:

fig27

Então, volte a questionar:

 

- Qual a relação entre as entradas de K e H?

Os alunos devem perceber que a entrada fig28da matriz K é dez vezes a entrada fig29 da matriz H, isto é,hij .

 

Assim, apresente para os alunos a notação K = 10 x H, e defina o produto de uma matriz por um escalar.

 

O produto de uma matriz A de ordem m x n, por um número k, é uma matriz B = k x A, obtida multiplicando cada entrada de A por k.

Assim, a matriz soma T, resumidamente, pode ser calculada da seguinte forma:

fig30

 

 

ATIVIDADES DE CONTEXTUALIZAÇÃO:

 

1-      Dentre as matrizes abaixo, identifique aqueles pares em que é possível somar e subtrair, realizando estas operações quando possível.

fig31

 

 

2-      Dadas as matrizes:

fig32

Determine:

a)      A matriz D resultante dada pela operação A + B – C.

b)      A matriz M resultante dada pela operação A + B + C.

c)      A matriz N resultante dada pela operação 2A + 3B +C.

d)      A matriz O resultante dada pela operação A – 2B + 4C.

Recursos Complementares

Jogo envolvendo memória e matriz.

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/fabrica_virtual/matrizes_futebol/Matrizes_Futebol/. Acesso em 18 out. 2014.

 

Para estudo do conteúdo de matriz:

http://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes2.php. Acesso em 18 out. 2014.

Avaliação

A avaliação deverá ser feita de modo contínua, cumulativa e sistemática em todo o processo, observando a participação efetiva do aluno, individualmente ou da dupla nas atividades propostas.

O professor poderá também adotar como critério para avaliação:

  • O envolvimento do aluno com as atividades.
  • A motivação em apresentar suas respostas para a turma.
  • A seriedade para a correção dos exercícios.
Opinião de quem acessou

Duas estrelas 2 classificações

  • Cinco estrelas 0/2 - 0%
  • Quatro estrelas 1/2 - 50%
  • Três estrelas 0/2 - 0%
  • Duas estrelas 0/2 - 0%
  • Uma estrela 1/2 - 50%

Denuncie opiniões ou materiais indevidos!

Opiniões

Sem classificação.
REPORTAR ERROS
Encontrou algum erro? Descreva-o aqui e contribua para que as informações do Portal estejam sempre corretas.
CONTATO
Deixe sua mensagem para o Portal. Dúvidas, críticas e sugestões são sempre bem-vindas.