A fim de desenvolver competências da área 5 da Matriz de Referência Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações geométricas, bem como a interpretação de gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H20) e ainda a utilização de conhecimentos algébricos/geométricos como recursos para a construção de argumentação (H22), são propostos para esta aula os seguintes objetivos:

 

• Estudar o sinal da função seno em cada um dos quadrantes.
• Verificar em quais intervalos a função seno é crescente e em quais é decrescente.

4 horas/aula (50 minutos cada).

• Plano cartesiano e suas características: eixos, origem e quadrantes.
• O círculo (ou ciclo) trigonométrico.
• Definição da função seno no círculo trigonométrico.

Esta aula é continuação das aulas:

Estudando o círculo (ou ciclo) trigonométrico com o software GeoGebra – Parte 1: propriedades e determinação do cosseno, disponível em:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=55745. Acesso em 06 jun 2014.

 

Estudando o círculo (ou ciclo) trigonométrico com o software GeoGebra –

Parte 2: Propriedades do cosseno em cada um dos quadrantes, disponível em:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=55761. Acesso em 06 jun 2014.

 

Estudando o círculo (ou ciclo) trigonométrico com o software GeoGebra –

Parte 3: determinação do seno no ciclo trigonométrico, disponível em:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=55788. Acesso em 06 jun 2014.

Todas disponíveis no Portal do Professor.

 

Comentário: Essa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

 

O Software GeoGebra – Apresentação:

Nesta aula, o círculo (ou ciclo) trigonométrico será estudado com o auxílio do software GeoGgebra. Segundo Humberto José Bortolossi(s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.

O software encontra-se disponível para download no site <http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm>, acesso em 13 de abril de 2014.

 

Figura 1: Apresentação do Software GeoGebra.

 

  

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

PRIMEIRO MOMENTO: Analisando o comportamento da função seno enquanto variamos o ângulo central da circunferência.

 

Professor (a), inicialmente, solicite aos alunos que construam o ciclo trigonométrico e um ponto C sobre o círculo.

 

Comentário: A construção do círculo trigonométrico e a definição da função seno podem ser encontradas na aula Estudando o círculo (ou ciclo) trigonométrico com o software GeoGebra – Parte 3: determinação do seno no ciclo trigonométrico, disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=55788. Acesso em 06 jun 2014, referida acima, disponível no Portal do Professor.

 

Em seguida, peça aos alunos que construam o segmento   , e o segmento (figura 3) que representa o seno do ângulo BÂC e depois cliquem com o botão direito sobre eles e selecionem a opção Propriedades dos Objetos. Abrirá a seguinte janela (figura 2):

 

Figura 2: Propriedades dos objetos.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Na aba básico, peça para selecionarem a opção Mostrar Rótulo e na caixa ao lado, a opção Valor. Além disso, os alunos poderão mudar a cor do segmento (na aba Cor) e a espessura do objeto (na aba Estilo). Após fazer as alterações (figura 3), basta que feche a janela para que sejam realizadas.

 

Figura 3: Segmento que representa o seno do ângulo alfa.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Comentário: O comprimento do segmento é exibido ao lado do próprio objeto.

 

Professor(a), peça para os alunos selecionarem a opção Mover na barra de ferramentas (figuras 4), e em seguida clicar sobre o ponto C e movimentá-lo ao longo da circunferência. Deixe que os alunos manuseiem essa ferramenta e que discutam o que estão percebendo que ocorre quando movimento o ponto sobre a circunferência. Em seguida apresente-lhes algumas questões e peça-lhes que registrem as respostas.

 

Figura 4: Como mover um objeto no GeoGebra.

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Comentário: O registro pode ser realizado tanto no caderno, quanto em um editor de texto, como por exemplo, o Word da Microsoft.

 

QUESTÕES

 

(A) ÂNGULO NULO E PRIMEIRO QUADRANTE

 

Peça para que os alunos posicionem o ponto C coincidindo com (1,0), como mostra a figura 5. Então questione.

 

Figura 5: Cosseno de 0º.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

 

1) Qual a medida do ângulo BÂC quando o ponto C encontra-se nesta posição? Qual o valor do seno deste ângulo?

Espera-se que os alunos, ao observarem as medidas apresentadas no ciclo, pelo programa, percebam que neste ponto o seno mede zero (0).

 

Peça para os alunos moverem o ponto C lentamente no sentido anti-horário (em direção ao ponto (0,1)), mas apenas enquanto o ângulo alfa for menor do que 90º (figura 6).

 

Figura 6: Variando o seno no primeiro quadrante.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

2) Qual o sinal do seno deste ângulo, quando o ponto C está no primeiro quadrante?

Resposta esperada: No primeiro quadrante, o sinal do seno é positivo.

 

3) O que está acontecendo com seno do ângulo?

Espera-se que os alunos percebam que, à medida que o ângulo aumenta de 0 para 90 graus, o seno aumenta de 0 para 1. No caso de surgir alguma dúvida, marque um segundo ponto sobre a circunferência, diferente do ponto C, e fazer a projeção (como feito anteriormente). Em seguida, peça aos alunos que comparem os valores dos senos atribuídos aos dois ângulos.

 

 (C) ÂNGULO RETO.

 

Após todos compreenderem, peça para que eles posicionem o ponto C sobre o ponto (0,1) (figura 7).

 

Figura 7: Seno de 90º.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

4) Qual a medida do ângulo formado pelo segmento com o eixo x? Qual o valor do seno deste ângulo?

Ao observarem o ciclo, os alunos devem perceber que o seno de 90º é 1 (um), pois o ponto D estará sobre a circunferência, ou seja, é raio da circunferência.

 

(D) SEGUNDO  QUADRANTE

 

Em seguida, peça para que os alunos moverem o ponto C lentamente ao longo do segundo quadrante, sem que o mesmo chegue ao ponto (– 1,0).

 

Figura 8: Seno no segundo quadrante.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Questione:

 

5) Qual o sinal do seno no segundo quadrante?

Espera-se que os alunos percebam que o sinal é positivo, assim como no primeiro quadrante.

 

6) O que está acontecendo com o seno do ângulo à medida que o aumentamos o ângulo de 90º a 180º ?

Espera-se que os alunos observem que, quando aumentamos o ângulo de 90º a 180º , o seno diminui de 1 (um) para 0. Peça para que eles observem a posição da projeção D sobre o eixo y.

 

(E) ÂNGULO RASO.

 

Em seguida, peça para que os alunos posicionem o ponto C sobre o ponto (-1, 0) (figura 9).

 

Figura 9: Seno de 180º.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

7) Qual a medida do ângulo formado pelo segmento com o eixo x? Qual o valor do seno deste ângulo?

Os alunos devem perceber que o seno de 180º é 0, já que a projeção de C em y encontra-se sobre a origem.

 

(F) TERCEIRO QUADRANTE

 

Em seguida, peça os alunos para moverem o ponto C lentamente ao longo do terceiro quadrante, sem que o mesmo chegue no ponto (0,– 1).

 

Figura 10: Seno no terceiro quadrante.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

8) Qual o sinal do seno no terceiro quadrante?

Espera-se que os alunos percebam que o sinal é negativo, isso se deve ao fato da projeção estar abaixo da origem. Aqui podem surgir dúvidas pelo fato de o comprimento apresentado no software estar positivo. Então explique que está positivo por representar o comprimento do segmento (em módulo), mas que, pelo valor estar abaixo da origem, deve ser negativo.

 

9) À medida que aumentamos o valor de um ângulo de 180º para 270º, o que acontece com o seu seno?

Espera-se que os alunos observem que, quando aumentamos o ângulo de 180º para 270º o seno diminui de 0 para  – 1, apesar do fato de o comprimento (em módulo) estar diminuindo. Peça para que eles observem a posição da projeção D sobre o eixo y.

 

(G) (3/4) da circunferência

 

Professor (a), solicite aos alunos que posicionem o ponto C sobre o ponto (0, – 1) (figura 11).

 

Figura 11: Seno de 270º.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Apresente a questão a seguir, e peça aos alunos para registrarem a resposta.

 

9) Qual a medida do ângulo formado pelo segmento com o eixo x? Qual o valor do seno deste ângulo?

Os alunos devem perceber que o seno de 270º é (– 1), pois a projeção D encontra-se sobre a circunferência e abaixo da origem.

 

(H) QUARTO QUADRANTE.

 

Nesse momento, os alunos devem mover o ponto C lentamente ao longo do quarto quadrante, sem que o mesmo chegue no ponto (1,0).

 

Figura 12: Seno no quarto quadrante.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

10) Qual o sinal do seno no quarto quadrante?

Da mesma forma que no terceiro quadrante, espera-se que os alunos percebam que o sinal é negativo, pelo fato de a projeção D estar abaixo da origem.

 

11) O que está acontecendo com o seno do ângulo à medida que o aumentamos de 270º para 360º ?

Espera-se que os alunos vejam que, quando aumentamos o ângulo de 270º para 360º o seno também aumenta de (– 1) para 0. Peça para que eles observem a posição da projeção D sobre o eixo y.

 

Professor, para finalizar e após a socialização dos registros apresente as seguintes questões:

 

Qual é o comportamento do seno, quando C completa uma volta? Passa pelo ponto (1,0)? Se C completar um ou mais giro o que se observa em relação ao valor dos senos?

 

O seno de um ângulo pode assumir valor máximo? E mínimo? Se assumir qualquer um desses valores, destaque-o e justifique a resposta?

 

Espera-se que os alunos verifiquem que após passar do ponto (1, 0), ou seja, ao completar um giro superior a 360º, o estudo volta a se repetir. Assim, dado um ângulo superior a 360º, para analisarmos o seu seno, basta analisarmos seu correspondente entre 0º e 360º (neste caso, seu correspondente seria o resto da sua divisão por 360º). Espera-se também que eles percebam que como o ciclo tem raio unitário (r = 1) e que o centro do ciclo está sobre a origem, o valor mínimo que o seno pode assumir é

(– 1) e o valor máximo (+1).

 

 

SEGUNDO MOMENTO: Atividades de contextualização.

 

Algumas sugestões de atividades:

 

1) Calcule o valor do seno de:          

a) 30º                  b) 45º              c) 60º              d) 210º

 

2) Estabeleça uma relação de comparação para:

a)      O seno de 60º e o seno de 120º.

b)      O seno de 30º e o seno de 210º.

c)      O seno de 90º e o seno de 270º.

d)     O seno de 405º e o seno de 45º.

 

3) Qual valor é menor?

a)      O seno de 40º ou o seno de 75º?.

b)      O seno de 110º ou o seno de 300º?

c)       O seno de 730º ou o seno de 90º?

d)       O seno de 125º ou o cosseno de 125º?

e)      O seno de 45º ou o cosseno de 45º?

 

4) Marque V para as alternativas verdadeiras e F para as alternativas falsas.

 

(     ) Sabendo que o seno de um ângulo é positivo, então este ângulo está no quarto quadrante.

(     ) Tanto o ângulo de 90º quanto o ângulo de 180º possuem seno iguais a zero.

(     ) O seno de 100º é positivo e o cosseno é negativo.

(     ) O seno é negativo apenas no terceiro quadrante.

(     ) O cosseno e o seno tem sempre sinais contrários.

(     ) À medida que o seno cresce o cosseno decresce.

(     ) O seno é negativo nos quadrantes ímpares.

(     ) No terceiro quadrante o seno e o cosseno têm mesmo sinal.

Para conhecer o círculo trigonométrico:

Ciclo trigonométrico. Disponível em: http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/circulo-trigonometrico.htm. Acesso em 11 de maio de 2014.

Círculo Trigonométrico - Trigonometria. Disponível em: http://guiadoestudante.abril.com.br/estudar/matematica/circulo-trigonometrico-trigonometria-677843.shtml. Acesso em 11 de maio de 2014.

 

Para conhecer os valores do seno, cosseno e tangente  no ciclo trigonométrico:

Círculo trigométrico on line. Disponível em: http://odin.mat.ufrgs.br/usuarios/bruno/CONDIGITAL_Cruzeiro_sul/circulo_trigonometrico/.  Acesso em 16 de maio de 2014.

A avaliação deverá ser feita de modo contínuo, cumulativa e sistemática em todo o processo, observando a participação efetiva do aluno, individualmente ou da dupla nas atividades propostas.

O professor poderá também, adotar como critério para avaliação: O envolvimento do aluno com as atividades, a motivação em apresentar suas respostas para a turma e a seriedade para a correção dos exercícios.