A fim de desenvolver competências da área 1 da Matriz de Referência Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais, essa aula tem por objetivo criar situações, as quais o aluno é levado a exercitar a habilidade de identificar padrões numéricos ou princípios de  contagem (H2) e de avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas (H4). Para atingir a esses objetivos, tem-se como meta fazer com que o aluno tenha a oportunidade de:

• compreender a transformação de uma fração não decimal em número decimal por meio da ideia de fração como resultado de uma divisão;
• conceituar e representar dízima periódica;
• transformar qualquer fração em número decimal, usando a divisão;
• diferenciar e classificar os números decimais em: decimal exato, dízima periódica e dízima não periódica.

3 horas aula (50 minutos cada).

Para o desenvolvimento da aula, o aluno deverá ter o conhecimento sobre:

• a resolução de uma divisão pelo algoritmo;
• o conceito de número decimal;
• a transformação de uma fração decimal em número decimal e vice e versa;
• frações equivalentes;
• relação entre as ordens do sistema de numeração decimal.

 

Para o desenvolvimento das atividades, aqui propostas, o aluno deverá dispor de uma calculadora simples e também de papel e lápis, para registro.

 

Transformando fração não decimal em número decimal – definição de dízima periódica

 

Antes de iniciar a aula, reveja com os alunos:

 

• O que são números decimais?

• Como se representa os números decimais?

• Qual é a relação entre eles e a fração decimal?

 

Para a retomada dessas questões, sugere-se consultar as aulas

• O uso do material dourado e o quadro de ordens e classes na leitura e escrita de números decimais e na transformação de fração decimal em número decimal, disponível no portal do professor no endereço http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=56440, acesso em 18 ago. 2014.

• O uso do material dourado e o quadro de ordens e classes na transformação de número decimal em fração decimal: estabelecendo relações entre o número de casas decimais e os zeros do denominador, disponível no portal do professor no endereço http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=56429, acesso em 18 ago. 2014.

 

Inicie a aula, apresentando aos alunos a seguinte situação:

 

                        

 

Deixe que os alunos encontrem o resultado. Espera-se que durante as discussões os alunos recorram à fração decimal. Nesse caso, achando a fração equivalente à dada com denominador 10, isto é:

                                              

 

Questione os alunos:

 

• É possível encontrar esse valor sem usar fração equivalente? Usando, por exemplo, uma operação?

 

Nesse momento, caso nenhum aluno se manifeste, retomar com os alunos que toda fração pode representar uma relação, a parte de um todo ou, então, o resultado de uma divisão.

 

No presente caso, a fração pode representar o resultado de uma divisão. Assim, peça para os alunos utilizarem a calculadora para conferirem o resultado.

 

COMENTÁRIO: Professor(a), se achar necessário, apresente mais alguns exemplos de frações, que têm  uma equivalente decimal, para que os alunos possam transformá-las.

 

Apresente, agora, a seguinte situação:

                       

 

Solicite aos estudantes que resolvam a situação, utilizando ou não a calculadora, por meio de uma fração decimal, equivalente à fração dada.

 

É esperado que os alunos tentem fazer a multiplicação dos termos da fração por 3, 33, 333 e assim por diante. Procedendo desse modo, chegarão a valores próximos a 10, 100, 1000, etc., sempre com uma diferença de uma unidade.

 

Caso façam a sugestão de acrescentar a unidade aos valores encontrados, explique-lhes que, nesse caso, não estariam determinando uma fração equivalente, que só pode ser encontrada multiplicando-se ou dividindo-se os termos da fração por um mesmo número natural, diferente de zero.

Deixe-os discutirem outras soluções e, então, pergunte-lhes:

 

• É possível encontrar essa fração?

           É aguardada uma resposta negativa.

• Por que não foi possível?

           Espera-se que percebam que 10, 100, 1000, ...não são números múltiplos de três.

• Então como podemos fazer a transformação? 

           Espera-se que, devido ao exemplo anterior, que os alunos digam que é por meio da divisão dos termos da fração.

 

Peça então para que, utilizando a calculadora e efetuando a divisão, encontrem e escrevam o valor da fração na forma decimal. O valor a ser encontrado é:

 

                                 

Questione:

 

• Quantas casas decimais tem o número apresentado?

 

Dependendo da calculadora do aluno, o número de casas decimais pode ser maior ou menor. A partir dessa discrepância, discutir qual seria realmente o número de casas decimais do número apresentado. Caso essa discrepância não surja, questione novamente:

 

• Esse é o número exato de casas decimais?

 

Para tirarem a prova, solicite que façam a operação, usando o algoritmo da divisão:

 

                                       

 

Ao fazer a divisão, ressalte a relação entre as ordens, por exemplo:

 

1) Ao dividirmos 2 unidades por 3, o resultado é zero unidades e restam 2 unidades.

 

2) As duas unidades restantes equivalem a 20 décimos – daí a justificativa da vírgula, que separa a parte inteira da parte decimal – que divididos  por 3, tem como resultado 6 décimos e sobram 2 décimos.

 

3) Os dois décimos restantes equivalem a 20 centésimos que, divididos  por 3, tem como resultado 6 centésimos e sobram 2 centésimos, e assim sucessivamente.

 

Proceda fazendo as equivalências até completarem as casas decimais apresentadas no visor da calculadora. Em seguida questione:

 

• A divisão finalizou?   

           É aguardada uma resposta negativa

 

• Até quando podemos continuar com a divisão?

           Espera-se que os alunos percebam que é possível continuar com a divisão indefinidamente

 

• Então, quantas casas decimais tem a representação decimal de dois terços?

           Espera-se que os alunos respondam que possui infinitas casas decimais.

 

• Então a representação decimal 0, 666666 está correta? Por quê?

           Espera-se que a resposta seja negativa e, também, que eles justifiquem apontando que, desse modo, estariam afirmando que o número teria apenas 6 casas decimais.

 

Apresente, nesse momento, a fração dois terços como um número decimal com casas decimais infinitas.

 

                                                  

Questione:

 

• Por que representamos o número usando o sinal de reticências?

           Resposta esperada: No caso, da matemática, significa que a operação (divisão) não está finalizada, que continua indefinidamente.

 

 

COMENTÁRIO: Faça uma analogia com a pontuação da Língua Portuguesa: sinal gráfico que significa algo por terminar, continuidade (frases incompletas).

 

• Por que representamos o número usando uma barra acima do algarismo 6 (seis)?

           Espera-se que eles percebam que a barra indica que ao fazer a divisão, o termo que se repete indefinidamente é representado pelo algarismo 6.

 

 

Após todas as considerações, apresente aos alunos os termos Fração Geratriz e Dízima Periódica, relacionando-os com a fração dada e sua representação decimal.

 

                                                

Questione:

 

• Por que o nome “Fração Geratriz”?

 

Deixe os alunos expressarem suas ideias e, em seguida, esclareça que Fração Geratriz é toda fração que gera uma dízima periódica*.

 

*Definição adaptada, disponível em: http://www.mundoeducacao.com/matematica/fracao-geratriz.htm, acesso em 18 ago. 2014.

 

• Por que o nome “Dízima Periódica”?

Deixe os alunos expressarem suas ideias. Espera-se que eles relacionem os termos com o número infinito de casas decimais, no entanto, ressalte que as duas palavras têm significados distintos:

 

      −    Dízima: número decimal com infinitas casas decimais.

 

      −    Periódica: apresenta um período que é um termo que se repete indefinidamente, sem repetição. No caso da situação dada, o período é 6.

 

Explicite aos alunos que como uma dízima periódica apresenta sempre um período, se forem utilizar a notação com reticências “(...)”, podem citar o período apenas duas vezes, isto é:

0, 666666 = 0,66... .

 

Para finalizar esse momento da aula, peça aos alunos para definirem uma dízima periódica. Esperam-se respostas semelhantes a:

 

                                              

 

ATIVIDADES DE CONTEXTUALIZAÇÃO:

 

1) Usando o algoritmo da divisão indique se a as frações a seguir podem ser escritas por uma dízima periódica ou por um número decimal exato e, em  seguida, escreva a relação de igualdade.

 

 

2) Use a calculadora e confira se os resultados obtidos na atividade 1 estão corretos, caso não estejam, refaça a divisão utilizando o algoritmo.

 

COMENTÁRIO: A atividade a seguir tem como propósito possibilitar ao aluno classificar os números decimais em: decimais exatos, dízimas periódicas e dízimas não periódicas.

 

A atividade consiste em um quadro que deve ser respondido e corrigido linha a linha. Ao chegar aos números que apresentam uma quantidade exata de casas decimais ou que representam um número decimal não exato, questione:

 

−        No caso dos decimais exatos:

• Se você sabe quantas casas decimais esse número tem, como podemos chamá-lo?

            Caso o termo "exato" não surja, pergunte que tipo de divisão deu origem ao resultado apresentado. Espera-se que os alunos percebam que a  divisão é exata (resto zero).

 

−        No caso do número decimal não exato:

• Se esse número tem infinitas casas decimais, como ele é chamado?

            Espera-se que os alunos respondam que é uma dízima.

• Se esse número não tem um período, então como podemos defini-lo?

            Se necessário, faça uma correspondência com a definição de dízima periódica, isto é, se quando se tem um período é periódica, quando não se tem é não periódica

 

 

3) Para cada fração a seguir, apresentada no quadro, dê a sua classificação (fração decimal ou fração não decimal), a sua representação decimal e responda a duas questões:

             

               Questão 1) Quantas são as casas decimais desse número?

              

               Questão 2) Esse número apresenta um período?

 

Após responder às questões anteriores, classifique os números decimais encontrados.

 

  Quadro: Atividade para classificação dos números decimais.

 

    Fonte: autores.

 

COMENTÁRIOS:

 

* Caso o aluno questione o porquê de alguns números não apresentarem fração, é importante ressaltar que nesses casos o resultado (decimal) não foi obtido por uma divisão, se necessário explore a calculadora apresentando a raiz quadrada de um número que não é quadrado perfeito, o número 2 (dois), por exemplo.

** Se achar mais pertinente, resolva com os alunos as três primeiras linhas, corrigindo-as uma a uma e, em seguida, deixe um tempo para resolverem as demais, nesse caso, é interessante apresentar mais frações.

*** Explore, nessa atividade, a calculadora.

 

4) Escreva (E) para os números decimais exatos, (P) para as dízimas periódicas e (N) para as dízimas não periódicas :

 

Para fundamentação teórica e/ ou exploração de atividades (exercícios), o professor pode acessar os sites a seguir:

 

- http://www.somatematica.com.br/fundam/dizimas.php. Acesso em 18 ago. 2014.

- http://www.ngmatematica.com/2011/03/dizimas-periodicas-simples-e-composta.html. Acesso em 18 ago. 2014.

- http://www.somatematica.com.br/fundam/operacoes/operacoes7.php. Acesso em 18 ago. 2014.

- http://www.somatematica.com.br/soexercicios/dizimas.php. Acesso em 18 ago. 2014.

- http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=365. Acesso em 18 ago. 2014.

- http://www.matematicadidatica.com.br/FracaoGeratrizDizimaPeriodica.aspx. Acesso em 18 ago. 2014.

- http://www.coladaweb.com/matematica/dizimas-periodicas. Acesso em 18 ago. 2014.

 

 

Como atividade de fixação, o professor pode indicar, aos alunos, um jogo envolvendo dízimas (transformação), disponível em: https://www.mangahigh.com/pt-br/jogos_matematicos/numerais/decimais/converter_dizimas_periodicas_em_fracoes . Acesso em 18 ago. 2014.

 

O professor também pode utilizar, em sua aula, os vídeos:

 

- “Dízimas periódicas”, disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=HNtlfzW1Kcg. Acesso em 18 ago.

- “Básico: divisão”, disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=SmoAfOlSp88. Acesso em 18 ago. 2014.

- “Técnicas de cálculo de divisão”, disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=6t2IQOiLDGA. Acesso em 18 ago.

A avaliação deve ser feita em todos os momentos, por meio:

• da observação da participação e envolvimento do aluno durante as atividades e discussões;

• do registros de conceitos e definições e observações realizados em diferentes momentos da aula;

• da correção das atividades de fixação.

O resultado dessa avaliação fornecerá subsídios para estudos posteriores envolvendo números decimais, em particular, as dízimas periódicas e transformações.