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Análise Combinatória

 

03/01/2012

Autor e Coautor(es)
Lutécia Gasparoto
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CURITIBA - PR SANTO AGOSTINHO C E E FUND MEDIO

Marcos Paim, Ezequiel Menta

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Médio Matemática Análise de dados e probabilidade
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula

A conceituar, diferenciar e aplicar operações básicas - especialmente de Arranjo, Combinação e Permutação - realizadas no âmbito Análise Combinatória.

Duração das atividades
2 aulas de 50 minutos.
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Princípio fundamental da contagem e fatorial.

Estratégias e recursos da aula

Na apresentação do conteúdo, é importante esclarecer aos alunos sobre um dos principais usos da análise combinatória, a tomada de decisões. Uma outra aplicação da análise combinatória, presente na vida dos alunos, é a da criptografia e a utilização de senhas. Uma pergunta interessante a se fazer nesse sentido é: O que é uma senha forte? O que é uma senha fraca? Espera-se que eles cheguem a conclusão que uma senha composta de letras é mais forte do que uma composta de números.

Na análise combinatória busca-se resolver problemas sobre a possibilidade de construir arranjos de objetos para satisfazer condições específicas.

Os três tipos principais de agrupamentos são o arranjo, a permutação e a combinação. Para esta aula, o objetivo é trabalhar os agrupamentos em sua forma mais simples. Esses conceitos podem ser apresentados em sala de aula. Em uma segunda etapa será produtivo realizar atividades no laboratório de informática. Vamos aos conceitos básicos de Arranjo, Combinação e Permutação.


Arranjo Simples
Podemos calcular a quantidade possível de agrupamentos com elementos distintos de um determinado conjunto.
Começando de uma forma simples. Por exemplo o conjunto A= {1,2,3}, tomados 2 a 2. Que aranjos seriam possíveis?
(1,2), (1,3), (2,3), (2,1), (3,1), (3,2).
Vamos ver como eles poderiam ser organizados graficamente, em uma Árvore de Possibilidades:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/aulas/769/imagens/arranjosimples.jpg

Temos 3 x 2 = 6 arranjos. Assim de acordo com a notação padrão, A 3,2 = 6 .

É possível reduzir calcular rapidamente a quantidade de arranjos usando a fórmula:

A n,p =   n!  
            (n-p)!

Por exemplo, se tivermos um conjunto com 4 termos e quisermos formar arranjos de 3 a 3:

A 4,3 =    4!     = 4 x 3 x 2 x 1! = 24
             (4-3)!              1!

 

Combinação Simples
Na combinação, diferentemente do Arranjo, os agrupamentos devem ser distintos, não importando a ordem.
Observe, no mesmo exemplo usad o anteriormente.

A={1,2,3} forma os pares (1,2), (1,3) e (2,3).

Como você pode verificar, não houve par repetido. Basicamente é essa a diferença entre Combinação e Arranjo.
É possível reduzir calcular rapidamente a quantidade de combinações usando a fórmula:

C n,p =      n!    
              p!(n-p)!

Por exemplo, se tivermos um conjunto com 7 termos e quisermos formar combinações de 3 a 3:

C 7,3 =     7!      =   7 x 6 x 5 x 4!   = 35
             3!(7-3)!             3! 4!

 

Permutação Simples
Uma permutação simples são agrupamentos distintos entre si pela ordem, tomando todos os elementos do conjunto.
Podemos calcular a quantidade de permutações usando a fórmula:

P n = n!

Para calcular o valor de 4 permutações, P 4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Por exemplo, usando 4 letras diferentes para criar uma senha, teríamos 24 permutações possíveis.

Observe que é fácil confundir permutações com combinações quando entendidas no sentido do uso cotidiano na linguagem.

 

Recursos de Informática

Sugerimos fortemente o uso do seguinte objeto de aprendizagem. Além de oferecer apoio interativo ao conteúdo, apresenta aplicações no cotidiano.
Ele é oferecido nas versões Arranjo, Combinação e Permutação. Pode-se orientar o uso do recurso em etapas, acompanhadas por toda a turma ou permitir que os alunos façam explorações livres.

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/aulas/769/imagens/arranjoswf.jpg

 

Material referente ao conteúdo de Arranjo.
Disponível em: http://sites.unifra.br/Portals/17/Matematica/Arranjo/arranjo.swf

Outros materiais poderão ser localizados neste endereço http://sites.unifra.br/rived/ObjetosPedag%C3%B3gicos/Matem%C3%A1tica/tabid/428/language/pt-BR/Default.aspx

Os alunos também podem trabalhar no laboratório com o software "Combinat" que possibilita calcular rapidamente Arranjos, Combinações e Permutações.

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/aulas/769/imagens/softwcombinat.jpg

Recurso disponível em:

Recursos Educacionais
Nome Tipo
Combinat Software Educacional
Recursos Complementares

O professor pode utilizar recursos como os softwares de mapas conceituais (http://pt.wikipedia.org/wiki/Mapa_conceitual) para que os alunos criem árvores de possibilidades, uma representação gráfica que pode facilitar significativamente o entendimento dos conceitos, especialmente na etapa inicial das atividades. Uma segunda etapa desse trabalho com os mapas conceituais poderia integrar os conceitos de Arranjo, Combinação e Permutação, além de incluir alguns exemplos de cáculo em cada mapa conceitual.

Avaliação
Uma boa forma de avaliar a aprendizagem dos alunos é acompanhar a solução dos desafios e atividades disponíveis nos objetos de aprendizagem utilizados durante a aula. Para finalizar a avaliação, pode-se pedir aos alunos que preparem uma apresentação dos seus trabalhos e discutam os resultados com os colegas.
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