- Identificar a presença dos fractais e a importância do seu estudo em diversas áreas do conhecimento;

- Reconhecer o processo de formação dos seguintes fractais: Pentagonal de Dürer, Tipo árvore, Hexagonal, Conjunto de Cantor, Triângulo de Sierpinski, Tapete de Sierpinski e Floco de neve de Koch;

- Construir expressões para calcular o número de segmentos, a medida desses segmentos e o comprimento total do fractal conhecido como Curva de Peano.

 

10 horas/aula

 

-Reconhecer os seguintes polígonos regulares: quadrado, triângulo, hexágono e pentágono;

- Identificar uma expressão algébrica de um problema;

-Noções sobre área, perímetro e potenciação.

 

 

 

ATIVIDADE 1 – CONHECENDO A DIVERSIDADE DE FRACTAIS

INSTRUÇÕES INICIAIS

Esta atividade se desenvolverá no Laboratório de Informática Educativa (LIE) e serão utilizados: computador, data-show e o vídeo “O mundo da matemática - Episódio 5 - Fractais - A ordem na desordem” (ver figura 1), este último está disponível no Branco Internacional de Objetos Educacionais através do seguinte endereço eletrônico: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/15919. Este recurso audiovisual apresenta aspectos relacionados à construção de um fractal. A turma será dividida em cinco grupos (estes deverão ser nomeados da seguinte forma: grupo 1, grupo 2,...) e os alunos devem ser orientados a respeitar a opinião do colega.

IMAGEM 1 - O Mundo da Matemática

 

 

 

Imagem do vídeo “O mundo da matemática - Episódio 5 - Fractais - A ordem na desordem”  
Fonte: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/15919

 

 

INTRODUÇÃO À ATIVIDADE

Com o objetivo de verificar o que os alunos já conhecem sobre fractais, o professor deverá propor os seguintes questionamentos: “Vocês já ouviram falar algo sobre fractais? [Se sim] O quê? Onde? [Se não] O que vocês imaginam ao ouvirem o termo “fractal”? O que são fractais? Há alguma aplicação dos fractais no dia a dia?”.

 

APRESENTAÇÃO DO VÍDEO

O professor deverá disponibilizar o vídeo “O mundo da matemática - Episódio 5 - Fractais - A ordem na desordem”, orientando os alunos a observarem sobretudo as principais características de um fractal e a sua presença nos ambientes expostos no vídeo. Após a exibição do filme, o professor deverá incentivar os alunos a responderem aos questionamentos iniciais a partir das informações do vídeo e apresentarem suas dúvidas para serem discutidas. Em seguida, o docente comentará (caso os alunos já não tenham comentado) que os fractais podem ser aplicados em algumas áreas e/ou ciências como: biologia, física, geografia, artes, engenharia, medicina e informática, assunto a ser desenvolvido nas próximas etapas da atividade.

 

PESQUISA

Após a exibição e debate a partir do vídeo proposto e com objetivo de abordar a diversidade de fractais, o docente deverá dividir a turma em seis grupos e orientá-los a desenvolverem uma pesquisa na internet de acordo com as seguintes propostas:

Grupo 1- Fractais na Biologia

Sugestões de sites:

·         http://microsintonias.blogspot.com/2009/06/fractais-na-natureza.html (Acesso: 19/09/2011)

·         http://microsintonias.blogspot.com/2009/06/um-pouco-de-tudo-e-mais-fractais.html (Acesso: 19/09/2011)

·         http://sites.google.com/site/onthechaos/aplic (Acesso: 19/09/2011)

·         http://ultimosegundo.ig.com.br/ciencia/manchas+na+pele+de+coelhos+seguem+geometria+fractal/n1300112072655.html (Acesso: 19/09/2011)

 

Grupo 2 - Fractais na Medicina

Sugestões de sites:

·         http://sites.google.com/site/onthechaos/aplic (Acesso: 19/09/2011)

·         http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/topico9.php (Acesso: 19/09/2011)

·         http://medicinaasuamedida.blogspot.com/2008/11/fractais.html (Acesso: 19/09/2011)

 

Grupo3 - Fractais na Geografia

Sugestões de sites:

·         http://sites.google.com/site/onthechaos/aplic (Acesso: 19/09/2011)

·         http://www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/climatologia/article/view/730/956 (Acesso: 19/09/2011)

·         http://mundoestranho.abril.com.br/materia/o-que-sao-fractais (Acesso: 19/09/2011)

 

Grupo 4 - Fractais nas Artes

Sugestões de sites:

·         http://www.festivaldearte.fafcs.ufu.br/2004/comunicacoes-08.htm (Acesso: 19/09/2011)

·         http://www.fractarte.com.br/artigos/superinteressante.php (Acesso: 19/09/2011)

·         http://chocoladesign.com/arte-com-a-matematica-fractais (Acesso: 19/09/2011)

 

 

Grupo 5 - Fractais na engenharia e na arquitetura

Sugestões de sites:

·         http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/topico9.php (Acesso: 19/09/2011)

·         http://www.arquitetonico.ufsc.br/arquitetura-e-geometria-fractal (Acesso: 19/09/2011)

·         www4.uninove.br/ojs/index.php/exacta/article/download/706/646 (Acesso: 19/09/2011)

 

PREPARAÇÃO E APRESENTAÇÃO DA PESQUISA

O professor deverá solicitar a cada grupo que construa uma apresentação em slides da pesquisa realizada para o restante da turma. Esta apresentação pode conter ainda vídeos do Youtube, animações de fractais e curiosidades sobre o tema abordado por cada grupo.

 

 

Na exposição da pesquisa, os grupos deverão apresentar o que compreenderam acerca do conceito de fractal e iteração, a aplicação dos fractais nas respectivas áreas de cada grupo, a importância de se estudar a geometria dos fractais e curiosidades encontradas.

 

BLOG: O QUE EU ACHEI INTERESSANTE SOBRE FRACTAIS!

O professor deverá criar um blog para a turma, este poderá ser utilizado não só para a divulgação das produções dos alunos, mas também como um meio de discussão sobre temas matemáticos, e não apenas nessa aula, como em outras ao longo do ano letivo. O seguinte endereço eletrônico orienta o processo de criação de um blog: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=42829.

Após a postagem das apresentações, os alunos, agora individualmente, deverão comentar as apresentações dos colegas, destacando o que acharam interessante sobre fractais em áreas de conhecimento diferentes da que pesquisaram. O professor deverá elaborar um post para a realização desses comentários, recomenda-se o seguinte título: “O que eu achei interessante sobre fractais!”.

 

ATIVIDADE 2 – DESENVOLVENDO FRACTAIS

Esta atividade ocorrerá no Laboratório de informática Educativa (LIE), e serão utilizados os seguintes recursos: cartolina ou papel madeira, régua, tesoura, lápis de cor e canetinhas hidrocor. Recomenda-se que o professor ratifique as regras acordadas na atividade 1,exceto a organização dos alunos,pois a turma deverá ser dividida em seis grupos. Sugere-se a participação de um professor de artes para auxiliar na orientação quanto ao desenvolvimento de um trabalho criativo.

 

CONSTRUÇÃO DOS FRACTAIS                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

Inicialmente, cada grupo receberá uma folha com fractais desenvolvidos até a terceira iteração(repetição),que deverão ser desenhados na cartolina ou papel madeira, produzindo um painel. Os alunos poderão desenhar o fractal até a terceira iteração ou desenvolver mais iterações a partir das orientações descritas para cada um dos grupos.

 

Grupo 1

 

 

Orientações para o desenho

Todos os pentágonos expostos acima são regulares. Ao construir um pentágono regular, este deverá ser a base para a construção de outros cinco pentágonos regulares.  As iterações são sucessivas, tomando-se como referência o nível anterior apresentado.

Fonte: http://www.degraf.ufpr.br/artigos_graphica/GEOMETRIAFRACTAL.pdf

 

Grupo 2

 

Orientações para o desenho

Fractais do tipo árvore podem ser desenvolvidos com o uso de triângulos. No nível 1, utiliza-se o triângulo retângulo, com lados na proporção 3, 4 e 5. Sobre seus catetos e sobre sua hipotenusa, são construídos quadrados. Com a base formada, desenvolve-se a figura.

Fonte: http://www.degraf.ufpr.br/artigos_graphica/GEOMETRIAFRACTAL.pdf

 

Grupo 3

 

Orientações para o desenho

Todos os hexágonos expostos acima são regulares. Ao construir um hexágono regular, este poderá ser a base para a construção de outros seis hexágonos regulares.  As iterações são sucessivas, tomando-se como referência o nível anterior apresentado.

Fonte: http://www.degraf.ufpr.br/artigos_graphica/GEOMETRIAFRACTAL.pdf

 

 

Grupo 4

 

Orientações para o desenho

Floco de neve de Koch é desenvolvido a partir de um triângulo equilátero. Neste caso, adiciona-se um novo triângulo equilátero com um terço do perímetro do triângulo original, o mesmo procedimento é repetido nos próximos níveis.

Fonte: http://scidiv.bcc.ctc.edu/Math/Snowflake.html

 

 

Grupo 5
 

 

Orientações para o desenho

O triângulo de Sierpinski inicial é um triângulo equilátero. No nível seguinte, o triângulo é dividido em  quatro  triângulos  menores e o triângulo  central  é  removido para a construção da próxima figura adota-se o procedimento anterior três vezes.

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_de_Sierpinski

 

Grupo 6

 

Orientações para o desenho

O tapete de Sierpinski é construído retirando-se o quadrado central do quadrado inicial, o mesmo deve ser realizado com os centros dos oito quadrados menores que surgem e assim por diante.

Fonte: http://www.ceticismoaberto.com/ciencia/2139/fractais-uma-nova-viso-da-natureza

 

 

 

ANALISANDO AS CARACTERÍSTICAS DOS FRACTAIS

Durante a execução da atividade, o professor deverá estimular os grupos a analisarem suas produções, com questionamentos como os seguintes: “O que ocorre com a área e o perímetro se o número de repetições for infinito? Qual denominação vocês indicariam para este fractal?”. Após a elaboração desse nome, os grupos deverão pesquisar na Internet o nome do fractal e o porquê de tal denominação.

Observação: Ao pesquisar o nome dos fractais os alunos encontrarão:

TABELA 1 - Nomes dos fractais

 

Fonte: Criação do Autor

 

 

DÊ SUA OPINIÃO SOBRE OS PAINÉIS

Os grupos deverão expor os seus painéis em locais visíveis da escola para que todos apreciem esta produção e sintam-se estimulados a votarem no painel que mais impressionou, através do blog da turma. Cada grupo poderá postar, além do painel com o seu respectivo fractal, fotos de alguns momentos vividos durante a realização do trabalho.  Além disso, os componentes de cada grupo deverão fazer comentários individuais, expondo curiosidades e informações sobre o tipo de fractal que construíram. Essa última parte da atividade não será feita em tempo real e, assim, o professor deverá definir com os alunos como será o seu desenvolvimento.

 

ATIVIDADE 3–EXPLORANDO O FRACTAL CONHECIDO COMO CURVA DE PEANO

PREPARAÇÃO DO AMBIENTE:

Esta atividade será desenvolvida na sala de aula, e serão utilizados os seguintes recursos: quadro branco, pincel, papel quadriculado e folha com a tabela que segue abaixo: 

TABELA 2 - Características dos fractais

 

Fonte: Criação do Autor
 

 

Recomenda-se que o professor estabeleça, juntamente com os alunos, algumas regras para o desenvolvimento das atividades.

Sugestões de regras:

*Participação nas atividades;

*A turma deverá ser organizada em duplas;

*Respeitar a opinião do colega.

 

DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE:

Inicialmente, o professor deverá propor aos alunos o seguinte problema:

De acordo com as instruções abaixo, construa o fractal Curva de Peano numa folha quadriculada.

Instruções para a construção proposta:

Inicia-se com o desenho de um segmento de reta de comprimento unitário. Em seguida, deve-se substituir este segmento por nove segmentos medindo 1/3 do segmento original. E assim sucessivamente, como mostra a figura abaixo:

IMAGEM 3 - Construção de fractais

Fonte: http://www.natcomp.com.br/lvcon/tema?tema=6#1.0

Ao finalizar a construção do fractal, os alunos, organizados em duplas, deverão ser orientados a preencherem a tabela 2 de acordo com os seguintes questionamentos: “Qual expressão poderia ser utilizada para calcular o número de segmentos do fractal em qualquer nível de iteração? E para calcular o comprimento de cada segmento? E o comprimento total do fractal?”.

 

MOMENTO DO ALUNO:

Este é o momento em que os alunos realizarão a atividade proposta. Eles podem ter dificuldades em identificar o comprimento dos segmentos a serem construídos a partir da segunda iteração. Desse modo, recomenda-se que o professor proponha os seguintes questionamentos: “Qual é a medida de cada segmento na segunda iteração da construção desse fractal? Qual é a relação entre as medidas dos segmentos determinados nas duas primeiras iterações?”.

 

DISCUSSÃO:

As duplas deverão expor suas soluções e o modo como as obtiveram, como também as dificuldades encontradas na realização da atividade.

Seguem abaixo os dados a serem preenchidos na tabela proposta na descrição dessa atividade.

TABELA 3 - Preenchendo a tabela das características dos fractais

Fonte: Criação do Autor

 

 

Em seguida, recomenda-se que o professor proponha o seguinte questionamento: “Se o número de iterações tender ao infinito qual será a figura geométrica formada?”.

 

SISTEMATIZAÇÃO:

Neste momento, o professor formalizará o assunto abordado na atividade juntamente com os alunos.

Para isto, ele deverá propor aos discentes o seguinte questionamento: “As expressões obtidas nesta atividade poderiam ser utilizadas para todos os tipos de fractais?”.

Após uma breve discussão, recomenda-se que o professor, com o auxílio dos alunos,verifique as respostas dadas ao questionamento proposto preenchendo a tabela x, utilizando como referência o fractal Conjunto de Cantor. Segue o procedimento de construção desse fractal: considere um segmento de comprimento L = 1 unidade.  Divida-o em 3 partes iguais e retire o interior da parte central. Repetindo, sucessivamente,o processo em cada intervalo restante.

Fonte: www.rpm.org.br/conheca/fractais.pdf

 

Tabela preenchida para o fractal Conjunto de Cantor.

TABELA 4 - Tabela do Conjunto de Cantor

Fonte: Criação do Autor

 

Logo, espera-se que os alunos verifiquem que cada tipo de fractal tem uma lei de formação para os aspectos abordados nesta atividade.

 

Sugestões de links para alunos:

"O mundo dos fractais", site da Faculdade de Ciências,Universidade de Lisboa -http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm14/index.htm

 Acesso em 25 de Abril de 2012

 

Sugestões de links para professores:

"Fractais e a geometria da natureza", site Prisma à luz da física

http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/topico1.php

Acesso em 25 de Abril de 2012

Criar o blog da sua turma: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/conteudoJornal.html?idConteudo=24

Vídeo explicando como criar um blog: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/jornalVideos.html?idEdicao=2

 

Links do Portal que podem ser consultados pelo professor no planejamento de sua aula:

Aula “Geometria dos Fractais”

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=25806

Acesso em 25 de Abril de 2012

 

Sugere-se que o professor verifique na, atividade 1, se os alunos compreenderam a importância do estudo dos fractais e a presença em diversas áreas do conhecimento a partir dos comentários postados no blog, como também da apresentação sobre fractais. Na atividade 2, o docente poderá averiguar se os alunos conseguiram compreender o processo de formação de um fractal a partir do painéis construídos. E na atividade 3, recomenda-se identificar se os alunos conseguiram construir as expressões relacionadas ao fractal Curva de Peano, a partir do desempenho nas resoluções dos questionamentos propostos.