- Entender as dimensões envolvidas no estudo do Universo.

- Compreender as noções de infinito e eterno.

- Noções básicas de Astronomia: Sistema Solar, Estrelas e Galáxias.

- Operações básicas da Matemática

Sugerimos que a aula seja apresentada em um laboratório de informática ou em um espaço (sala de aula ou auditório) que disponibilize para o professor o acesso a um computador, com sistema de som, e a um projetor multimídia. Propomos que a aula seja apresentada em três momentos como apresentado a seguir:

1^o Momento

Propomos que a aula tenha início com a apresentação do seguinte texto:

"Imagens do passado... Registradas na mente... A cada olhar... Sentimentos afloram... Questões surgem como fontes para incomensuráveis momentos de reflexão... Por que as gentes existem??? Por que as coisas existem??? Qual o destino das gentes??? Temas recorrentes para muitos filósofos... Houve um momento de criação do Universo??? Como surgiram as gentes, os animais, as árvores,...??? Como responder a essas questões??? As gentes na busca por entender os mistérios da sua existência conseguiram construir sofisticados modelos de representação da Natureza... As gentes conseguiram reproduzir fenômenos naturais de modo controlado... Esse conhecimento permitiu o desenvolvimento de maravilhosos equipamentos... Máquinas presentes em todos os lugares e que auxiliam as gentes a desenvolver diversos tipos de atividades... Um motivo de espanto para muitas gentes é o fato de a humanidade poder compreender, mesmo que de modo limitado, os fenômenos naturais... A Matemática é uma ferramenta que se mostra a cada dia mais poderosa... Fruto da imaginação e criatividade das gentes... Por que as gentes puderam desenvolver uma ferramenta tão fascinante??? Outro grande mistério... Na busca por entender o Universo as gentes se defrontam com o hercúleo desafio de tentar mensurá-lo... Qual é o tamanho do Universo??? Com a evolução dos instrumentos de observação novas informações surgem a cada momento... Questões brotam nas mentes inquietas... O Universo é finito ou infinito??? Eterno??? Alguém sabe como respondê-las??? Um desafio interessante, que ficou conhecido como paradoxo do Hotel de Hilbert, foi proposto por David Hilbert um famoso  matemático alemão... Nesse paradoxo é imaginado um hotel com uma característica bem interessante... Um hotel tradicional (com um número finito de quartos) quando está lotado não pode receber novos hóspedes...  Mas o que ocorreria em um hipotético hotel com um número infinito de quartos... Imagine que nesse hotel todos os quartos estejam ocupados com um número infinito de hóspedes... Chega um novo hóspede... Ele poderá se hospedar??? Sim... Ele encontrará um quarto disponível... Como há infinitos quartos, basta mover cada um dos hóspedes para um novo quarto... Assim seria possível receber um número infinito de novos hóspedes... A soma de infinitos... É infinito... Uma curiosa constatação... Assim o hotel sempre poderá receber novos hóspedes... Vamos analisar agora o processo inverso... Um hóspede deixa o hotel... Quantos hóspedes permanecem no hotel??? Infinitos hóspedes??? Uma questão sem resposta surge se por uma forte razão um número infinito de hóspedes deixa o hotel... O que ocorrerá??? Quantos hóspedes permanecem no hotel??? Esse paradoxo ilustra a dificuldade que as gentes possuem para tratar com quantidades incomensuráveis... Existirão medidas infinitas na Natureza??? A humanidade até o momento no seu cotidiano somente conhece quantidades finitas... Eternidade e Infinito são sinônimos??? Um Universo eterno acarreta a existência de infinitos astros??? Um Universo finito acarreta um número finito de astros??? Um bom desafio para as gentes... Será que é uma questão muito importante??? Há muitos problemas ainda a serem resolvidos pela humanidade... Gentes com fome... Sem abrigos... Sem sorrisos...  Questões prementes e para as quais é necessário encontrar urgentes soluções... A reflexão sobre a existência das gentes faz com que seja possível perceber a verdadeira dimensão de alguns problemas em relação a tantos mistérios... Fazendo nascer nas mentes uma nova visão... Mostrando a verdadeira face da fraternidade e da justiça... Nos melhores sonhos surgem mundos com gentes felizes e solidárias vivendo em paz... No mundo real muita desigualdade, tristeza e guerras... Será que algum dia o real e a fantasia se unirão???"

autor: Marcelo de Oliveira Souza

Fonte: livro "Um Passeio pelo Céu" - editora Muyraquitã - 2007

Nesse momento propomos que seja apresentado aos alunos dados relativos a história dos números, que está diretamente relacionado ao processo de contagem. Foram descobertas diversas ferramentas de contagens utilizadas pelos nossos ancestrais distantes, duas das mais antigas são o Osso de Lebombo e Osso de Ishango (figura 1).  

Figura 1 - Osso de Ishango

Fonte: http://www.nicolamarras.it/calcolatoria/esordi_calcolo_en.html

Os estudantes poderiam ser motivados a produzir instrumentos de contagem com os recursos que dispõe na sala de aula. Há várias possibilidades, como por exemplo, a utilização de nós em cordas, riscos em gravetos ... Os instrumentos desenvolvidos podem ser expostos para a turma e os mais criativos selecionados para serem utilizados em aulas para os estudantes dos primeiros anos do ensino fundamental. 

Algumas referências que podem ser utilizadas nesse momento são:

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm

http://pt.wikipedia.org/wiki/Osso_de_Ishango

http://www.youtube.com/watch?v=ntylzQWvzCA

2^o  Momento

Nesse momento propomos uma atividade de reflexão em relação a importância dos números em nosso cotidiano. Há registros de tribos que em suas línguas possuem vocabulários muito restritos para números, limitado a palavras para um, dois, poucos e muitos, como é o caso, na Austrália das tribos aborígenes Walpiri e Anindilyakwa e no Brasil da tribo Pirahãs (também conhecida como Pirarrãs ou Piraãs) (figura 2).  

Figura 2 - Tribo Pirahã

Fonte: http://revistageo.uol.com.br/cultura-expedicoes/16/artigo180311-2.asp

Uma das questões a serem colocadas para os estudantes é como eles imaginam que seria possível viver em uma civilização que tivesse as mesmas limitações relativas a contagem que possuem essas tribos. O avanço tecnológico obtido pela humanidade está diretamente associado a utilização da matemática. Como seria possível viver sem poder definir quantidades?  Voltando para a Astronomia, seria possível construir algum modelo para o Universo sem a existência de números? É um bom momento para organizar um debate sobre esses questionamentos. 

Uma atividade criativa que pode ser realizada com o uso de novos recursos tecnológicos é a utilização de um projetor multimídia para realizar a projeção de sombras. A ideia principal é poder fazer uma relação entre os tamanhos dos objetos e suas sombras. Uma forma de poder verificar que os objetos podem apresentar a sensação de tamanhos distintos dependendo do referencial considerado. Analisar o tamanho de um objeto a partir de sua sombra pode induzir a diversas concepções sobre a forma e o tamanho reais do objeto (Figura 3). Deve ser feita uma associação entre essa ideia e a questão da distância e o tamanho aparente de objetos no Universo. A Lua é muito menor do que o Sol, porém observamos ambos os astros a partir da Terra com o mesmo tamanho aparente. Assim é possível contextualizar os números relacionados com as medidas de distância com os astros e objetos. Propomos que a partir dessas atividades os alunos desenvolvam sistemas criativos para determinar a distância de objetos distantes. Os estudantes podem utilizar a relação entre o tamanho de sua sombra e o seu tamanho real ou outras formas de medição indireta. Deve-se incentivar os estudantes a imaginar como no passado, sem o uso de instrumentos de observação, era possível realizar determinações das distâncias de astros. Como os novos recursos tecnológicos auxiliam na determinação de distâncias no Universo? Em uma etapa final da atividade deve ser proposto aos estudantes considerarem o uso dos recursos tecnológicos que dispõem para elaborar novos sistemas criativos para determinar a distância de objetos distantes.    

No Portal do Professor há a seguinte aula sobre a determinação da distância entre a Terra e a Lua durante um eclipse lunar: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=38803

Figura 3 - Usando uma haste como referência é possível determinar a altura de uma árvore utilizando a semelhança entre dois triângulos que podem ser construídos usando como dois de seus lados, em um deles, a sombra de uma haste e a altura da haste e, no outro, a sombra da árvore e a altura da árvore. 

Criação a partir de imagens de domínio público: Marcelo de Oliveira Souza

Algumas referências que podem ser utilizadas como base para a determinação de tamanhos e distâncias através de medições indiretas:

http://www.infoescola.com/matematica/medindo-distancias-usando-sombras-como-fonte-de-calculo/

ftp://ftp.cefetes.br/cursos/Matematica/Lourenco/N18%20Geoprocessamento/Geometria-proporcionalidade/Distancia%20sem%20medir.pdf

http://www.spm.pt/files/outros/MedirMundo.pdf

http://astro.if.ufrgs.br/dist/

Referências sobre as tribos aborígenes Walpiri e Anindilyakwa e sobre a tribo Pirahãs

http://jporfiro.wordpress.com/2007/04/29/caso-pirahas-gramatica-de-indio-teoria-linguistica/

http://revistageo.uol.com.br/cultura-expedicoes/16/artigo180311-2.asp

http://www.independent.co.uk/news/science/unlocking-the-secret-sounds-of-language-life-without-time-or-numbers-477061.html (em inglês)

3o Momento

Propomos agora uma atividade interativa e com uso de recursos multimídia. A referência principal que utilizaremos é o vídeo curta-metragem "Power of Tens" (Potências de Dez) produzido em 1997. O vídeo foi escrito e dirigido por Ray Eames e seu marido Charles Eames. Ele mostra a escala relativa do Universo em potências de dez. O filme é uma adaptação moderna do livro de 1957 Cosmic View escrito por Kees Boeke. O vídeo pode ser acessado através da página oficial na internet, http://www.powersof10.com/ (Figura 4), ou no youtube através do link:

http://www.youtube.com/watch?v=0fKBhvDjuy0

Figura 4 - Vídeo Powers of Ten. Imagem capturada da página principal do Powers of Ten

Fonte: http://www.powersof10.com/

Uma das questões iniciais a ser debatida com os estudantes é sobre se ainda são válidos os dados apresentados nesse filme, já que ele foi produzido em 1977. Propomos que após a apresentação do vídeo os estudantes sejam desafiados a produzir um vídeo ou uma apresentação multimídia (no software powerpoint, por exemplo) baseado na ideia original do vídeo Powers of Ten. Abaixo apresento dados que podem auxiliar a criação desse material:

- Para medir distâncias entre astros do Sistema Solar utilizamos a Unidade Astronômica (UA) que corresponde a distância média entre a Terra e o Sol. 1 UA = 150 000 000 Km = 1,5x10⁸ Km

- Para medir distâncias entre estrelas utilizamos o ano-luz que corresponde a distância que a luz percorre em um ano. 1 ano-luz é aproximadamente igual a  9,5 bilhões de quilômetros = 9,5 x 10¹² Km 

- Para medir distâncias entre objetos mais distantes (entre galáxias, agrupamentos de galáxias, ...) utilizamos o parsec. Essa unidade de medida equivale à distância de um objeto cuja paralaxe anual média vale um segundo de arco (1").Devido à definição da paralaxe anual, o parsec também pode ser entendido como a distância à qual se deveria situar um observador para ver uma unidade astronômica (UA) -- equivalente à distância da Terra ao Sol -- sob o ângulo de um segundo de arco (fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Parsec). 1 parsec = 206,26x10³ UA = 3,26156 anos-luz = 30,86 x 10¹² km

As potências de dez e as dimensões associadas

- O diâmetro equatorial da Terra é 12,756 x 10⁶ m

- A distância média entre a Terra e a Lua é de 3,84x10⁹

- O diâmetro equatorial do Sol é 1,4 x 10⁹ m

- A distância média entre a Terra e o Sol é de 1,5x10¹¹ m   

- O diâmetro do Sistema Solar é de aproximadamente 100 UA (uma estimativa considerando a região mais interna da nuvem de Oort), o que corresponde a 150x10¹¹ m

- O diâmetro da nossa Galáxia é de aproximadamente 100.000 anos-luz, o que corresponde a ordem de grandeza de10²¹ m

- O diâmetro do Grupo Local de Galáxias é da ordem de 10²² m

- O diâmetro do superaglomerado de Virgo é de aproximadamente 10²³ metros

- O diâmetro do Universo visível é maior do que 10²⁵ metros

Referências

http://www.las.inpe.br/~cesar/miudos/ciencia/dimensuniverso.htm

http://www.if.ufrgs.br/oei/cgu/sca/sca.htm

Como ferramenta auxiliar sugerimos a utilização dos softwares gratuitos Celestia (http://www.shatters.net/celestia) (Figura 5) e Mitaka (http://4d2u.nao.ac.jp/html/program/mitaka/index_E.html). Ambos os softwares permitem a realização de uma viagem virtual pelo Universo. Com a utilização desses softwares é possível ter uma ideia das distâncias entre os astros no Universo. Sugerimos que os alunos sejam estimulados a explorar os softwares de modo a seguir o roteiro do filme Powers of Ten até os limites permitidos em cada um dos softwares.

Figura 5 - Imagem de tela do software Celestia

Fonte: Software Celestia

Propomos agora, após a apresentação realizada pelos estudantes do material multimídia que eles produziram, que seja realizado um debate tendo como tema principal a definição de infinito e eternidade. Um retorno ao texto utilizado no início da aula. Qual a visão que os estudantes tem do Universo? Infinito e eterno? Finito e eterno? Finito e com limites temporais (início e fim)? É possível apresentar uma representação para infinito e eternidade? 

Referências adicionais

http://www.independent.co.uk/news/science/unlocking-the-secret-sounds-of-language-life-without-time-or-numbers-477061.html  - Desvendando os segredos da linguagem sem tempo ou números (em inglês)

http://www.edge.org/3rd_culture/everett07/everett07_index.html - Uma conversa com Daniel Everett sobre a tribo Pirahã (em inglês)

http://www.mortesubita.org/blog/pirahas-a-tribo-que-converteu-um-missionario-ao-ateismo - Sobre Daniel Everett e a tribo Pirahã

http://www.numbersleuth.org/universe/size/ - tamanhos no Universo (em inglês)

http://quest.arc.nasa.gov/mars/teachers/imaging/Tutorial/shadmeas.html - Medindo altura e profundidades no relevo a partir das sombras em imagens obtidas pela nave Viking  (em inglês)

http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/shadows/ - Medindo com sombras, excelente página interativa (em inglês) 

Propomos duas avaliações:

- Produção de material multimídia (vídeo, animações, páginas de web ou apresentações em formato Power-point) com a opinião justificada dos estudantes em relação ao tema abordado: As dimensões do Universo. Os estudantes devem incluir em suas apresentações as suas visões sobre como definir os limites das pequenas e grande distâncias no Universo e justificar qual o sistema de referência que consideram para essa consideração. 

- Avaliação oral sobre os seguintes temas:

   - A história dos números - o início da contagem.

   - Modelo de Universo - Infinito e eterno? Finito e eterno? Finito com início e fim.