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Gincana Combinatória: Trabalhando os conceitos de permutação, arranjo e combinação

 

25/01/2011

Autor e Coautor(es)

Rita Maria Cardoso Meirelles, Ivail Muniz Junior, Fernando Celso Villar Marinho, Jackson Lopes, Clayton Gonçalves Silva

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Médio Matemática Tecnologia para a matemática
Ensino Médio Matemática Análise de dados e probabilidade
Educação de Jovens e Adultos - 2º ciclo Matemática Estatística, probabilidade e combinatória
Ensino Fundamental Final Matemática Tratamento da informação
Ensino Médio Educação Física Esporte: Valores culturais
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula

Determinar o número permutações simples de n elementos.

Determinar o número de arranjos e combinações simples de n elementos tomados p a p.

Analisar a conduta ética nos esportes.

Duração das atividades
3 aulas de 50 minutos
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Multiplicação de Números Naturais;

Fatorial;

Número Binomial;

Princípio Fundamental da contagem;

Árvore das possibilidades.

Estratégias e recursos da aula

Professor, para realizar essa aula, encaminhe sua turma para o laboratório de informática e solicite aos alunos que se distribuam em, no máximo, três alunos por computador.

Solicite a turma que traga giz de cera ou lápis de cor das cores verde, amarela e azul.

Nota: Para obter a folha impressa com as bandeiras acesse o link http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/Bandeiras.pdf , tire cópias e distribua. 

bandeiras

 Imagem da autora

 

Atividade 1:

Pintura de bandeiras retangulares com três listras

O objetivo desta atividade é construir a árvore de possibilidades e utilizá-la na elaboração do conceito de permutação simples.

Faça os questionamentos a seguir e peça aos alunos para colocarem na folha com o desenho das bandeiras o número de cada item e  pintarem a quantidade necessária para satisfazer as condições dadas, utilizando apenas as cores verde, amarela e azul.

a). Quantas bandeiras de uma única cor podemos construir?

b). Quantas bandeiras com duas cores diferentes podemos pintar?

c). Quantas bandeiras com três cores diferentes podemos criar?

d). E se não houvesse bandeiras para pintar? Represente a situação da letra c utilizando a árvore de possibilidades.

e). A partir da representação feita na letra d, responda:

e.1). Quantas cores podem ser pintadas na primeira listra?

e.2). Após a pintura da primeira, quantas cores podem ser pintadas na segunda listra?

e.3). Já na terceira listra, podemos contar com quantas cores?

e.4). Como você pode relacionar estes resultados com o número de bandeiras obtidas?

Reserve um tempo para a exploração da atividade;

Após o término do tempo previsto, debata as soluções com a turma.

Nota: Todas as definições e soluções desta aula encontram-se disponíveis em  http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/AnaComb.pdf .  Portanto, previamente, imprima, faça cópias e distribua.

anacomb

Imagem da autora

Observação: Deixe claro para todos que é também possível pintar a bandeira com apenas uma ou duas cores. Exiba com o uso do Data Show a figura abaixo como exemplos de bandeiras pintadas com apenas duas cores, para facilitar a compreensão desta observação.

 Imagem editada pela autora a partir de  http://www.sogeografia.com.br/Bandeiras/Africa/

 

Na letra c, ressalte que a ordem na qual pintamos as listras implica bandeiras diferentes. Exiba o exemplo abaixo, no qual as bandeiras de dois países do continente africano diferem apenas pela ordem das cores. Também vale observar que há, como referência, a posição na qual a bandeira é presa ao mastro.

Imagem editada pela autora a partir de  http://www.sogeografia.com.br/Bandeiras/Africa/

Na letra d, a turma deve construir a árvore de possibilidades, já na letra e os alunos devem perceber que o número de bandeiras de n listras que devem ser coloridas com n cores diferentes é dado por n!.

Conte para a turma que este exemplo trata-se de um caso de Permutação Simples.

 

Atividade 2:

Definição de permutação simples

Faça a construção junto com a turma no quadro de giz.  

Definindo Permutação Simples: O número de permutações simples de n objetos distintos, ou seja, o número de ordens em que podemos colocar n objetos distintos é P= n!.  

Pois, ao escolher o objeto que ocupará a primeira posição dispomos de n opções; já a escolha do segundo pode ser feita de n - 1 formas diferentes; para a terceira posição contamos com n - 2 possibilidades, etc;  a escolha do objeto que ocupará o último lugar pode ser feita de 1 modo.   

Portanto, temos n . (n - 1) . (n - 2) . ... . 1 = n!   Lê-se: Fatorial de n ou n fatorial.   

Nota: Considera-se 0!=1.                                                                               

Peça aos alunos fazerem suas anotações no material recebido no início da aula que se encontra no link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/AnaComb.pdf

 

Atividade 3:

Aplicando o conceito de permutação simples em diferentes contextos

Solicite aos alunos que acessem o link http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/permutacao.html;   

Exiba a página e leia junto com a turma o primeiro exemplo;

Imagem da autora

Solicite sugestões para resolvê-lo. Reserve um momento para o diálogo e troca de ideias.

Apresente e discuta a resolução do exemplo;

Nota: Para apresentar o encaminhamento da resposta, clique em solução, como está ilustrado na figura abaixo.

Imagem da autora

Repita este processo para os exemplos 2 e 3.

Atividade 4:

Campeão e vice-campeão do Campeonato Brasileiro 2010

O objetivo desta atividade é construir a árvore de possibilidades e utilizá-la na elaboração do conceito de arranjo simples.

O campeonato brasileiro de 2010 foi decidido na última rodada. Pergunte a turma os nomes dos times que ficaram nesta situação. A turma deve responder Fluminense, Cruzeiro e Corinthians.

Pergunte quais seriam os possíveis resultados para campeão e vice-campeão.

Peça aos grupos que construam a árvore das possibilidades que representa este problema.

Nota: A turma deve perceber que podemos ter n times para formarem grupos de p elementos onde n é maior ou igual a p e pergunte utilizando exemplos da árvore construída se todos compreendem que neste problema a ordem também importa.

Estabeleça um tempo para a execução da atividade.

Após o tempo estabelecido, exiba a árvore de possibilidades com o auxílio do Data Show e esclareça quaisquer dúvidas dos alunos.

Imagem da autora

Conte aos alunos que este exemplo trata-se de um caso de Arranjo Simples.

Atividade 5:

Definição de arranjo simples

                               

Faça a construção junto com a turma no quadro de giz.

Definindo Arranjo Simples: 

Imagem da autora

Peça aos alunos para fazerem anotações no material que eles receberam, disponível no link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/AnaComb.pdf  

 

Atividade 6:

Aplicando o conceito de arranjo simples em diferentes contextos

Solicite aos alunos que acessem o link http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/arranjo.html

Exiba a página e leia junto com a turma o primeiro exemplo;

Solicite sugestões para resolvê-lo. Reserve um momento para o diálogo e troca de ideias.

Apresente e discuta a resolução do exemplo;

Nota: Para apresentar o encaminhamento da resposta, clique em solução, como está ilustrado na figura abaixo.

Imagem da autora

Repita este processo para os exemplos 2 e 3.

Atividade 7:

Um aperto de mão... uma conduta ética no esporte

O objetivo desta atividade é construir a árvore de possibilidades e utilizá-la na elaboração do conceito de combinação simples.

Inicie esta atividade conversando com a turma sobre o tema transversal ética, perguntando se alguém sabe o que é uma conduta ética nos esportes.  

Exemplifique citando que a gentileza do atleta, numa competição de esporte coletivo, como o futebol, ao estender a mão para auxiliar um adversário a se levantar ou o cumprimento do vencedor ao vencido, ao término de uma partida, situam-se como exemplos de ética esportiva.  

Solicite um voluntário, peça ao mesmo que se levante e pergunte quantos cumprimentos ele pode fazer.

Nota: Mostre a imagem com o auxílio do Data Show para deixar claro como deve ser feito tal cumprimento.

apertodemao

Fonte:  http://t1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSvX2gx7ZOTT-jMqr9oPkEaW-HAYQCKGO3peLd0Xp12t21WUa--um-wEsT5qw

 

A turma deve responder que uma pessoa não pode cumprimentar outras caso esteja sozinha em um ambiente.

Solicite outro candidato e se nenhum aluno se apresentar, escolha um aleatoriamente. Questione sobre o número cumprimentos que podem ser feitos por duas pessoas.  A turma deve responder um.

Peça aos alunos para formarem grupos de quatro componentes e, através da interação, chegarem ao número de apertos de mão para três e quatro pessoas.

Após esta interação, peça aos alunos que construam a árvore de possibilidades das duas situações. Solicite a turma que utilize as letras A, B, C e D na representação dos componentes dos grupos para facilitar a correção.

Estabeleça um tempo para a execução da atividade.

Ao término do tempo estabelecido, exiba as árvores de possibilidades disponíveis em http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/AnaComb.pdf com o auxílio do Data Show e verifique com a participação de todos as respostas dadas pelos grupos.

Atividade 8:

Definição de combinação simples

                               

Faça a construção junto com a turma no quadro de giz.

Definindo Combinação Simples:

Imagem da autora

Peça aos alunos para fazerem anotações no material que eles receberam, disponível no link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/AnaComb.pdf  .    

Atividade 9:

Aplicando o conceito de combinação simples em diferentes contextos

Solicite aos alunos que acessem o link http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/combinacoes.html

Exiba a página e leia junto com a turma o primeiro exemplo;

Solicite sugestões para resolvê-lo. Reserve um momento para o diálogo e troca de ideias.

Apresente e discuta a resolução do exemplo;

Nota: Para apresentar o encaminhamento da resposta, clique em solução, como está ilustrado na figura abaixo.

Imagem da autora

Repita este processo para os exemplos 2 e 3.

Atividade 10:

Explorando os conceitos construídos

Para solidificar os conceitos construídos  solicite a turma que acesse os links a seguir e iniciem as atividades.

Determine um tempo para o desenvolvimento da atividade e em seguida, circule pelo laboratório para observar o desenvolvimento dos alunos.

Valorize o desenvolvimento do raciocínio em detrimento da aplicação de fórmulas.

Imagem editada pela autora a partir de 

http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/permutacao/permutacao.swf

Imagem editada pela autora a partir de

 http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/arranjo/arranjo.swf

combinação

Imagem editada pela autora a partir de

 http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/combinacao/combinacao.swf

A turma pode utilizar o recurso educacional abaixo para conferir os resultados encontrados.

 

 

 

Primeiro Momento

O artigo Número de regiões: um problemade contagem  mostra a análise de um problema de contagem do número de regiões no plano que pode ser resolvido de maneira direta, simples e interessante. Acesse o material do Portal do Professor disponível em  http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_3_4e5.pdf  e faça as adaptações para se adequarem à realidade da sua sala de aula. 

Obs. Este é o quarto artigo deste arquivo.

Imagem editada pela autora a partir de

 http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_3_4e5.pdf  

Segundo Momento

Retome o tema transversal ética e mostre algumas reportagens disponíveis em:

http://www.cidadedofutebol.com.br/Jornal/Colunas/Detalhe.aspx?id=10784   

http://www.futsalbrasil.com.br/artigos/artigo.php?cd_artigo=148

Exiba com o uso do Data show a reportagem O dopping no esporte, exibida em 29/09/2009, integrante de uma série de reportagens que tratam do tema Rio e as Olimpíadas de 2016, para a turma ver um exemplo de conduta anti-ética, obter informações sobre o dopping e tomar conhecimento que o Brasil possui um dos mais modernos laboratórios antidopping do mundo.

Para tanto acesse o link: http://www.youtube.com/watch?v=Q5SSnb6lKrs&feature=related

Imagem editada pela autora a partir de http://www.youtube.com/watch?v=Q5SSnb6lKrs&feature=related   

Peça a turma que pesquise na internet sobre o tema Conduta ética e anti-ética na prática desportiva.

Após a pesquisa, a leitura das reportagens e a apresentação do vídeo realize um debate sobre os temas ética nos esportes e em sala de aula.

Recursos Educacionais
Nome Tipo
Combinatória Software Educacional
Recursos Complementares

Fontes de pesquisa:

1. Aulas que complementam o assunto:

A Matemática nos Esportes: Analisando Dados em Gráficos Setoriais - http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=22698

2. Sobre o tema transversal ética:

http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro082.pdf  

http://www.apagina.pt/?aba=7&cat=167&doc=12358&mid=2

http://www.revistadeeducacaofisica.com.br/artigos/2004/condutaseticas.pdf

3. Sobre as definições:

As definições foram adaptadas do livro Matemática, volume único: livro do professor/ Luiz Roberto Dante. 1 ed. – São Paulo: Ática – 2005.

Link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/Livro.pdf

4. Software Nippe Descartes            

O grupo de pesquisa “Tecnologias no Ensino da Matemática”, vinculado ao Projeto Fundão, confeccionou diversas atividades utilizando o software Nippe Descartes, um aplicativo desenvolvido em Java que permite uma manipulação ágil e simples de janelas gráficas aplicáveis a qualquer página web. Este grupo reúne-se semanalmente e se propõe a desenvolver aplicações específicas para apresentação de conteúdos do Ensino Médio.

Página do Projeto Fundão:  http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/

Para visualizar as atividades o professor deve:

a). Baixar o software Java disponível em: http://www.java.com/pt_BR/download/

b). Baixar o arquivo contendo as atividades.   

Avaliação

Aplicação de problemas visando a avaliação do conteúdo apresentado.

O link abaixo apresenta sugestões de exercícios para serem aplicados ao final desta aula.

http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/AnaCombAluno.pdf

As soluções dos problemas propostos se encontram no link abaixo:

http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/AnaCombProfessor.pdf

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