19/06/2014
Guilherme dos Santos Martins Dias, Angela Cristina dos Santos, Antomar Araújo Ferreira
Modalidade / Nível de Ensino | Componente Curricular | Tema |
---|---|---|
Ensino Médio | Matemática | Álgebra/Geometria |
A fim de desenvolver competências da área 5 da Matriz de Referência Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações geométricas, bem como a interpretação de gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H20) e ainda a utilização de conhecimentos algébricos/geométricos como recursos para a construção de argumentação (H22), são propostos para esta aula os seguintes objetivos:
Esta aula é continuação das aulas:
Estudando o círculo (ou ciclo) trigonométrico com o software GeoGebra – Parte 1: propriedades e determinação do cosseno, disponível em:
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=55745. Acesso em 06 jun 2014.
Estudando o círculo (ou ciclo) trigonométrico com o software GeoGebra –
Parte 2: Propriedades do cosseno em cada um dos quadrantes, disponível em:
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=55761. Acesso em 06 jun 2014.
Estudando o círculo (ou ciclo) trigonométrico com o software GeoGebra –
Parte 3: determinação do seno no ciclo trigonométrico, disponível em:
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=55788. Acesso em 06 jun 2014.
Todas disponíveis no Portal do Professor.
Comentário: Essa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.
O Software GeoGebra – Apresentação:
Nesta aula, o círculo (ou ciclo) trigonométrico será estudado com o auxílio do software GeoGgebra. Segundo Humberto José Bortolossi(s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.
O software encontra-se disponível para download no site <http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm>, acesso em 13 de abril de 2014.
Figura 1: Apresentação do Software GeoGebra.
Fonte: Arquivo do autor.
Professor (a), inicialmente, solicite aos alunos que construam o ciclo trigonométrico e um ponto C sobre o círculo.
Comentário: A construção do círculo trigonométrico e a definição da função seno podem ser encontradas na aula Estudando o círculo (ou ciclo) trigonométrico com o software GeoGebra – Parte 3: determinação do seno no ciclo trigonométrico, disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=55788. Acesso em 06 jun 2014, referida acima, disponível no Portal do Professor.
Em seguida, peça aos alunos que construam o segmento , e o segmento
(figura 3) que representa o seno do ângulo BÂC e depois cliquem com o botão direito sobre eles e selecionem a opção Propriedades dos Objetos. Abrirá a seguinte janela (figura 2):
Figura 2: Propriedades dos objetos.
Fonte: Arquivo do autor.
Na aba básico, peça para selecionarem a opção Mostrar Rótulo e na caixa ao lado, a opção Valor. Além disso, os alunos poderão mudar a cor do segmento (na aba Cor) e a espessura do objeto (na aba Estilo). Após fazer as alterações (figura 3), basta que feche a janela para que sejam realizadas.
Figura 3: Segmento que representa o seno do ângulo alfa.
Fonte: Arquivo do autor.
Comentário: O comprimento do segmento é exibido ao lado do próprio objeto.
Professor(a), peça para os alunos selecionarem a opção Mover na barra de ferramentas (figuras 4), e em seguida clicar sobre o ponto C e movimentá-lo ao longo da circunferência. Deixe que os alunos manuseiem essa ferramenta e que discutam o que estão percebendo que ocorre quando movimento o ponto sobre a circunferência. Em seguida apresente-lhes algumas questões e peça-lhes que registrem as respostas.
Figura 4: Como mover um objeto no GeoGebra.
Fonte: Arquivo do autor.
Comentário: O registro pode ser realizado tanto no caderno, quanto em um editor de texto, como por exemplo, o Word da Microsoft.
QUESTÕES
(A) ÂNGULO NULO E PRIMEIRO QUADRANTE
Peça para que os alunos posicionem o ponto C coincidindo com (1,0), como mostra a figura 5. Então questione.
Figura 5: Cosseno de 0º.
Fonte: Arquivo do autor.
1) Qual a medida do ângulo BÂC quando o ponto C encontra-se nesta posição? Qual o valor do seno deste ângulo?
Espera-se que os alunos, ao observarem as medidas apresentadas no ciclo, pelo programa, percebam que neste ponto o seno mede zero (0).
Peça para os alunos moverem o ponto C lentamente no sentido anti-horário (em direção ao ponto (0,1)), mas apenas enquanto o ângulo alfa for menor do que 90º (figura 6).
Figura 6: Variando o seno no primeiro quadrante.
Fonte: Arquivo do autor.
2) Qual o sinal do seno deste ângulo, quando o ponto C está no primeiro quadrante?
Resposta esperada: No primeiro quadrante, o sinal do seno é positivo.
3) O que está acontecendo com seno do ângulo?
Espera-se que os alunos percebam que, à medida que o ângulo aumenta de 0 para 90 graus, o seno aumenta de 0 para 1. No caso de surgir alguma dúvida, marque um segundo ponto sobre a circunferência, diferente do ponto C, e fazer a projeção (como feito anteriormente). Em seguida, peça aos alunos que comparem os valores dos senos atribuídos aos dois ângulos.
(C) ÂNGULO RETO.
Após todos compreenderem, peça para que eles posicionem o ponto C sobre o ponto (0,1) (figura 7).
Figura 7: Seno de 90º.
Fonte: Arquivo do autor.
4) Qual a medida do ângulo formado pelo segmento com o eixo x? Qual o valor do seno deste ângulo?
Ao observarem o ciclo, os alunos devem perceber que o seno de 90º é 1 (um), pois o ponto D estará sobre a circunferência, ou seja, é raio da circunferência.
(D) SEGUNDO QUADRANTE
Em seguida, peça para que os alunos moverem o ponto C lentamente ao longo do segundo quadrante, sem que o mesmo chegue ao ponto (– 1,0).
Figura 8: Seno no segundo quadrante.
Fonte: Arquivo do autor.
Questione:
5) Qual o sinal do seno no segundo quadrante?
Espera-se que os alunos percebam que o sinal é positivo, assim como no primeiro quadrante.
6) O que está acontecendo com o seno do ângulo à medida que o aumentamos o ângulo de 90º a 180º ?
Espera-se que os alunos observem que, quando aumentamos o ângulo de 90º a 180º , o seno diminui de 1 (um) para 0. Peça para que eles observem a posição da projeção D sobre o eixo y.
(E) ÂNGULO RASO.
Em seguida, peça para que os alunos posicionem o ponto C sobre o ponto (-1, 0) (figura 9).
Figura 9: Seno de 180º.
Fonte: Arquivo do autor.
7) Qual a medida do ângulo formado pelo segmento com o eixo x? Qual o valor do seno deste ângulo?
Os alunos devem perceber que o seno de 180º é 0, já que a projeção de C em y encontra-se sobre a origem.
(F) TERCEIRO QUADRANTE
Em seguida, peça os alunos para moverem o ponto C lentamente ao longo do terceiro quadrante, sem que o mesmo chegue no ponto (0,– 1).
Figura 10: Seno no terceiro quadrante.
Fonte: Arquivo do autor.
8) Qual o sinal do seno no terceiro quadrante?
Espera-se que os alunos percebam que o sinal é negativo, isso se deve ao fato da projeção estar abaixo da origem. Aqui podem surgir dúvidas pelo fato de o comprimento apresentado no software estar positivo. Então explique que está positivo por representar o comprimento do segmento (em módulo), mas que, pelo valor estar abaixo da origem, deve ser negativo.
9) À medida que aumentamos o valor de um ângulo de 180º para 270º, o que acontece com o seu seno?
Espera-se que os alunos observem que, quando aumentamos o ângulo de 180º para 270º o seno diminui de 0 para – 1, apesar do fato de o comprimento (em módulo) estar diminuindo. Peça para que eles observem a posição da projeção D sobre o eixo y.
(G) (3/4) da circunferência
Professor (a), solicite aos alunos que posicionem o ponto C sobre o ponto (0, – 1) (figura 11).
Figura 11: Seno de 270º.
Fonte: Arquivo do autor.
Apresente a questão a seguir, e peça aos alunos para registrarem a resposta.
9) Qual a medida do ângulo formado pelo segmento com o eixo x? Qual o valor do seno deste ângulo?
Os alunos devem perceber que o seno de 270º é (– 1), pois a projeção D encontra-se sobre a circunferência e abaixo da origem.
(H) QUARTO QUADRANTE.
Nesse momento, os alunos devem mover o ponto C lentamente ao longo do quarto quadrante, sem que o mesmo chegue no ponto (1,0).
Figura 12: Seno no quarto quadrante.
Fonte: Arquivo do autor.
10) Qual o sinal do seno no quarto quadrante?
Da mesma forma que no terceiro quadrante, espera-se que os alunos percebam que o sinal é negativo, pelo fato de a projeção D estar abaixo da origem.
11) O que está acontecendo com o seno do ângulo à medida que o aumentamos de 270º para 360º ?
Espera-se que os alunos vejam que, quando aumentamos o ângulo de 270º para 360º o seno também aumenta de (– 1) para 0. Peça para que eles observem a posição da projeção D sobre o eixo y.
Professor, para finalizar e após a socialização dos registros apresente as seguintes questões:
Qual é o comportamento do seno, quando C completa uma volta? Passa pelo ponto (1,0)? Se C completar um ou mais giro o que se observa em relação ao valor dos senos?
O seno de um ângulo pode assumir valor máximo? E mínimo? Se assumir qualquer um desses valores, destaque-o e justifique a resposta?
Espera-se que os alunos verifiquem que após passar do ponto (1, 0), ou seja, ao completar um giro superior a 360º, o estudo volta a se repetir. Assim, dado um ângulo superior a 360º, para analisarmos o seu seno, basta analisarmos seu correspondente entre 0º e 360º (neste caso, seu correspondente seria o resto da sua divisão por 360º). Espera-se também que eles percebam que como o ciclo tem raio unitário (r = 1) e que o centro do ciclo está sobre a origem, o valor mínimo que o seno pode assumir é
(– 1) e o valor máximo (+1).
Algumas sugestões de atividades:
1) Calcule o valor do seno de:
a) 30º b) 45º c) 60º d) 210º
2) Estabeleça uma relação de comparação para:
a) O seno de 60º e o seno de 120º.
b) O seno de 30º e o seno de 210º.
c) O seno de 90º e o seno de 270º.
d) O seno de 405º e o seno de 45º.
3) Qual valor é menor?
a) O seno de 40º ou o seno de 75º?.
b) O seno de 110º ou o seno de 300º?
c) O seno de 730º ou o seno de 90º?
d) O seno de 125º ou o cosseno de 125º?
e) O seno de 45º ou o cosseno de 45º?
4) Marque V para as alternativas verdadeiras e F para as alternativas falsas.
( ) Sabendo que o seno de um ângulo é positivo, então este ângulo está no quarto quadrante.
( ) Tanto o ângulo de 90º quanto o ângulo de 180º possuem seno iguais a zero.
( ) O seno de 100º é positivo e o cosseno é negativo.
( ) O seno é negativo apenas no terceiro quadrante.
( ) O cosseno e o seno tem sempre sinais contrários.
( ) À medida que o seno cresce o cosseno decresce.
( ) O seno é negativo nos quadrantes ímpares.
( ) No terceiro quadrante o seno e o cosseno têm mesmo sinal.
Para conhecer o círculo trigonométrico:
Ciclo trigonométrico. Disponível em: http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/circulo-trigonometrico.htm. Acesso em 11 de maio de 2014.
Círculo Trigonométrico - Trigonometria. Disponível em: http://guiadoestudante.abril.com.br/estudar/matematica/circulo-trigonometrico-trigonometria-677843.shtml. Acesso em 11 de maio de 2014.
Para conhecer os valores do seno, cosseno e tangente no ciclo trigonométrico:
Círculo trigométrico on line. Disponível em: http://odin.mat.ufrgs.br/usuarios/bruno/CONDIGITAL_Cruzeiro_sul/circulo_trigonometrico/. Acesso em 16 de maio de 2014.
A avaliação deverá ser feita de modo contínuo, cumulativa e sistemática em todo o processo, observando a participação efetiva do aluno, individualmente ou da dupla nas atividades propostas.
O professor poderá também, adotar como critério para avaliação: O envolvimento do aluno com as atividades, a motivação em apresentar suas respostas para a turma e a seriedade para a correção dos exercícios.
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