20/08/2014
Guilherme dos Santos Martins Dias, Angela Cristina dos Santos, Antomar Araújo Ferreira.
Modalidad / Nivel de Enseñanza | Disciplina | Tema |
---|---|---|
Ensino Médio | Matemática | Geometria |
A fim de desenvolver as competências da área 5 da Matriz de Referência Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações geométricas, bem como as habilidades de interpretação de gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H20) e ainda a utilização de conhecimentos algébricos/geométricos como recursos para a construção de argumentação (H22), são propostos como objetivos para esta aula, possibilitar aos alunos:
Esta proposta de trabalho é continuação das aulas:
"O GeoGebra como ferramenta para a compreensão da noção de ponto, reta e plano – parte 1: estudando a noção de plano", disponível em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=56785, acesso em 28 jul. 2014.
"O GeoGebra como ferramenta para a compreensão da noção de ponto, reta e plano – parte 2: estudando a noção de ponto", disponível em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=57106, acesso em 19 ago. 2014.
Comentário: Parte dessa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla, para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.
O Software GeoGebra – Apresentação:
Nesta aula, as noções de ponto, reta e plano serão estudadas com o auxílio do software GeoGebra. Segundo Humberto José Bortolossi(s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.
O software encontra-se disponível para download no site <http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm>, acesso em 13 abr. 2014.
Figura 1: Apresentação do Software GeoGebra.
Fonte: Arquivo do autor.
PRIMEIRO MOMENTO: Construção da reta.
Professor(a), pergunte aos alunos o que eles entendem por reta. Podem surgir diversos exemplos do que seria reta, provavelmente a maior parte seriam segmentos de reta. Então, questione.
- Uma reta tem dimensões (comprimento, largura, altura)? Se sim, quais são?
Depois de os alunos exporem suas ideias sobre uma reta, peça para construírem uma (reta) no GeoGebra. Para esta construção, eles devem selecionar a opção Reta (Dois Pontos) (figura 2) e, em seguida, clicarem sobre dois pontos (A e B) e sobre outro ponto na tela (figura 3).
Figura 2: Construir uma reta passando por dois pontos.
Fonte: Arquivo do autor.
Figura 3: Reta passando por dois pontos.
Fonte: Arquivo do autor.
Em seguida:
1- Peça para que os alunos ampliem a imagem e descrevam o que notaram.
Os alunos devem perceber que ao dar zoom, os pontos A e B ficaram mais “distantes”, isto é, o comprimento da reta foi ampliado, apesar de a largura manter-se inalterada. Com isso, devem chegar à conclusão de que a reta tem apenas uma dimensão (comprimento).
2- Peça para que movimentem a tela procurando o começo e término da reta.
Espera-se que ao movimentar a tela, os alunos percebam que a reta não terá começo e término, ou seja, infinita em ambas as direções. Assim, identifique uma reta como a representada no GeoGebra, com apenas uma dimensão (comprimento) e infinita. Destaque que uma reta geralmente é denotada por uma letra minúscula do alfabeto.
Observação: Professor (a), é importante deixar claro que uma reta não possui extremidades, mas como precisamos de uma representação para a reta, utilizamos uma “parte” da reta, denominada segmento de reta.
Após compreenderem a noção de reta. Questione:
- Se a reta é infinita, o que esta reta está “fazendo” com o plano da Folha Gráfica do GeoGebra?
Os alunos devem chegar à conclusão de que a reta está dividindo o plano em duas partes. Neste caso, nomeie semi-plano como sendo cada uma dessas partes.
- O que o ponto A está fazendo com a reta?
Os alunos devem perceber que o ponto A está dividindo a reta em duas partes. Neste caso, nomeie semirreta como sendo cada uma dessas partes. Assim, uma semirreta inicia-se a partir de um ponto (chamado origem) e prolonga-se infinitamente em uma direção.
SEGUNDO MOMENTO: Discussão
Essa atividade deverá ser realizada em sala de aula ou em outro lugar conveniente.
Separe os alunos em grupos e apresente a eles algumas questões (afirmativas). Os componentes dos grupos deverão discuti-as e, em seguida, formularem uma resposta única (concordando ou não e justificando) que deverá ser socializada.
Questões:
1 - Um ponto divide uma reta em duas semirretas de mesmo tamanho, apenas se for colocado no meio da reta.
· Uma reta não tem fim, logo não tem “tamanho” e, portanto, não tem meio.
2 - Duas retas, em um plano, sempre o divide em 4 (quatro) regiões planas.
· Apenas se forem distintas e concorrentes em um único ponto. Sendo concorrentes, tem-se dois semiplanos e sendo paralelas em três regiões limitadas, veja figura 4, a seguir:
Figura 4: representação de um plano dividido por duas retas paralelas
Fonte: arquivo do autor
Observe que a região 1 é limitada inferiormente, a região 2, inferiormente e superiormente e a região 3, superiormente.
3 - Uma reta divide um plano em dois planos, pois as regiões formadas têm duas dimensões e são infinitas.
· As regiões têm duas dimensões e são infinitas, no entanto, são limitadas (ver questão 2, considerando, por exemplo, as regiões 1 e 2), e o plano não é limitado.
4 - Duas retas distintas e paralelas divide o plano em três regiões planas, duas infinitas e uma finita, esta última no interior das retas.
· As regiões são limitadas, mas infinitas (figura 4)
5 - Dois pontos distintos em uma reta, a divide em três semirretas.
· Divide em duas semirretas e em um segmento de reta.
6 - Uma reta é sempre maior que um ponto.
· Essas figuras não podem ser comparadas, pois uma é adimensional e a outra é unidimensional.
Comentário: Professor(a), dependendo do desenvolvimento da aula, essas questões podem ser substituídas ou outras acrescentadas.
TERCEIRO MOMENTO: Atividades de contextualização.
1- Dê dois exemplos de objetos que lembrem cada elemento geométrico:
a) Ponto b) Reta c) Plano
2- Que ideia (ponto, reta ou plano) você tem quando observa:
a) A cabeça de um alfinete.
b) O piso de uma sala de aula.
c) Um grão de areia.
d) Um campo de futebol.
e) O encontro de duas paredes.
f) Uma corda de violão bem esticada.
3- Responda:
a) Quantos pontos podem ser marcados em um plano?
b) Quantas retas podem traçar num plano?
c) Por dois pontos distintos, quantas retas podemos traçar?
Para complementar o estudo de pontos, retas, planos, semirretas, semiplanos:
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/geometria/geo-basico.htm#m112a02. Acesso em 18 jul. 2014.
http://www.sofazquemsabe.com/2011/11/nocoes-fundamentais-da-geometria-ideias.html. Acesso em 18 jul. 2014.
http://egeom.blogspot.com.br/2011/11/pontoreta-e-plano-conceitos-primitivos.html. Acesso em 18 jul. 2014.
A avaliação deverá ser feita de modo contínuo, cumulativa e sistemática em todo o processo, observando a participação efetiva do aluno, individualmente ou da dupla nas atividades propostas.
O professor poderá também adotar como critério para avaliação:
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