Através da análise gráfica de funções seno e cosseno, o aluno poderá:

• compreender comportamentos periódicos;
• identificar domínios e imagens;
• verificar os efeitos da variação dos parâmetros das expressões algébricas destas funções;
• reconhecer a relação existente entre as funções seno e cosseno.

Os alunos já devem ter estudado a teoria a respeito de funções e de trigonometria. Seria interessante, ainda, que houvesse uma aula introdutória a respeito do comportamento das funções seno e cosseno na sua forma mais simples, ou seja, f(x) = sen(x) e f(x) = cos(x). Desta forma, a senóide e a cossenóide não seriam apresentadas para os alunos isentas de significado. Os conceitos de função par e de função ímpar também serão necessários.

O objetivo central desta aula é analisar graficamente o efeito dos parâmetros envolvidos nas funções seno e cosseno, isto é, os efeitos de a, b, c e d na expressão f(x) = a.sen(bx + c) + d ou na expressão f(x) = a.cos(bx + c) + d.

Esta atividade é baseada em um estudo-dirigido, que pode ser desenvolvido em um laboratório de informática com a participação direta dos alunos ou em sala de aula, tendo como mediador o professor da turma, projetando as telas necessárias e incitando a participação indireta dos alunos. Caso os exercícios sejam realizados em laboratório, o ideal é que os alunos os desenvolvam em duplas, pois o debate entre eles é uma das principais estratégias pedagógicas utilizadas. O estudo-dirigido está disponível para download no link:

www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/trigo.pdf

Caso as funções seno e cosseno não tenham sido estudadas previamente, será necessário defini-las. A seguir têm-se sugestões de definições.

As funções sen de R em R e cos de R em R são chamadas seno e cosseno e definidas, respectivamente, a partir da abscissa (x) e da ordenada (y) de um ponto da circunferência unitária. Se percorrermos sobre a circunferência unitária um dado comprimento t real, no sentido positivo (anti-horário) se t > 0 e no sentido negativo (horário) se t < 0, E(t) será o ponto atingido da circunferência unitária cujas coordenadas são x e y. Desta forma, tem-se x = cos(t) e y = sen(t).

Além da definição, também é importante destacar que as funções seno e cosseno, são periódicas, isto é, são funções para as quais existe um número T ≠ 0, tal que f(t+kT) = f(t) para todo t є R e todo k є Z. O menor número T positivo tal que isto aconteça, é chamado de período da função. No caso das funções seno e cosseno, o período é 2∏.

Sinalizamos a importância da análise gráfica para as funções seno e cosseno, uma vez que o gráfico proporciona a visualização da periodicidade das funções, dos efeitos dos parâmetros envolvidos nas expressões algébricas e da relação entre o seno e o cosseno.

A atividade 1, descrita abaixo, trata inicialmente da função seno.

O gráfico trabalhado nesta atividade se encontra na tela trigo_1, disponível para download no link:

www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/funcoes/trigo.rar

O símbolo § aparece na frente da variável x e das constantes a, b, c e d, pois o software o coloca automaticamente na frente dos identificadores.

Solicita-se que os alunos definam função par e função ímpar. Sugerem-se as seguintes definições.

Uma função é denominada par quando f(x) = f(-x) e ímpar quando f(x) = - f(x).

A atividade 2, segue o mesmo raciocínio da atividade 1, porém analisando a função cosseno. Observe a seguir.

O gráfico trabalhado nesta atividade se encontra na tela trigo_2, disponível para download no link:

http://ww w.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/funcoes/trigo.rar

Em ambas as atividades, a partir do que foi proposto, os alunos poderão avaliar as implicaçõ es da variação dos quatro parâmetros analisados, sejam elas relacionadas diretamente às alterações no traçado do gráfico, sejam relacionadas às características da função (imagem e período). É interessante solicitar aos alunos que escrevam com suas próprias palavras estas implicações. Em seguida, caso necessário, deve-se induzi-los aos seguintes resultados:

• Parâmetro a: Variação da amplitude. Altera a imagem da função.
• Parâmetro b: Variação da frequência. Altera o período da função.
• Parâmetro c: Translação horizontal. Não altera nem imagem, nem período.
• Parâmetro d: Translação vertical. Altera a imagem da função.

Para o funcionamento das telas, será necessário o software Tabulae, disponível em versão gratuita para download no link http://www.cap.ufrj.br/matematica/Material/tabulae.html, e as telas apresentadas anteriormente. Cabe destacar que não é necessário estar conectado à Internet para a realização das atividades.

O material completo está disponível para download no link:

http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/funcoes/trigo.rar

Veja também as seguintes aulas que complementam este assunto:

• Estudo de Funções no CAp UFRJ: Introdução
• Estudo de Funções no CAp UFRJ: Funções Polinomiais do 1º Grau
• Estudo de Funções no CAp UFRJ: Funções Modulares
• Estudo de Funções no CAp UFRJ: Funções Exponenciais e Logarítmicas
• Estudo de Funções no CAp UFRJ: Funções Inversas

Para iniciar o processo de avaliação, deve-se observar o trabalho dos alunos durante todo o processo. É importante que os alunos debatam os resultados com todo o grupo, critiquem e tirem suas próprias conclusões. Desta maneira, também estará sendo trabalhada a capacidade de comunicação matemática e a argumentação dos alunos.

Além disto, para uma avaliação mais completa, o professor pode abordar o comportamento gráfico e os efeitos dos parâmetros da função tangente, podendo estender ainda para as outras funções trigonométricas (secante, cossecante e cotangente). Desta forma, os alunos podem exercitar e aplicar o que foi trabalhado nas atividades.