A fim de desenvolver as competências da área 6 da Matriz de Referência Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é:

• Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação, tais como a utilização de informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências (H24);
• A resolução de problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos (H25);
• A análise de informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos (H26).

É proposto como objetivo para esta aula que o aluno seja capaz de multiplicar duas matrizes.

2 horas/aula (50 minutos cada).

Conceito e ordem dematriz.

 

Esta aula é continuação das aulas:

·         Um estudo de matrizes por meio de situações cotidianas – Parte 1: compreendendo e conceituando matriz. Disponível no portal do professor, no endereço <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=58306> (acesso em 17 nov. 2014).

·         Um estudo de matrizes por meio de situações cotidianas – Parte 2: classificando matrizes. Disponível no portal do professor, no endereço <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=58306> (acesso em 17 nov. 2014).

·         Um estudo de matrizes por meio de situações cotidianas – Parte 3: somando e subtraindo matrizes e multiplicando matrizes por um escalar.

<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=58710> (acesso em 17 nov. 2014).

 

Comentário: Essa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos. Será utilizado o programa computacional Excel como recurso para esta aula.

 

Professor(a), inicie a aula recordando com os alunos o conceito de matriz. Caso seja necessário, retome as aulas citadas anteriormente.

Após recordar o conceito, a representação e a notação de matriz e de seus elementos, apresente-os a seguinte situação:

 

SITUAÇAO 1:

 

Uma empresa de lava jato oferece serviço a três tipos de carros: carro pequeno, caminhonetes e vans. Estão inclusos nos serviços lavar, aspirar e encerar.  A tabela abaixo mostra o tempo gasto (em minutos) para realizar cada um dos tipos de serviço em cada um dos diferentes automóveis.

 

Tabela 1: Tempo necessário para realizar cada serviço em cada tipo de veículo.

	Carro	Caminhonete	Van
Lavar	25	30	30
Aspirar	20	20	60
Encerar	30	30	50

 

Fonte: Arquivo do autor

 

Observação: Esta tabela pode ser construída previamente pelo professor, para ser distribuída aos alunos no inicio da aula.

 

Então, questione com os alunos:

 

Como seria uma representação matricial para este problema?

Espera-se que os alunos apresentem a seguinte resposta:

 

Peça para os alunos iniciarem o Excel e também representarem esta matriz no programa, como ilustrado abaixo.

Figura 1: Matriz A no software Excel.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Sabendo que os dias mais movimentados da semana, neste lava jato, são: segunda e terça. Em uma determinada semana, foram constatados os seguintes dados com relação ao número de veículos:

 

Tabela 2: Número de veículos na segunda e terça.

	segunda-feira	terça-feira
Carro	12	9
Caminhonete	6	7
Van	3	2

Fonte: Arquivo do autor.

 

Então, questione com os alunos:

 

Como seria uma representação matricial para este problema?

Espera-se que os alunos apresentem a seguinte resposta:

 

 

Peça para os alunos iniciarem o Excel e também representarem esta matriz no programa, como ilustrado abaixo.

Figura 2: Matriz B no software Excel.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Observação: Para facilitar o desenvolvimento da aula, é interessante que os alunos construam as matrizes numa mesma posição, pois a localização dos elementos serão utilizadas ao longo da aula.

 

Em seguida apresente as seguintes questões:

 

- Qual o tempo total gasto com LAVAGEM de CARROS na segunda-feira desta semana?

Espera-se que os alunos percebam que basta multiplicar o tempo gasto para lavar cada carro, que é 25 minutos pelo número de carros na segunda-feira, que é 12. Assim, o tempo total gasto é de 300 minutos.

 

- De acordo com as matrizes A e B, quais são os elementos que correspondem a esses valores?

 Espera-se que os alunos percebam que o tempo de lavagem de um carro está indicado como elemento    da matriz A, e o número total de carros na segunda como elemento da matriz B. Assim, o tempo total gasto com lavagens de carro na segunda-feira foi .

 

- De acordo com as matrizes construídas no Excel, quais são as células que correspondem a esses valores?

Os alunos devem identificar em quais células estão indicado o tempo gasto para lavar um carro e o número de carros lavados na segunda-feira, no caso da figura 2, são as células A2 e E2, respectivamente. Assim, o tempo total gasto com lavagens de carro na segunda-feira foi A2 * E2 = 300.

 

- Qual o tempo total gasto com LAVAGEM de CAMINHONETES na segunda-feira desta semana?

Espera-se que os alunos percebam que basta multiplicar o tempo gasto para lavar cada caminhonete, que é 30 minutos pelo número de caminhonetes na segunda-feira, que é 6. Assim, o tempo total gasto é de 180 minutos.

 

- De acordo com as matrizes A e B, quais são os elementos que correspondem a esses valores?

 Espera-se que os alunos percebam que o tempo de lavagem de uma caminhonete está indicado como elemento    da matriz A, e o número total de caminhonetes na segunda como elemento da matriz B. Assim, o tempo total gasto com lavagens de caminhonetes na segunda-feira foi .

 

- De acordo com as matrizes construídas no Excel, quais são as células que correspondem a esses valores?

Os alunos devem identificar em quais células estão indicado o tempo gasto para lavar uma caminhonete e o número de caminhonetes lavados na segunda-feira, no caso da figura 2, são as células B2 e E3, respectivamente. Assim, o tempo total gasto com lavagens de caminhonetes na segunda-feira foi B2*E3 = 180.

 

- Qual o tempo total gasto com LAVAGEM de VANS na segunda-feira desta semana?

Espera-se que os alunos percebam que basta multiplicar o tempo gasto para lavar cada van, que é 30 minutos pelo número de vans na segunda-feira, que é 3. Assim, o tempo total gasto é de 90 minutos.

 

- De acordo com as matrizes A e B, quais são os elementos que correspondem a esses valores?

 Espera-se que os alunos percebam que o tempo de lavagem de uma van está indicado como elemento    da matriz A, e o número total de vans na segunda como elemento da matriz B. Assim, o tempo total gasto com lavagens de vans na segunda-feira foi

 

- De acordo com as matrizes construídas no Excel, quais são as células que correspondem a esses valores?

Os alunos devem identificar em quais células estão indicado o tempo gasto para lavar uma van e o número de vans lavados na segunda-feira, no caso da figura 2, são as células C2 e E4, respectivamente. Assim, o tempo total gasto com lavagens de vans na segunda-feira foi C2*E4 = 90.

                                                                                                                     

- O que obtemos ao somarmos estes três resultados?

Espera-se que os alunos percebam que ao somarmos estes três valores encontrados, obteremos o tempo total gasto com lavagem na segunda-feira, que é 300 + 180 + 90 = 570 minutos.

 

Em seguida, oriente os alunos a construírem a expressão acima, no Excel. Como vimos,

• 300 = A2 * E2;
• 180 = B2 * E3;
• 90 = C2 * E4.

Assim, basta somar esses três valores, isto é,

570 = A2*E2 + B2*E3 + C2*E4.

Peça para os alunos colocarem na célula H2 a expressão = A2*E2+B2*E3+C2*E4, sem espaços, e pressionem a tecla Enter (figura 3).

 

Figura 3: Tempo total gasto para lavar todos os veículos na segunda-feira.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Então questione:

 

- Qual valor apareceu? O que ele representa?

Espera-se que os alunos percebam que o valor que aparece, 570, indica o tempo gasto para lavar todos os veículos na segunda-feira.

 

Comentário: Destaque para os alunos que este valor foi obtido multiplicando os elementos da primeira linha da matriz A, pelos elementos da primeira coluna da matriz B, na sequência em que aparecem.

 

Repita o mesmo processo para o tempo gasto para aspirar e encerar todos os veículos da segunda-feira.

Ao terminar, espera-se que os alunos tenham obtido a seguinte matriz.

 

Figura 4: Tempo total de serviço na segunda-feira.

Fonte: Arquivo do autor.

Onde as células H3 e H4 são dadas por:

• H3 = A3*E2+B3*E3+C3*E4;
• H4 = A4*E2+B4*E3+C4*E4.

 

Professor (a), repita o processo para encontrar o tempo gasto para lavar, aspirar e encerar os veículos na terça-feira.

 

Espera-se que a matriz obtida seja a seguinte:

 

Observação: Oriente os alunos a colocarem, no Excel, esta matriz ao lado da primeira matriz (de segunda-feira). Obtendo assim a matriz C representada na figura 5.

 

Figura 5: Tempo gasto com serviços na terça.

Fonte: Arquivo do autor.

 

Questione:

 

- Qual a ordem da matriz A? Qual a ordem da matriz B? Qual a ordem da matriz C?

• A matriz A tem ordem 3x3.
• A matriz B tem ordem 3x2.
• A matriz C tem ordem 3x2.

 

- O que as linhas da matriz A indicam? E o que as colunas indicam?

Espera-se que os alunos percebam que as linhas representam os tipos de serviços prestados pelo lava jato e as colunas, os tipos de veículos que são lavados.

 

- O que as linhas da matriz B indicam? E o que as colunas indicam?

Espera-se que os alunos percebam que as linhas da matriz B representam os tipos de veículos que são lavados e as colunas, representam dois dias da semana.

 

- O que as linhas da matriz C indicam? E o que as colunas indicam?

Espera-se que os alunos percebam que as linhas da matriz C representam os tipos de serviços prestados pelo lava jato e as colunas, os dias da semana.

 

Comentário: Destaque para os alunos que as colunas da matriz A e as linhas da matriz B têm a mesma função, representar os tipos de veículos que frequentam o lava jato. Assim, o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Além disso, as linhas da matriz C indicam os tipos de serviços realizados pelo lava jato, assim como as linhas da matriz A, e ainda as colunas da matriz C indicam os dias da semana, assim como as colunas da matriz B.

 

- Como foi obtido o elemento da matriz C?

Espera-se que os alunos percebam que , ou seja, multiplicamos os elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da matriz B. Dessa forma, o número de elementos em cada linha de A (que é o número de colunas de A) deve ser igual ao número de elementos em cada coluna de B (que é o número de linhas de B).

 

Afirme que C representa a matriz A * B e, em seguida, defina para os alunos que esta operação representa o produto das matrizes A e B.

 

Sendo A uma matriz de ordem m x n e B uma matriz de ordem n x p, define-se produto da matriz A pela matriz B, como sendo a matriz C, de ordem m x p, tal que cada elemento é obtido da seguinte forma:

Isto é, multiplicando os elementos da linha i de A, pela coluna j de B.

 

Comentário: É importante ficar claro para os alunos que é  possível multiplicar duas matrizes, somente quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda. E ainda, o número de linhas da matriz resultante coincide com o número de linhas da primeira e o número de colunas da matriz resultante coincide com o número de colunas da segunda.

Assim, a matriz soma C, resumidamente, pode ser calculada da seguinte forma:

 

ATIVIDADES DE CONTEXTUALIZAÇÃO:

 

1-      Resolva as seguintes expressões:

 

 

2-      Dentre as matrizes abaixo, identifique aqueles pares em que é possível multiplicar as matrizes, realizando esta operação quando possível.

 

Jogo envolvendo memória e matriz.

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/fabrica_virtual/matrizes_futebol/Matrizes_Futebol/. Acesso em 18 out. 2014.

 

Para estudo do conteúdo de matriz:

http://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes2.php. Acesso em 18 out. 2014.

 

 

Para o estudo sobre multiplicação de matrizes.

https://www.youtube.com/watch?v=ua5lqRKStrk. Acesso em 16 nov. 2014.

A avaliação deverá ser feita de modo contínua, cumulativa e sistemática em todo o processo, observando a participação efetiva do aluno, individualmente ou da dupla nas atividades propostas.

O professor poderá também adotar como critério para avaliação:

• O envolvimento do aluno com as atividades.
• A motivação em apresentar suas respostas para a turma.
• A seriedade para a correção dos exercícios.