• Identificar a tangente e a secante no ciclo trigonométrico de modo interativo e dinâmico.
• Determinar e relacionar os valores da tangente e da secante dos ângulos de 0, 90, 180, 270 e 360 graus;
• Identificar o domínio e a imagem das funções tangente e secante;

• Plano cartesiano;
• Comprimento da circunferência e de um arco contido na mesma;
• Medidas de arcos e ângulos em graus e em radianos;
• Razões trigonométricas no triângulo retângulo.

Prezado professor, vamos apresentar algumas atividades para a exploração do conceito de tangente e secante, onde o aluno é o foco da aprendizagem, com um papel extremamente ativo nesse processo. O dinamismo da interação do aluno com os aplicativos do DECARTES pode ajudar muito na compreensão da trigonometria no ciclo unitário. É muito importante que o professor acompanhe atentamente a interação do aluno com os aplicativos e com os seus colegas de classe. Vamos à aula!   

Se ainda não fez, não perca a oportunidade de falar das primeiras idéias da Trigonometria. O endereço http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/trigapl.html é um excelente ponto de partida para motivar seus alunos para o estudo dessa parte da Matemática.

ATIVIDADE 1

Estudando a Tangente no ciclo trigonométrico.

1) Divida a turma em duplas e leve-as para o Laboratório de Informática.   

2) Peça para os alunos acessarem o link:  

http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/EstudoTangente.html 

Imagem do autor.   

Inicie a atividade que aborda o “comportamento” da razão trigonométrica tangente no ciclo. Deixe os alunos manipularem o aplicativo por 20 minutos, permitindo que respondam às atividades do aplicativo.  

3) Além das soluções, peça-os para fazerem um relatório sobre a atividade, onde os alunos devem relatar em um texto de 5 a 10 linhas os conceitos que aprenderam. Essa é uma forma de desenvolver a escrita e a argumentação, bem como identificar concepções erradas sobre o tema estudado e descobertas que vão além da atividade.   

4) A análise desses relatórios pelo professor é de fundamental importância para o processo.   

5) Dê o retorno dessa análise para os alunos.

1 – 0º e 180º

2 – 90º e 270º

3 – c

4 – a) 1 e 3; b) 2 e 4

5 – É crescente de 0º a 360º, exceto nos pontos de descontinuidade, que são 90º e 270º.   

6 – Da semelhança de triângulos temos que

ATIVIDADE 2

Estudando a Secante no ciclo trigonométrico.   

Para tratar da secante, a primeira razão trigonométrica inversa que estudaremos, sugerimos um pouco de História da Matemática antes de usarmos a tecnologia.

Sugerimos que o professor, antes de iniciar o estudo da secante, visite com os alunos o site: http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_trigonometria.htm.    

Com isso o professor consegue situar o conhecimento matemático na história, mostrando para os alunos que a secante e a cossecante surgiram no período das grandes navegações, quando os navegadores precisaram montar tabelas trigonométricas que os auxiliavam na localização quando estavam no mar.   

Reforce a importância da Matemática para as conquistas e feitos registrados pela História. Reforce também que a História é construída por homens que pensam, analisam e resolvem, muitas vezes, problemas que dependem da Matemática, e que certos feitos não seriam possíveis, em cada tempo, sem essa disciplina.

1) Divida a turma em duplas, e leve-os para o Laboratório de Informática.   

2) Peça para os alunos acessarem o link:

http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/EstudoSecante.html 

Imagem do autor.   

3) Inicie a atividade que aborda o “comportamento” da razão trigonométrica secante no ciclo. Assim como na atividade anterior, permita a manipulação da mesma por um tempo aproximado de 15 minutos para, em seguida, propiciar relatos das descobertas dos alunos e conferir as soluções encontradas pelos mesmos.   

4) Além das soluções, peça-os para fazerem um relatório sobre a atividade, onde os alunos devem relatar em um texto de 5 a 10 linhas os conceitos que aprenderam. Essa é uma forma de desenvolver a escrita e a argumentação, bem como identificar concepções erradas sobre o tema estudado e descobertas que vão além da atividade.  

5) A análise desses relatórios pelo professor é de fundamental importância para o processo.   

6) Dê o retorno dessa análise para os alunos.

b) Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo POF, temos: . Como OF = sec a; OP = 1 e PF = tga (pois tg a = PF/1), a expressão acima fica:

sec²a = 1 + tg²a.

ATIVIDADE 3

Determinando relações entre seno, cosseno, tangente e secante.   

Prezado professor, nessa atividade o aluno vai interagir com o computador para ampliar seus conhecimentos sobre as razões trigonométricas: tangente e secante ao mesmo tempo. A interatividade do aluno deve sempre ser incentivada. Mas, o professor precisa estar atento, monitorando o desenvolvimento do trabalho para que não haja dispersão e falta de compreensão dos conceitos. Por isso, é muito importante o planejamento e a implementação da sequência abaixo.

1) Divida a turma em grupos de 3 a 4 alunos.   

2) Leve-os para o Laboratório de Informática e acesse o site abaixo:

http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-ct-br.html 

Fonte: http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-ct-br.html     

3) Deixe os alunos interagirem por 5 min, selecionando as razões trigonométricas que quiserem, dando prioridade para a tangente e a secante. Este é um momento de reconhecimento. Observe que nesse aplicativo o aluno pode escolher uma ou mais razões trigonométricas, o que é muito bom, pois poderemos comparar as razões, estabelecer relações, provar propriedades, verificar identidades trigonométricas, etc. Tudo de forma dinâmica e interativa! Isso deve ser feito DEPOIS que ter estudado cada razão individualmente.   

Agora a aula terá duas partes:   

• Parte I – Investigação e demonstração em Trigonometria;
• Parte II – Elaboração de problemas pelos alunos.   

4) 1ª PARTE. Em seguida proponha as seguintes questões para discussão. Cada grupo explicará uma questão.   

Questões para serem discutidas, a partir da interação com as razões secante e tangente selecionadas. A figura abaixo é apenas uma referência. 

a) Olhando para a figura, vemos que OV é a sec q. Podemos dizer que o segmento OT é também a secante do ângulo q? Apresente um argumento para sua resposta.   

b) Olhando para a figura, vemos que AT é a tg q. Podemos dizer que o segmento PV é também a tangente do ângulo q. Apresente um argumento para sua resposta.   

c) Os segmentos OA e OP têm o mesmo comprimento? Se forem, qual a medida?   

d) Na figura temos os triângulos OPV e OAT. Eles são congruentes? Mostre que isso é verdade com um argumento consistente. (Dica: utilize os itens a, b e c)   

e) Qual é a medida do segmento PT? E do segmento AV?   

f) Em livros de Matemática, aparece o estudo de identidades trigonométricas. O aluno pode utilizar a interação desse aplicativo para ajudar a entender e verificar muitas delas. Utilize a figura e a interação para mostrar que a identidade trigonométrica abaixo é verdadeira.

(1 - seca)² = (1 - cosa)² + (tga - sena)²

CONCLUSÃO:

É possível utilizar os benefícios da interação para verificar regularidades, fazer conjecturas, explorar conceitos e demonstrar resultados em trigonometria.     

5) 2ª PARTE. Com os grupos anteriores peça a cada grupo que construa um problema envolvendo a figura abaixo. Cada grupo deve preparar uma solução para o seu problema, mas deve revelá-la.   

6) Troque os problemas entre os grupos e mande-os resolver. O objetivo que um grupo resolva o problema criado por outro grupo.   

7) Ao final o melhor problema e a melhor apresentação de solução serão presenteados.   

8) A figura de partida e o link para interação seguem abaixo.

Fonte: http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-ct-br.html     

9) Depois de concluir essa atividade o professor pode repeti-la deixando a cargo de cada grupo a escolha da situação de partida.

Sempre solicite que os alunos registrem em seus cadernos, um resumo com as descobertas feitas e as soluções encontradas.   

Ao final da aula espera-se que o aluno saiba aplicar os conhecimentos adquiridos em situações que envolvem as razões trigonométricas secante e tangente nas diversas áreas de estudo em que se aplicam tais conteúdos.

Aulas do Portal do Professor:

Aferição de Distâncias Inacessíveis 

(http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=22970) 

Irracionalidade do número π (Pi) aproximações entre matemática e arte 

(http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=20991) 

• http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor.html 

• Avaliação individual: Aplicar problemas e situações envolvendo as razões trigonométricas estudadas.
• Avaliação coletiva: Avaliar os alunos em atividades em grupo, tais como as utilizadas nas atividades acima. No caso da avaliação, ofereça um ponto de partida para a abordagem.