A fim de desenvolver competências da área 5 da Matriz de Referência Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações geométricas, bem como a interpretação de gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H20) e ainda a utilização de conhecimentos algébricos/geométricos como recursos para a construção de argumentação são propostos para esta aula o objetivo de definir a função tangente no círculo trigonométrico e estudar o valor que esta função assume em um determinado ângulo.

4 horas/aula (50 minutos cada).

• Definição e reconhecimento de um triângulo retângulo.
• Dado um ângulo agudo de um triângulo retângulo, reconhecer os elementos: cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa.
• Semelhança de triângulos.
• Plano cartesiano e suas características: eixos, origem e quadrantes.
• O círculo (ou ciclo) trigonométrico.

Esta aula é continuação das aulas:

Estudando o círculo (ou ciclo) trigonométrico com o software GeoGebra – Parte 1: propriedades e determinação do cosseno, disponível em:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=55745. Acesso em 06 de junho de 2014.

 

Estudando o círculo (ou ciclo) trigonométrico com o software GeoGebra –

Parte 2: Propriedades do cosseno em cada um dos quadrantes, disponível em:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=55761. Acesso em 06 de junho de 2014.

 

Estudando o círculo (ou ciclo) trigonométrico com o software GeoGebra –

Parte 3: determinação do seno no ciclo trigonométrico, disponível em:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=55788. Acesso em 06 de junho de 2014.

 

Estudando o círculo (ou ciclo) trigonométrico com o software GeoGebra –

Parte 4: Propriedades do seno em cada um dos quadrantes, disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=56417. Acesso em 09 de Julho de 2014.

 

Todas disponíveis no Portal do Professor.

 

Comentário: Essa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

 

O Software GeoGebra – Apresentação:

 Nesta aula, o círculo (ou ciclo) trigonométrico será estudado com o auxílio do software GeoGebra. Segundo Humberto José Bortolossi(s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.

O software encontra-se disponível para download no site <http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm>, acesso em 13 de abril de 2014.

 

Figura 1: Apresentação do Software GeoGebra.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

 

Professor(a), inicialmente, solicite aos  alunos que construam o ciclo trigonométrico e depois um ponto C sobre o primeiro quadrante do círculo.

 

Comentário: A construção do círculo trigonométrico pode ser encontrada na aula Estudando o círculo (ou ciclo) trigonométrico com o software Geogebra – Parte 1: Propriedades e determinação do cosseno, disponível no Portal do Professor.

 

Em seguida, peça para os alunos traçarem a reta perpendicular ao eixo x passando pelo ponto (1, 0). Para isso, instrua-os selecionar a opção Reta Perpendicular (figura 2), no menu ferramentas, e depois clicar sobre o ponto e sobre o eixo x.

 

Figura 2: Como construir uma reta perpendicular.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Figura 3: Reta perpendicular ao eixo x passando pelo ponto B (1,0).

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Agora, peça para os alunos traçarem a semirreta que tem origem no ponto A (origem do plano cartesiano) e passa pelo ponto C. Para tal construção, oriente os alunos a selecionarem a ferramenta Reta (Dois Pontos) na barra de menus (figura 4), e em seguida clique sobre os pontos A e C nesta sequência.

 

Figura 4: Como construir uma reta passando por dois pontos.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Figura 5: Reta passando por A e C.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

Após construírem esta reta, peça para os alunos identificarem a intersecção da mesma com a reta perpendicular ao eixo x.

 

Comentário: No caso de os alunos terem marcado o ponto C mais próximo do ponto (0,1) ou do ponto (0, -1), não conseguirão identificar a intersecção mencionada. Então os aconselhe a variar o ponto C, selecionando a opção Mover (figura 6), e pergunte o que eles observam ao fazer tal movimentação com este ponto.

 

Figura 6: Mover um objeto.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Agora, peça para que construa este ponto (intersecção da reta que passa por A e C com a reta perpendicular ao eixo x), selecionando a opção Intersecção de Dois Objetos na barra de menus (figura 7).

 

Figura 7: Intersecção de dois objetos.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Figura 8: Intersecção (ponto D) da reta que passa por A e C, com a reta perpendicular ao eixo x passando por B.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Peça agora que façam a projeção do ponto C sobre o eixo dos cossenos (ponto E), utilizando procedimento análogo ao utilizado acima (caso seja necessário, veja a aula Estudando o círculo (ou ciclo) trigonométrico com o software GeoGebra – Parte 1: determinação do cosseno no ciclo trigonométrico, disponível no Portal do Professor) como mostra a figura 9.

 

Feito isto, os alunos obterão uma figura análoga à figura 9.

 

Figura 9: Projeção de C no eixo x.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Em seguida, solicite que os alunos marquem o segmento de reta tendo como extremidades os pontos       B e D. Para isto, devem selecionar a opção Segmento de Reta (Dois Pontos) (figura 10), e então clicar nestes dois pontos (figura 11).

 

Figura 10: Como construir o segmento de reta que une dois pontos.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

 

Figura 11: Segmento de reta que possui os pontos B e D como extremidades.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Comentário: Para mudar a cor desse segmento, basta clicar com o botão direito sobre o mesmo e em seguida selecionar a opção Propriedades dos objetos, e escolher na barra de atalho a cor desejada. É possível também aumentar a espessura do segmento para que fique mais visível, para isto basta clicar na guia Estilo.

 

Peça agora para os alunos marcarem o ângulo BÂC. Para isto, devem selecionar a opção Ângulo na barra de ferramentas (figura 12).

 

Figura 12: Como medir um ângulo.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Após selecionar a opção Ângulo, para medir o ângulo BÂC, basta clicar nestes três pontos, na sequência em que aparecem (primeiramente no ponto B, em seguida no ponto A e por fim no ponto C) (figura 13).

 

Figura 13: A medida do ângulo BÂC.

 

 

Fonte: Arquivo do autor.

 

Questione com os alunos e peça para que registrem no caderno:

 

- O triângulo EAC é retângulo?

 Espera-se que os alunos percebam que o segmento é perpendicular ao segmento   (pela construção de projeção).

 

- Qual é a hipotenusa e quais são os catetos ?

  A resposta esperada é a seguinte:

  Hipotenusa: ;                   Catetos: e .

 

- O triângulo BAD é retângulo?

Espera-se que os alunos percebam que o segmento é perpendicular ao segmento (pelo fato da reta em que está contido ser perpendicular ao eixo x).

 

- Qual é a hipotenusa e quais são os catetos ?

A resposta esperada é a seguinte:

Hipotenusa: ;                     Catetos: e .

 

- O que estes triângulos possuem em comum?

Espera-se que os alunos percebam que além de ambos possuírem um ângulo reto, o ângulo alfa é comum aos dois triângulos.

 

Comentários:

– Relembre com os alunos o que quer dizer dois triângulos serem semelhantes e os casos de semelhança de triângulo.

– Caso seja necessário, retome com os alunos que dois triângulos são semelhantes se possuírem a mesma “forma”, isto é, um for uma ampliação do outro (a menos de rotação e translação). Assim, a medida dos ângulos e a razão entre os lados correspondentes são preservadas. Além disso, relembre que os casos de semelhança são: ângulo-ângulo (AA); lado-lado-lado (LLL); lado-ângulo-l ado (LAL).

 

Sendo assim, espera-se que os alunos compreendam que os triângulos BAD e EAC são semelhantes, então questione:

 

- Então, é possível calcular o valor da tangente do ângulo alga usando o triângulo ABD?

  Espera-se que os alunos respondam que sim, bastando considerar agora os catetos e .

 

Peça-lhes que calculem a tangente. Os alunos deverão chegar à seguinte igualdade:

 

 

Em seguida, questione com os alunos qual é a tangente de um ângulo no ciclo trigonométrico e em seguida formalize, com os alunos, a definição:

 

Dado um ponto C sobre o ciclo trigonométrico, a tangente o ângulo descrito por C, a partir do ponto (1,0),  é dado pelo comprimento do segmento com extremidades no ponto (1,0) e o ponto dado pela intersecção da reta x = 1 e a reta que passa por C e pela origem (segmento em destaque na figura 13).

Para conhecer o círculo trigonométrico:

Ciclo trigonométrico: Disponível em http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/circulo-trigonometrico.htm. Acesso em 11 de maio de 2014.

 

Circulo Trigonométrico – Trigonometria. Disponível em:  http://guiadoestudante.abril.com.br/estudar/matematica/circulo-trigonometrico-trigonometria-677843.shtml. Acesso em 11 de maio de 2014.

 

Para conhecer os valores do seno, cosseno e tangente no ciclo trigonométrico:

Círculo Trigonométrico online. Disponível em http://odin.mat.ufrgs.br/usuarios/bruno/CONDIGITAL_Cruzeiro_sul/circulo_trigonometrico/. Acesso em 16 de maio de 2014.

A avaliação deverá ser feita de modo contínuo, cumulativa e sistemática em todo o processo, observando a participação efetiva do aluno, individualmente ou da dupla nas atividades propostas. O professor poderá também adotar como critério para avaliação:

• O envolvimento do aluno com as atividades;
• A motivação em apresentar suas respostas para a turma;
• Seriedade para a correção dos exercícios.