• Calcular a área total de um tronco de pirâmide
• Calcular o volume de um tronco de pirâmide
• Introdução ao uso do software de geometria dinâmica “Calques 3D” (livre) no processo de estudo das transformações geométricas, estimulando-se o treinamento e a familiaridade em aulas no laboratório informática.

• Cálculo de área de figuras planas
• Pirâmide
• Cálculo do volume de uma pirâmide
• Teorema de Pitágoras

          Olá Professor, apresente aos seus alunos o vídeo da aula 65 do antigo TeleCurso, caso não tenha na escola o mesmo esta disponível nos sítios abaixo. Destaque o aspecto histórico

Parte 1:
http://superdownloads.uol.com.br/templates/videos.frameset.cfm?id=lDITHlQ2Qmc&title=ANTIGO%20TELELCURSO%202000%20%20%20%2D%20%20PARTE%201  

Parte 2:
http://superdownloads.uol.com.br/templates/videos.frameset.cfm?id=fm8RBdX3dXE&title=ANTIGO%20TELECURSO%20%2D%20PARTE%202  

          Caso não seja possível, apresente o vídeo da aula 65 do Novo TeleCurso, caso não tenha na escola o mesmo esta disponível no sítio, http://novotelecurso.blogspot.com/2009/07/piramide-cone-e-esfera.html.

          Professor a parte teórica sobre o assunto esta disponível em:
               • http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide.htm#pir08  
               • http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/06/demonstracao-formula-tronco-de-piramide.html  
               • http://www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/gd_13t.php  

Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm200/icm104/images/troncopiram.gif

          Professor, para consolidar os conhecimentos teóricos visto, vamos realizar uma atividade utilizando um software de geometria dinâmica, http://www.geometriadinamica.com/, o Calques 3D, http://www.calques3d.org. Trata-se de um software de geometria espacial para se utilizado em ambiente de sala de aula, que dispõe de um conjunto de comandos de criação de objetos e de construção onde é possível marcar e medir ângulos, recuperar o histórico de uma construção, fazer macro-construções etc. O Calques 3D atende a um conjunto diverso de objetivos didáticos que contribuem para que os alunos desenvolvam seu pensamento geométrico, com destaque para atividades relacionadas de: Planejar – Explorar – Modelar – Conjecturar – Definir – Argumentar – Demonstrar. Esta disponível em  http://www.calques3d.org/download/setup.zip. Alguns exemplos de atividades que podem ser desenvolvidas com o aplicativo estão dis poníveis em http://www.calques3d.org/examples.html. No caso desta atividade, tenha instalado previamente o Calques 3D em todos os computadores do laboratório de informática. Existem alguns tutoriais, sobre o software, disponíveis em "Recursos complementares":
           Professor, vamos fazer alguns estudos da pirâmide utilizando o Calques 3D. No nosso exemplo, optamos por uma pirâmide reta regular de base quadrangular. Siga os seguintes passos:

Passo 1: Inicie o aplicativo. A janela com a área de trabalho é chamada de Universo.

Passo 2: Retirar as paredes da área de trabalho. Clique com o mouse no ícone

na segunda barra de ícones e selecione a opção “Nenhum”.

Passo 3: Acrescentado pontos.
     • No menu “Objeto”, selecione a opção “Ponto” ou clique com o mouse no ícone

na segunda barra de ícones, abaixo do menu principal. Note que apareceram as paredes para fixação dos pontos, mas logo após a fixação dos pontos, elas desaparecerão novamente. O primeiro clique a ser dado é para selecionar em qual plano será criado o ponto, clique com o mouse no plano horizontal e em seguido um segundo para fixar o ponto.

     • Clique com o mouse no ícone

na segunda barra de ícones, abaixo do menu principal ou pressione a tecla “Esc” (Tarefa padrão) e, em seguida, clique no ponto criado. Observe que no lado direito da tela, uma janela de “Atributos”. Clique no atributo “Nome” e altere no nome para A, ou seja, criamos um ponto que se chama A. Nesta janela também podemos mudar atributos como cor, visibilidade e forma do objeto.

• Para exibir o nome do ponto, no menu “Exploração” selecione a opção “Rótulo” e em seguida clique no ponto A.

  • Peça aos alunos que criem um ponto B.

Passo 4: Criando um cubo. No menu “Objeto”, selecione a opção “Volume” e em seguida a opção “Cubo” ou clique com o mouse no ícone

na segunda barra de ícones. Clique no ponto A e depois no ponto B. Será mostrada uma circunferência, clique em um ponto na mesma para definir a primeira face do cubo. Note que abaixo da área de trabalho existe uma linha com a informação da ação a ser executada.

Mova o ponto sobre a circunferência para orientar a face do cubo.

          Após clicar em um ponto da circunferência, será mostrado o cubo. Clique em

e em seguida, clique no último ponto criado, na janela “Atributos”, defina o ponto criado como ponto C. A face que contém os pontos A, B e C será considerada a base do cubo para o software. Na janela “Atributos”, altere o nome do cubo para “Cubo”, ver passo 3.

          Professor, comente com seus alunos que:
               • O cubo criado pode ser movimentado. Clique com o mouse no ícone

na segunda barra de ícones, em seguida clique e segure em no ponto A e movimente-o. Professor, peça aos seus alunos que façam a movimentação com o segundo ponto criado. Por final no terceiro ponto.
               • Abaixo da segunda barra de ícones, temos um controle deslizante,

este controle tem a função de movimentar o objeto criado na horizontal, pode-se também utilizar um atalho pressionando as setas para direita ou para esquerda. E no lado esquerdo, outro um controle deslizante na vertical (atalho pressionando as setas para cima ou para baixo). Peça aos alunos que movimentem o objeto criado, com o intuito de ambientarem com o software.
               • Podemos também movimentar toda a área de trabalho. Com a “Tarefa padrão” selecionada, pressione a tecla “Shift” e clique em qualquer local da área de trabalho e movimente-a.

Passo 5: Determinar o ponto médio da diagonal da face. No menu “Construção”, selecione a opção “Ponto médio” ou clique com o mouse no ícone

na segunda barra de ícones. Em seguida clique nos pontos A e depois no ponto C. Altere o nome do ponto para O e mostre o seu rótulo.

Passo 6: Criar uma reta perpendicular (reta normal) ao plano e que passa pelo ponto médio criado.      

• Criar uma diagonal AC da face d a base do cubo. No menu “Objeto” selecione “Segmento” ou clique com o mouse no ícone

na segu nda barra de ícones, em seguida clique no ponto A e depois no ponto B. Repita o procedimento e crie a outra diagonal da face.

     • No menu “Construção” selecione “Produto vetorial” ou clique com o mouse no ícone

na segunda barra de ícones, em seguida clique no primeiro segmento criado e depois no outro. Altere no nome da reta criada para “Eixo”, mas lembre-se, eixo é a linha que une o centro da base ao vértice da pirâmide.

     • Por questões de estética, vamos esconder as diagonais criadas. Podemos esconder um objeto de duas formas:

     1ª forma: Dê um clique sobre o segmento criado, a diagonal. Na janela “Atributos”, dê um clique duplo na propriedade “Visíveis”.

     2ª forma: Dê um duplo clique sobre o segmento criado. Aparecerá a janela de “Propriedades do Objeto”, em “Atributos”, clique em “Oculto” e depois em “Ok”.

Passo 7: Criar um ponto sobre a reta “eixo”. Este ponto será o vértice da pirâmide.
     • No menu “Construção”, coloque o mouse sobre a opção “Point on” e selecione a opção “Reta”;
     • Clique sobre a reta “eixo”, em seguida clique mais uma vez para fixa o ponto;
     • Altere o nome do ponto para “V”, a “Cor” para uma cor clara.
     • Para exibir o nome do ponto, no menu “Exploração”, selecione a opção “Rótulo” e em seguida clique no ponto criado.

Passo 8: Criar as arestas laterais. Criar um segmento de reta que une os pontos A e V, ver passo 6. Crie também as outras arestas.

Passo 9: Criar um polígono na face do cubo que será a base da pirâmide. No menu “Objeto”, selecione a opção “Polígono” ou clique com o mouse no ícone

na segunda barra de ícones. Na face que contém os pontos A, B e C; clique, na sequência, nos pontos A, B, C, no quarto ponto da face e novamente no ponto A. Na janela “Atributos”, troque o nome para “Base” e a cor para uma mais clara.

          Teremos a seguinte figura

          Por questões de estética, vamos esconder o cubo e a reta “eixo”, ver comentários do passo 6.

          Como vamos trabalhar com o tronco de pirâmide, vamos mudar o formato de visualização das arestas laterais da pirâmide, utilizaremos as arestas pontilhadas.

         Altere o formato de todas as arestas.

          Professor, peça aos seus alunos que movimente o vértice da pirâmide, ponto V; movimente também os pontos A e B. Movimente a pirâmide em todas as posições. Note que o ponto C desapareceu, ele criado para na construção do cubo, como ocultamos o cubo e ponto C também foi.

Passo 10: Criar segmento de reta que determinará a altur a da pirâmide. Criar um segmento de reta que une os pontos V e O, ver passo 6. Altere a forma do segmento criado para pontilhado.

          Professor, podemos configurar a precisão da quantidade de casas decimais nas operações matemática. No menu “Arquivo”, selecione a opção “Opções” e será mostrada a janela “Preferências”. No lado esquerdo da janela, no item “Views” selecione a opção “MathPad” e altere a opção “Valor Real” para 4 casas decimais; em “Unidades”, “Angular” para Graus e “Linear” para cm. Em seguida clique com o mouse em “Close”.

Passo 11: Medir a altura da pirâmide. No menu “Exploração” selecione a opção “Medida”. Na área de trabalho, clique no botão direito do mouse e será apresentado o menu suspenso com as opções “Ângulo”, “Distância”, “Comprimento”, “Área” e “Volume”, selecione a opção “Comprimento” e em clique no segmento de reta criado. Será mostrada uma janela com o título “MathPad”, que funciona como uma folha de cálculo. Note que apareceu a expressão, no nosso exemplo, l(Sg#35) = 7.2273 cm. Professor, oriente seus alunos para clicar e arrastar a expressão para uma posição mais abaixo na janela porque a próxima expressão a ser incluída, será no mesmo local. Mostre que ao clicar na expressão criada foi mudada a cor do segmento da altura.

Peça a eles que cliquem com o botão direito do mouse na expressão criada. Será mostrada uma janela e nela, selecione a opção “Propriedades”. Será mostrada a janela “Propriedades do Objeto”. Em “Variáveis”, digite “AlturaPiramide” e clique em “Ok”. A respeito do nome das variáveis criadas, o Calques 3D faz diferença com nome utilizando letras maiúsculas e minúsculas, portanto tenha cuidado na definição das variáveis.

         Professor, peça aos alunos que cliquem na janela “Universo”, movimente o ponto V e observe o que acontece a medida da altura da pirâmide.

Passo 12: Inserindo um comentário na janela “MathPad”.

     • Clicando com o botão direito do mouse em um local livre na janela “MathPad” aparecerá a janela com as opções “Inserir um comentário” e “Inserir expressão”.
     • Selecione “Inserir comentário”, aparecerá um rótulo com a mensagem “novo comentário...”,
     • Dê um duplo clique e altere o texto, por exemplo: “Estudo da pirâmide”.
     • Dê um clique e arraste para o local desejado.

Passo 13: Criar o ponto que determinará a altura do tronco da pirâmide. Criar o ponto sobre o segmento de reta da altura, alterar o nome do ponto para “Mova- me” e exibir o rótulo, ver Passo 7.

Passo 14: Criar um plano perpendicular a reta a que passa pelo ponto “Mova-me”. No menu “Construção” selecione a opção “Plano perpendicular” ou clique no ícone

em seguida, clique no segmento da altura da pirâmide e depois no ponto “Mova-me”.

Passo 15: Criar as intersecções do plano com as arestas da pirâmide.
     • No menu “Construção”, coloque o mouse sobre a opção “Intersecção” e selecione a opção “Reta-Plano”;
     • Clique na aresta do segmento AV, em seguida, clique no plano criado.

     • Para criar as outras duas intersecções proceda da mesma forma.

Passo 16: Criar um polígono que determinará a base menor do tronco de pirâmide. Criar um polígono onde os vértices são os pontos criados no passo anterior, ver Passo 9.

Passo 17: Criar as arestas laterais do tronco de pirâmide. Criar segmentos de retas que liguem os vértices da base menor aos vértices da base maior do tronco de pirâmide.

          Professor, peça aos seus alunos que movimente o ponto “Mova-me” e observem o tronco de pirâmide. Movimente também os pontos A, B e V.

          Professor, na janela “MathPad” podemos utilizar constantes, operadores e funções, conforme abaixo:
               • Constantes matemáticas: E e Pi
               • Operadores aritméticos: +, -, *,/
               • Resto de divisão: %
               • Potenciação: **
               • Operações lógicas e relações: <, >, =, >, <
               • Funções: 
                    *  cos (x) – retorna o valor do cosseno de x.
                    * sin (x) – retorna o valor do seno de x.
                    * tan (x) – retorna o valor da tangente de x.
                    * atan (x) – retorna o valor do arco tangente de x.
                    * asin (x) – retorna o valor do arco seno de x.
                    * acos (x) – retorna o valor do arco cosseno d e x.
                    * exp (x) – retorna o valor ?
                    * ln (x) – retorna o valor do logaritmo neperiano de x.
                    * lg (x) – ret seguida, clique no segmento da altura da pirâmide e depois no ponto “Mova-me”.

                    * sqrt (x) – retorna o valor da raiz quadrada de x.
                    * abs (x) – retorna o valor absoluto de x.
                    * frac (x) – retorna a parte decimal de x
                    * trunc (x) – retorna a parte de inteira de x
                    * floor(x) – retorna o inteiro o maior que é menor do que ou igual a X
                    * ceil (x) – retorna o inteiro o m enor que é mais grande do que ou igual a X
                    * round (x, precisão) – retornos um número arredondado a um número especificado de lugares decimais
                    * sgn (x) – retorna 1 se x > 0, -1 se x < 0 e 0 se x=0.
                    * neg (x) – mude o sinal de x
               • Variáveis: antes de usar uma variável em uma expressão, você tem que defini-la atribuindo um nome variável a todos os valores (isto é. Distância, volume, uma outra expressão, etc.) disponíveis na vista de “MathPad”. Você pode fazer um clique duplo em um valor e ajustar o nome na caixa de diálogo. Uma vez que feita, essa variável está disponível para o uso em uma expres são. Você pode selecioná-lo pelo menu situado abaixo do campo da edição na cai xa de diálogo ou apenas datilografando a. Não há nenhuma verificação automática de nomes variáveis duplicados, assim que você terá que fazê-la você mesmo.
               • Observação: Extrair valores de uma equação, por exemplo: o valor da abscissa ou ordenada de um ponto da equação de uma esfera não é (ainda) possível.

Passo 18: Calcular a área da base maior do tronco de pirâmide. Podemos fazer isto de duas formas:

1ª forma: Como a base da pirâmide é um quadrado, utilizaremos a fórmula para calcular a área de quadrado. A= lado2.
     • Medir o valor da aresta da base da pirâmide, ver passo11. Medir a distância do ponto A do B; atribua o nome “ArestaBaseMaior”.

     • Clicando com o botão direito do mouse em um local livre na janela “MathPad” aparecerá a janela com as opções “Inserir um comentário” e “Inserir expressão”.
     • Selecione “Inserir expressão”, será acrescentada na janela uma expressão “1+1=2.0000”.
     • Clique na exp ressão criada e em seguida, cli que com o botão direito do mouse. Será mostrada uma janela e nela, selecione a opção “Propriedades”. Será mostrada a janela “Propriedades do Objeto”.
     • Como vamos calcular a área da base maior do tronco de pirâmide, em “Variáveis”, digite “AreaBaseMaior1”, em “Definição” digite “ArestaBaseMaior **2”, que equivale à A= ArestaBaseMaior², em seguida, clique em “Ok”.

2ª Forma: Determinar a área do polígono da base.
     • Clique na janela “Universo”.
     • No menu “Exploração” selecione a opção “Medida”.
     • Na área de trabalho, clique no botão direito do mouse e será apresentado o menu suspenso com as opções “Ângulo”, “Distância”, “Comprimento”, “Área” e “Volume”, selecione a opção “Área” e em clique no polígono criado na base da pirâmide.
     • Clique na expressão criada e em seguida clique com o botão direito e selecione “Propriedades”.
     • Em “Variável” digite “AreaBaseMaior2”.

Passo 19: Calcular o valor de uma das faces laterais. Sabemos que as faces laterais do tronco de pirâmide são trapézios isósceles. Podemos fazer isto de duas formas:

1º) Utilizar a fórmula da área do trapézio:
     • Determinar o ponto médio da aresta da base maior e da base menor do tronco de pirâmide. No menu “Construção”, selecione a opção “Ponto médio” ou clique com o mouse no ícone

na segunda barra de ícones. Para a base maior, clique no ponto A e depois no ponto B. Na base menor, clique no segmento de reta da mesma face dos pontos A e B.

     • Medir o apótema do tronco de pirâmide que corresponde à altura do trapézio. Medir a distância dos pontos criados. Altere a variável para “ApotemaDaFace”, ver passo 11.

     • Medir o valor da aresta da base menor do tronco de pirâmide. Na área de trabalho, clique no botão direito do mouse e será apresentado o menu suspenso com as opções “Ângulo”, “Distância”, “Comprimento”, “Área” e “Volume”, selecione a opção “Distância” e em clique, na base menor, no segmento de reta da mesma face dos pontos A e B. Altere a variável para “ArestaBaseMenor”.

     • Inserir uma expressão com a fórmula da área da superfície da face, para isto, informe “AreaFace1” em “Variável” e em “Definição” informe “(ArestaBaseMaior+ ArestaBa seMeno)*ApotemaDaFace/2”.

2ª Forma: Criar um polígono na face do tronco de pirâmide, ver passo 9. Em seguida, determinar a área do polígono, ver 2ª forma do passo 12. Defina a “Variável” com “AreaFace2”.

Passo 20: Calcular a área total do tronco de pirâmide.      • Calcular a área da base menor do tronco de pirâmide. Inserir uma expressão com a fórmula da área total da superfície do tronco de pirâmide, par a isto, informe “AreaBaseMenor” em “Variável” e em “Definição” informe “ArestaBaseMenor**2”.
     • Inserir uma expressão com a fórmula da área to tal do tronco de pirâmide, para isto, informe “AreaTotal” em “Variável” e em “Definição” informe “AreaBaseMenor+AreaBaseMaior1+4*AreaFace1”.

             Professor, proponha aos alunos que criem soluções para calcular o volume do tronco de pirâmide. Lembr ando que para calcul ar o volume do tronco de pirâmide, utilizamos a fórmula V_Tronco = V_(Pirâmide) – V_{(Pirâmide menor)}. Peça aos alunos que ocultem o plano que contém a base menor do tronco de pirâmide. Peça que movimentem o ponto “Mova-me”, o ponto A e B; observem os valores na janela MathPad.

          Professor, elabore uma lista de exercícios para que os alunos possam praticar um pouco, algumas listas encontram-se no sítios:
               • http://professorwaltertadeu.mat.br/GABlistavolumeetroncopiramide2009.doc
               • http://www.portalimpacto.com.br/docs/ImpactoGeorgeVest2008Aula20F3.pdf  
               • http://matematicananet.com/joomla/images/exercicios/ficha_de_trabalho_espaco_outra_visao_3_periodo_resolucao.pdf  
               • http://www2.uol.com.br/aprendiz/n_simulado/revisao/revisao07/er060007.pdf  
               • http://1.bp.blogspot.com/_0w08Sfltcdc/SFt5t0mwWlI/AAAAAAAAADs/IjUAvoDfjIA/s1600-h/Pir%C3%82mide+e+Tronco+de+Pir%C3%A2mide.JPG  
               • http://miltonborba.org/Mat_Aplic/Exerc_Geom-espacial.pdf  
               • http://www.colegiomisericordia.com.br/images/materialdeestudo/exerciciosegabaritos/2ANO%20EM/MATEM%C3%81TICA%20II%20COM%20GABARITO.pdf

               • http://www.sofi.com.br/node/666  
               • http:/ /wwwusers.rdc.puc-rio.br/dg2/puc%20dg2%20enunciados%2004.doc  
               • http://www.scribd.com/document_downloads/19756525?extension=pdf&sk ip_interstitial=true  

Sites recomendados:
• http://www.estudeonline.net/revisao_detalhe.aspx?cod=459    
• http://www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/gd_13t.php  

Tutoriais do Calques 3D

• Referência nacional do Calques 3D: http://www.professores.uff.br/hj bortol/calques3d/  
• Calques 3D – Ponto Livre (dar nome e suprimir): http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d–ponto-livre-dar-nome-e-suprimir-0402356CD0913326?types=A&  
• Calques 3D – Retas e Segmentos: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d–retas-e-segmentos-04023966D4913326?types=A&  
• Calques 3D – Paralelas e Perpendiculares: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d–paralelas-e-perpendiculares-0402316AD4913326?types=A& 
• Calques 3D – Polígonos, Circunferências e Arcos: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d–poligonos-circunferencias-e-arcos-0402306CD4913326?types=A&  
• Ponto Simétrico e Translação: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d–ponto-simetrico-e-translacao-0402316ED4913326?types=A&  
• Planos 1: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d–planos-1-04023172D4913326?types=A&  
• Planos (2) e Esfera: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d–planos-2-e-esfera-0402356AD8913326?types=A&  
• Calques 3D – Medidas, Histórico e Volume: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d–medidas-historico-e-volume-04023466DC913326?types=A&  
• Cálculo do Volume do Tetraedro: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d–construcao-do-triangulo-equilatero-04023762DC913326?types=A&  
• Construção do Triângulo Isósceles: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d–construcao-do-triangulo-isosceles-0402326EE0913326?types=A&  
• Losango,Triângulo e Trapézio Isósceles na me sma Construção: http://www.youtube .com/watch?v=coRixnKaua8
• Construção do Triângulo Equilátero:     http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/calques-3d–construcao-do-triangulo-equilatero-04023762DC913326?types=A& 
• Atributos e Centro de Circunferência: http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/ca lques-3d–atributos-e-centro-de-circunferencia-04023472E0913326?types=A& 
• Trapézio isósceles: http://www.youtube.com/watch?v=JHWlAf3wvLI&feature=related

A avaliação poderá ser da seguinte forma:
• Atividades em sala.
• Listas de exercícios envolvendo aplicações do assunto no cotidiano.
• Durante as aulas observando o interesse e a participação do aluno.
• Estimular os alunos a criarem e participarem de Blogs sobre o assunto. Caso queira utilizar algum Blog já existente, sugerimos os seguintes:
     * http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090807223331AAOdVSt   
     * http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080618114113AA4b4bz  
• Competição entre grupos, de no máximo quatro alunos, onde cada grupo apresenta um problema outro grupo caso consiga resolvê-lo, continua na competição, caso erre, será eliminado.